Stelling

Voor de stochasten X met waarden x₁, x₂, ..., x_n en Y met waarden y₁, y₂, ..., y_m geldt: E(X + Y) = E(X) + E(Y) en als X en Y onafhankelijk zijn E(X · Y) = E(X) · E(Y).

Bewijs

E(X + Y) = ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n,m}(x_i+y_j)\cdot \text{P}(X+Y=}{x}_i+y_j)$ = ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n,m}(x_i+y_j)\cdot \text{P}(X=}{x}_i)\cdot \text{P}(Y=y_j|X=x_i)$ = 
= ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n,m}{x}_i\cdot \text{P}(X=}{x}_i)\cdot \text{P}(Y=y_j|X=x_i)$ + ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n,m}{y}_j\cdot \text{P}(X=}{x}_i)\cdot \text{P}(Y=y_j|X=x_i)$.
Nu is: ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n,m}\text{P}(Y=y_j|X=x_i)}=1$ en ${\displaystyle \sum _{i=1}^n\text{P}(X=x_i)}=1$ en ${\displaystyle \sum _{i=1}^n\text{P}(Y=y_j|X=x_i)}=\text{P}(Y=y_j)$.
En daarom geldt: E(X + Y) = ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i\cdot \text{P}(X=x_i)}$ + ${\displaystyle \sum _{j=1}^m{y}_j\cdot \text{P}(Y=y_j)}$ = E(X) + E(Y).

E(X · Y) = ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n,m}{x}_i\cdot y_j\cdot \text{P}(X\cdot Y=x_i\cdot y_j)}$ = ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n,m}{x}_i\cdot y_j\cdot \text{P}(X=x_i)}\cdot \text{P}(Y=y_j|X=x_i)$ = 
= ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i\cdot \text{P}(X=x_i)}$ · ${\displaystyle \sum _{j=1}^m{y}_j\cdot \text{P}(Y=y_j|X=x_i)}$.
Nu geldt E(X · Y) = E(X) · E(Y) dus alleen als beide stochasten onafhankelijk zijn, want alleen dan is P(Y = y_j | X = x_i) = P(Y = y_j).