Toepassingen

Onder arbeid wordt in de natuurkunde verstaan: het product van de kracht die werkt in de bewegingsrichting van een bewegend voorwerp en de lengte van de afgelegde weg. Als die kracht voortdurend verandert, bereken je de arbeid met behulp van een integraal.
Neem bijvoorbeeld een balletje aan een elastiek. Als je het wegschiet, zal de spankracht van het elastiek afhangen van de afgelegde weg x. In dat geval is de kracht die op het balletje wordt uitgeoefend een functie F(x). De arbeid W bereken je dan door de arbeid op deelintervallen van de afgelegde weg op te tellen:
W = ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F(x_k)\cdot \Delta x}$
Je ziet dat je ook hier met Riemannsommen kunt werken.
Als het aantal deelintervallen oneindig groot wordt (en dus Δx naar 0 nadert) wordt de arbeid een integraal:
W = ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x)\text{d}x}$
Hang je bijvoorbeeld een gewicht aan een veer, dan werkt op dat gewicht een veerkracht die volgens de wet van Hooke recht evenredig is met de uitwijking x uit de ruststand: F = C · x.
Als u de uiteindelijke afstand is die het gewicht heeft afgelegd dan is de door de veerkracht verrichte arbeid:
W = ${\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}F(x)\text{d}x}$ = ${\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}(C\cdot x)\text{d}x}$ = ${\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}(C\cdot x)\text{d}x}$ = $\frac{1}{2}$Cu².