Achtergronden

De formule van Cardano is vergelijkbaar met de abc-formule, maar dan voor een vergelijking als x³ + px = q. De oplossing uit die tijd was meetkundig, hier zie je die van Tartaglia in beeld. Hij verdeelt px in drie balken en bouwt zo door een kubusje met inhoud v toe te voegen een kubus met inhoud t. Nu is t – v = q.
Verder is $\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{v}=x$. En ook is $\sqrt[3]{t}\cdot \sqrt[3]{v}\cdot x=px$ de inhoud van één balkje, dus t · v = p³.

Uit t – v = q en t · v = p³ kun je afleiden dat t = $\frac{1}{2}q+\sqrt{\frac{1}{4}{q}^2+\frac{1}{27}{p}^3}$ en v = $-\frac{1}{2}q+\sqrt{\frac{1}{4}{q}^2+\frac{1}{27}{p}^3}$.

Hieruit vind je $x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}q+\sqrt{\frac{1}{4}{q}^2+\frac{1}{27}{p}^3}}-\sqrt[3]{-\frac{1}{2}q+\sqrt{\frac{1}{4}{q}^2+\frac{1}{27}{p}^3}}$.
Dit is de formule van Cardano, hoewel hij voor het eerst door Scipio del Ferro is ontdekt.
Je vindt er één oplossing van x³ + px = q mee.

Ook van de algemene derdegraads vergelijking ax³ + bx² + cx + d = 0 kun je er één oplossing mee vinden. Je stelt dan x = y – $\frac{1}{3}$a om hem in de vorm y³ + py = q te brengen, maar dan kun je y en dus ook x berekenen.
Noem je de gevonden oplossing r, dan is de algemene derdegraads vergelijking te schrijven als (x – r)(x² + Ax + B) = 0. Daarmee vind je nog twee oplossingen...