Voorbeeld

Bij de in- en uitademen varieert het longvolume L (in liters) periodiek met de tijd t (in seconden). Stel je voor dat iemand's longvolume varieert tussen 3,05 en 3,15 L en dat deze persoon 40 keer per minuut in- en uitademt. Neem verder aan dat L(t) een zuivere sinusoïde is.
Op t = 0 is zijn longvolume maximaal. Bereken de grootste snelheid van uitademen.

Antwoord

Dit is een passende formule: L(t) = 3,10 + 0,05 cos($\frac{2\text{π}}{\mathrm{1,5}}$x).
Hierin is t in seconden (er gaan 40 ademhalingen in 60 seconden, dus de periode is 1,5 sec.).

De grootste snelheid van uitademen vindt plaats als de grafiek de evenwichtsstand passeert vanaf een maximum naar een minimum. Bijvoorbeeld op t = 1,5/4 = 0,375.
Die snelheid is dan gelijk aan de afgeleide van L(t) op dat tijdstip.

Nu is: L'(t) = –0,05 sin($\frac{2\text{π}}{\mathrm{1,5}}$x) · $\frac{2\text{π}}{\mathrm{1,5}}$.
En daarom is: L'(0,375) = –0,05 sin($\frac{2\text{π}}{\mathrm{1,5}}$ · 0,375) · $\frac{2\text{π}}{\mathrm{1,5}}$ ≈ –0,021.
De maximale snelheid van uitademen in ongeveer 0,021 L/s.