De aarde wordt plat???

Een praktische opdracht voor de tweede fase havo/vwo, wiskunde B

De "Atlas maior sive cosmographia Blaviana" werd in 1665 werd uitgegeven door de Nederlandse boekdrukker Joan Blaeu (1598 - 1673). Het was een prachtig voorbeeld van de 17de eeuwse cartografie.

Cartografie gaat over het maken van kaarten, natuurlijk vooral van kaarten van delen van het aardoppervlak. Nu kan een gebied op het aardoppervlak dat groter is dan zo ongeveer 50 km bij 50 km al niet zonder vervormingen op een plat vlak worden afgebeeld. Als je de aarde opvat als een zuivere bol met een omtrek van 40.000 km kun je al goed laten zien dat een raakvlak in het midden van een 'vierkant' van 50 km bij 50 km op de uiterste hoekpunten al behoorlijk ver van de aarde ligt.

• Bereken hoeveel meter de hoekpunten van zo'n 'vierkant' op aarde van het raakvlak verwijderd liggen.
• Leg nauwkeurig uit waardoor de vervorming ontstaat.

Je kunt je waarschijnlijk wel voorstellen dat de aard en de grootte van de vervorming afhangen van de manier waarop je de bol op een vlak projecteert. Onder de vergroting bij een kaartprojectie wordt verstaan:

vergroting = lengte van de afbeelding van een lijnstuk / werkelijke lengte over het aardoppervlak van dat lijnstuk

De vervorming van een kaart wordt duidelijk als je laat zien, dat de vergroting niet steeds hetzelfde is voor verschillende lijnstukken. Die vergroting hangt af van waar het lijnstuk zich op aarde bevindt.

Nu bestaan er verschillende manieren om de aarde te projecteren op een plat vlak, zoals:

• Orthografische projectie:
  Daarbij wordt elk punt van de halve aarde loodrecht op een raakvlak aan die halve bol geprojecteerd.
  
  
• Gnomonische projectie:
  Daarbij wordt elk punt van de halve aarde vanuit het middelpunt van de aarde door centrale projectie op een raakvlak afgebeeld.
  
  
• Stereografische projectie:
  Daarbij wordt elk punt van de aarde door centrale projectie vanuit een punt diametraal tegenover het raakpunt op een raaklvlak afgebeeld. De hoek tussen twee lijnen op het aardoppervlak blijft nu bij de projectie hetzelfde: de projectie is hoekgetrouw.
  
  
• Cilindrische projectie van Lambert:
  Daarbij wordt elk punt van de aarde vanuit een as door de aarde afgebeeld op een cilinder die dezelfde as heeft en de aarde precies omhult. De oppervlakte van een gebied blijft bij de projectie hetzelfde: de projectie is oppervlaktegetrouw.
  
  
• Kegelprojectie:
  Bij kegelprojectie wordt elk punt van de aarde middels een cirkelboog afgebeeld op een kegel die de aarde precies omhult.
  
  

En verder zijn er nog wel andere kaartprojecties elk weer met zijn eigen voors en tegens.
Van de genoemde projecties zijn de eigenschappen en de aard van de vervorming heel goed wiskundig af te leiden. En daar gaat het nu allemaal om.

De opdracht

• Zoek van elk van de genoemde kaartprojecties meer informatie, met name ook over de kenmerkende eigenschappen ervan.
• Probeer die kenmerkende eigenschappen wiskundig af te leiden. Je hebt er zeker goniometrie en het werken met verhoudingen bij nodig, maar voor bijvoorbeeld het aantonen van het oppervlaktegetrouw zijn van de cilinderprojectie is wellicht wat integraalrekening nodig! (Denk er om dat je formules die je opzoekt moet afleiden uit formules die op je formulekaart voorkomen.)
• Geef ook een duidelijke beschrijving van de aard van de vervorming die optreedt bij de verschillende kaartprojecties.
• Maak van al je resultaten een leesbare uitwerking. Geef daarin met duidelijke tekeningen en berekeningen tekst en uitleg over de situatie per soort kaartprojectie.