Krommen door rechten, architectuur van Gaudi

Een praktische opdracht voor de tweede fase vwo, wiskunde B

Inleiding

De Catalaanse architect Antonio Gaudi is beroemd geworden om de gebogen vormen en het gebruik van veel kleur in door hem ontworpen gebouwen. Bekijk maar eens wat van zijn gebouwen en vormen bij:

• De Gaudiclub
• Architects on line
• Great Buildings

In november 2000 werden door de Gaudi-werkgroep van de TU-Delft speciale dagen rond deze architect georganiseerd. Daar legde de Australische architectuuronderzoeker Mark Burry uit hoe Gaudi die bogen en gekromde oppervlakken construeerde. Hij bouwde ze op vanuit rechte lijnen.

In deze opdracht zul je zelf onderzoeken hoe dat gaat en welke krommen (en oppervlakken) er dan ontstaan. Wellicht raak je ook aan het knutselen (eventueel met de computer).

Een parabool construeren

De constructie van een parabool is eenvoudig:

• Teken een richtlijnstuk van 6 cm en zet daar om de 5 mm een punt op.
• Teken een punt F midden boven het lijnstuk.
• Teken de bissectrice van de hoek tussen de lijn vanuit het eerste punt naar F en het richtlijnstuk.
• Teken daarna de bissectrices van de hoeken (twee stuks, zowel de binnenhoek als de buitenhoek) tussen de lijn vanuit het tweede punt naar F en het richtlijnstuk.
• Ga zo door tot je al die bissectrices getekend hebt.
• Je sluit nu een parabool in met die bissectrices.

De parabool ontstaat echt als je oneindig veel van die bissectrices op deze wijze tekent. Op de animatie hiernaast worden er maar een paar getekend, maar de paraboolvorm wordt toch al zichtbaar. Je start de animatie met de pijl naar rechts, met de pijl naar links ga je terug naar het lege veld. Met de middelste knop kun je tussentijds stoppen.

Een hyperbool construeren

De constructie van een hyperbool is nog eenvoudiger dan van een parabool:

• Teken twee lijnstukken van 5 cm die in één uiteinde een rechte hoek met elkaar maken.
• Teken op beide lijnstukken om de 5 mm een punt, zie figuur.
• Verbind deze punten zoals in de figuur is aangegeven.
• De hyperbool zie je ontstaan uit de snijpunten van opeenvolgende verbindingslijnstukken.

Andere krommen

Nu ontstaan als vanzelf vragen als:

• Hoe moet je die parabool precies langs de bissectrices tekenen? Door welke punten moet hij gaan?
• Hoe weet je zeker dat de constructies zoals hierboven beschreven ook inderdaad een hyperbool of een parabool opleveren?
• Moeten bij de hyperboolconstructie de lijnstukken loodrecht op elkaar staan?
• Kunnen nog andere krommen op deze wijze worden geconstrueerd (denk aan de cirkel, de ellips)?

Gebogen oppervlakken

Het lijkt wellicht vreemd, maar veel gebogen oppervlakken kunnen worden geconstrueerd vanuit rechte lijnen. Die rechte lijnen liggen dan op het gekromde oppervlak. Je ziet er hierna een viertal voorbeelden van:

• De eerste is wel erg voor de hand liggend, het is een cilinder opgebouwd uit rode staafjes.
• In de tweede figuur kun je de cilinder stap voor stap zien veranderen in een hyperboloïde; de staafjes blijven recht!
• In de derde figuur kun je de hyperboloïde weer omzetten in een kegel.
• In de vierde zie je hoe een aantal rechte staafjes een zadeloppervlak kunnen vormen.

De opdracht

De opdracht luidt nu als volgt:

• Zoek informatie over het gebruik van paraboolbogen, hyperbolische oppervlakken en dergelijke in de architectuur, met name bij Gaudi. Zoek een paar duidelijke voorbeelden en leg uit waarom Gaudi dergelijke vormen gebruikte.
• Zoek nauwkeurige definities van de parabool, de hyperbool, de ellips en de cirkel op de math4all-site en leg heel nauwkeurig uit of en zo ja, hoe ze m.b.v. rechte lijnen kunnen worden geconstrueerd. Zoek ook namen en definities van gebogen oppervlakken die m.b.v. rechte lijnen kunnen worden gecontrueerd en leg uit hoe de constructie in zijn werk gaat. Maak een overzicht met nette constructietekeningen.
• Bewijs dat de twee beschreven constructies inderdaad een parabool en een hyperbool opleveren.
• Als je bij de parabool geschikt assenstelsel kiest, kun je eenvoudig laten zien dat hij de grafiek van een tweedegraads functie is. Je neemt dan voor de x-as de lijn door het midden van lijnstuk FP₁₁ en evenwijdig aan de richtlijn. De y-as gaat door punt F en staat natuurlijk loodrecht op de x-as. Leid een bijpassende formule voor de parabool af.
• Probeer ook voor de hyperbool een formule af te leiden.