» Meer over Tartaglia » De tijd van Tartaglia » Tartaglia's oplossing van een derdegraads vergelijking
De Renaissance (wederopbloei van wetenschap en cultuur als gevolg van toenemende welvaart en handel in West-Europa en het eerst in de Italiaanse steden) was in volle gang en met name de wetenschap stond aan de vooravond van een periode van grote bloei. Het zwaartepunt van de ontwikkeling was aan het verschuiven van de Hindoe-Arabische cultuur naar de handelssteden van West-Europa. Het was de tijd van de kunstenaar en wiskundige Albrecht Dürer, van de kunstenaar en universele geleerde Leonardo da Vinci, van de wiskundigen Pacioli, Tartaglia en Cardano en van de grote astronoom Copernicus.
Over Tartaglia Niccolo Fontana die bekend was onder de naam Tartaglia, werd in 1499 geboren in de Italiaanse stad Brescia die toentertijd binnen de republiek Venetië lag. Zijn vader was er postbode. Toen Tartaglia 13 jaar oud was werd Brescia veroverd door de Fransen. De jonge Niccolo was getuige van de slachting die daar het gevolg van was en hield er vreselijk verwondingen aan over. Dank zij de zorgen van zijn moeder overleefde hij, maar op latere leeftijd droeg hij altijd een baard om zijn littekens te verbergen. Bovendien kon hij daarna nog maar met moeite spreken en dus kreeg hij de bijnaam 'Tartaglia', stotteraar. Tartaglia leerde zichzelf de wiskunde en werd dank zij zijn uitzonderlijke talenten op dat gebied een kundig 'rekenmeester'. Hij verdiende namelijk in Verona en van 1534 in Venetië zijn (vooreerst mager) kostje door voor kooplieden rentes te berekenen gebaseerd op de wiskunde in Luca Pacioli's 'Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita'. Ook kreeg hij in Venetië een post als eenvoudig wiskundeleraar. Langzamerhand werden echter Tartaglia's gaven onderkend en werd hij een gewaardeerd rekenmeester en wiskundige. Hij raakte door zijn werk in Venetië in concurrentie met een andere rekenmeester Antoniomaria Fior. Fior daagde Tartaglia uit tot een wedstrijd om uit te maken wie van hen beiden de beste rekenmeester was. Fior dacht met gemak te zullen winnen, want hij had van zijn leermeester Scipione Del Ferro op diens sterfbed geleerd hoe je derdegraads vergelijkingen algebraïsch kon oplossen, iets wat tot dat moment niemand beheerste. Tartaglia wist ook inderdaad niet meer dan wat Pacioli in zijn boek beweerde, namelijk dat dit onmogelijk was. Fior gaf Tartaglia dan ook een dertigtal opgaven op die allemaal moesten worden opgelost met behulp van een derdegraads vergelijking, en wel van steeds dezelfde type: Een kubus en enkele van zijn ribben zijn gelijk aan een getal. Hiermee werd in die tijd (men kende nog geen letters voor variabelen en geen tekens voor optellen en vermenigvuldigen en dergelijke) bedoeld een vergelijking van de vorm x3 + a · x = c, waarin a en c constanten zijn. De opgaven die Tartaglia aan Fior gaf waren weliswaar traditionele wiskunde, maar toch bleek dat Fior maar een middelmatig wiskundige was. Tartaglia echter wist uiteindelijk op 13 februari 1535 inderdaad de opgaven van Fior op te lossen. Hij ontdekte hoe een dergelijke derdegraads vergelijking kon worden opgelost en won de wedstrijd. In 1537 werkte Tartaglia aan de kogelbaan op uitnodiging van de militaire staf van de republiek Venetië. Hij ontdekte dat kogelbanen parabolen zijn (bij benadering) en beschreef in zijn 'Nova Scientia' hoe wiskunde kon worden toegepast op de artillerie. Hij ontwierp de eerste vuurleidingstabellen. In Milaan leefde in die tijd de medicus en amateur-wiskundige Girolamo Cardano (1501 - 1576) die wiskunde doceerde aan de universiteit van Milaan. Ook hij kende het probleem van de derdegraads vergelijking en geloofde Pacioli op zijn woord dat een dergelijke vergelijking onoplosbaar was. Cardano hoorde echter van de uitslag van de wedstrijd en probeerde Tartaglia's methode zelf te ontdekken. In 1539 zocht hij contact met Tartaglia en verzocht hem om zijn methode te mogen publiceren in een boek dat hij van plan was te gaan schrijven. Tartaglia echter weigerde omdat hij zelf van plan was een boek te schrijven waarin zijn oplossingsmethode werd uitgelegd en bewezen. Cardano schreef daarop brieven naar Tartaglia waarin hij aandrong en vertelde dat hij Tartaglia's vaardigheid had besproken met de gouverneur van het leger van de Heilige Roomse Keizer in Milaan, Alfonso d'Avalos, markies Del Vasto. Daarop wijzigde Tartaglia zijn mening, want hij zag voordeel in het kennismaken met zo'n invloedrijke Milanese gouverneur die er wellicht voor kon zorgen dat hij een beter betaalde baan aan het hof in Milaan kreeg. Hij schreef daarop terug dat hij Cardano wel wilde opzoeken om kennis te maken met de markies Del Vasto. Cardano was daar blij mee en in maart 1539 reisde Tartaglia naar Milaan. Daar bleek de markies tijdelijk afwezig te zijn, maar Tartaglia werd in Cardano's huis vriendelijk onthaald. Cardano overreedde hem daarbij om zijn oplossingsmethode te vertellen terwijl hij zwoer hem nooit te zullen doorvertellen. Tartaglia zwichtte en verwerkte zijn oplossing tot een