Stelling

Het differentiëren van functies waarin sinus en/of cosinus voorkomen is gebaseerd op:

• de afgeleide van f(x) = sin(x) is f'(x) = cos(x)
• de afgeleide van f(x) = cos(x) is f'(x) = –sin(x)

Bewijs

Met f(x) = sin(x) wordt dit: f'(x) = $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}$.
Pas nu de formules van Simpson toe op sin(x + h) – sin(x) en je vindt:
$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2\sin (\frac{1}{2}h)\cos (x+\frac{1}{2}h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2\sin (\frac{1}{2}h)}{h}\cdot \cos (x+\frac{1}{2}h)$
Nu kun je door voor h een rij getallen te kiezen die steeds dichter naar 0 gaat zien, dat:
$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2\sin (\frac{1}{2}h)}{h}$ = 1.
En dat betekent dat f'(x) = cos(x).

Voor f(x) = cos(x) = sin($\frac{1}{2}$π – x) gebruik je de differentieerregels.