Files

Een praktische opdracht voor de tweede fase havo/vwo, wiskunde B

Files ontstaan als het te druk is op de wegen (vooral tijdens de ochtend- en avondspits). Je krijgt namelijk een file als in een min of meer constante stroom auto's met ongeveer dezelfde snelheid op een bepaalde plaats wordt geremd.
Een voorbeeld is het verminderen van het aantal rijstroken, of het afslaan naar een afrit richting de parkeerplaats van een pretpark of een evenement. Omdat de weggebruikers dan meestal niet tijdig hun snelheid aanpassen moet er worden geremd. Zo'n file is niet nodig als iedereen de juiste doorstroomsnelheid kiest. Je kunt zelf een algebraïsch model opstellen voor het fileprobleem. Het gaat daarbij om het berekenen van de beste doorstroomsnelheid in km/uur. Maak daarbij gebruik van de volgende aannames:

• Alle auto's passeren de plaats van het ontstaan van de file met dezelfde constante snelheid van v km/uur.
• Alle auto's hebben dezelfde lengte.
• Alle auto's houden een onderlinge afstand die gelijk is aan hun remweg.
• De remweg voor alle auto's is gelijk.
  Daarvoor wordt de vuistregel van de vereniging voor Veilig Verkeer Nederland (tegenwoordig 3VO) gehanteerd: de remweg is te berekenen door de snelheid v in km/uur te delen door 10, daarvan het kwadraat te nemen en dat getal met 0,75 te vermenigvuldigen.

Maak zelf een schatting van de gemiddelde lengte van een auto. Stel op grond daarvan een formule op voor het aantal auto's f dat per minuut het punt passeert waar de file ontstaat als functie van v. De bedoelde formule heeft de vorm:

$f=\frac{v}{a+b\cdot v^2}$

waarin a de geschatte lengte van een auto is en b een constante is die voortkomt uit de berekening van de remweg. Bepaal de juiste waarden voor a en b gebaseerd op de aannames. Bepaal van de gevonden functie f(v) een maximum en vooral de waarde van v waarvoor dat maximum optreedt.

Maak een werkstuk over het fileprobleem waarin je het bovenstaande verwerkt. Ga in dat werkstuk in op de juistheid van de aannames; probeer de aannames en daarmee de gevonden formule te verbeteren (bijvoorbeeld kun je een reactietijd inbouwen in de formule voor de remweg). Ga ook in op de toename van het fileprobleem in Nederland, de economische schade die daardoor wordt veroorzaakt en de oplossingen die men bedenkt om het fileprobleem uit de wereld te krijgen.

Opdracht:

• Stel een algebraïsch model voor het fileprobleem op.
• Bereken de optimale rijsnelheid met behulp van differentëren.
• Maak een kritische bespreking van de aannames en verbetering van de formule.
• Zoek mogelijke oplossingen en onderzoek de economische schade veroorzaakt door files.