gedicht (zodat mocht iemand anders de oplossing in handen krijgen hij toch niet zou begrijpen waar het over ging). Cardano gaf Tartaglia een aanbevelingsbrief voor de markies mee, maar deze keerde terug naar Venetië vol twijfels of hij niet toch beter de oplossing voor zichzelf had kunnen houden. Terug in Venetië kreeg dit wantrouwen jegens Cardano de overhand. Cardano publiceerde datzelfde jaar twee boeken over wiskunde, maar hield voorlopig zijn belofte om Tartaglia's oplossing niet te publiceren. Tartaglia echter wilde van vriendschap met Cardano niets meer weten en maakte diens boeken belachelijk. Intussen deden Cardano en zijn assistent Ludovico Ferrari verder onderzoek naar derdegraads vergelijkingen, gebaseerd op Tartaglia's oplossingsmethode. Zij wisten ook andere typen derdegraads vergelijkingen op te lossen en losten zelfs vierdegraads vergelijkingen op. Tartaglia daarentegen was druk met de vertaling in het Italiaans van Euklides 'De elementen' en deed niets om zijn oplossing zelf te publiceren. Wellicht hoopte hij er ook in de komende jaren uitdagingen mee te kunnen winnen. Intussen hoorden Cardano en Ferrari van Annibale della Nave (Del Ferro's schoonzoon) dat Del Ferro en niet Tartaglia als eerste de derdegraads vergelijking had opgelost. Cardano voelde zich daarop niet langer verplicht om de belofte aan Tartaglia te houden. In 1545 publiceerde Cardano zijn 'Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus' of korter zijn 'Ars Magna'. Daarin nam hij de oplossingen van alle typen derdegraads en vierdegraads vergelijkingen die hij en Ferrari hadden gevonden, gebaseerd op het werk van Del Ferro en Tartaglia. Deze laatsten werden nadrukkelijk genoemd in de 'Ars Magna' als de eersten die een derdegraads vergelijking hadden weten op te lossen. Tartaglia echter was woedend en viel in eigen geschriften Cardano op venijnige en beledigende wijze aan. Cardano had weinig last van Tartaglia's aanvallen, maar Ferrari daagde Tartaglia uit tot een wiskunde-wedstrijd. Tartaglia voelde echter weinig voor een openbaar debat met de relatief onbekende Ferrari. Wel wilde hij in de slag met de beroemde wiskundige Cardano, want dat was goed voor zijn eigen status. Daar had echter Cardano weer weinig trek in. In hun briefwisseling scholden Ferrari en Tartaglia elkaar uit voor alles wat mooi en lelijk was, maar ze kwamen niet tot een vergelijk. Tot in 1548 Tartaglia een post als wiskundige werd aangeboden in Brescia, zijn geboortestad, op voorwaarde dat hij de wedstrijd met Ferrari in Milaan zou aannemen. Op 10 augustus 1548 werd deze wedstrijd gehouden in de kerk in de tuin van het Frati Zoccolante. Tartaglia was wel gewend aan dergelijke wedstrijden en dacht te zullen winnen, maar na de eerste dag werd duidelijk dat Ferrari de derdegraads en vierdegraads vergelijkingen beter begreep dan Tartaglia. Deze besloot te vertrekken voordat de wedstrijd geheel was afgelopen, maar daardoor werd de overwinning aan Ferrari toegeschreven. Tartaglia ondervond veel hinder van deze handelswijze. Hoewel hij een jaar lang in Brescia zijn post bekleedde kreeg hij te horen dat zijn toelage niet werd uitgekeerd. Zelfs na het inschakelen van advocaten kreeg Tartaglia geen cent en geheel berooid keerde hij terug naar zijn oude werk in Venetië. Hij koesterde een enorme haat jegens Cardano. Op 13 december 1557 overleed hij in Venetië. Tartaglia's oplossing van een derdegraads vergelijking Tartaglia kreeg tijdens een wedstrijd derdegraads vergelijkingen voor zijn neus die zo werden geformuleerd: Een kubus en enkele van zijn ribben zijn gelijk aan een getal. Het gaat om vergelijkingen van de vorm x3 + a · x = c, waarin a en c constanten zijn. Alleen kende men in die tijd nog geen algemene afspraken over het gebruik van tekens voor optellen, vermenigvuldigen, is-gelijk-aan, en werden er ook geen lettervariabelen gebruikt. Bij de oplossing van Tartaglia wordt in de onderstaande animatie wel gebruik gemaakt van deze handige afspraken. Je ziet hoe de vergelijking x3 + 6x = 20 wordt opgelost, één van de vergelijkingen die Tartaglia ook daadwerkelijk moest oplossen. Uit de twee vergelijkingen t – v = 20 en t · v = 8 haalde Tartaglia de (positieve) waarden voor t en v. Hij moest daarvoor nog wel een kwadratische vergelijking oplossen, maar die kennis had iedere wiskundige uit die tijd. Vervolgens vond hij eenvoudig dat x = 2 de oplossing was. Ga dat zelf na. De door Tartaglia en Cardano gebruikte methode (zeker ook bij het bewijs van de juistheid van de oplossing) is sterk meetkundig en gebaseerd op de oplossing van Al-Khwarizmi voor de tweedegraads vergelijking. Vergelijk maar... Verwonderlijk is dat niet, de wiskunde van de Oude Grieken was vrijwel geheel meetkundig van aard, en ook de Hindoe-Arabische beschaving had meestal meetkundige methoden gebruikt voor bewijzen. De ontwikkeling van de algebra stond nog in de kinderschoenen, geschikte notaties waren nog geen gemeengoed of bestonden helemaal nog niet. Maar weldra zou dat gaan veranderen... Math4all
Tartaglia leerde zichzelf de wiskunde en werd dank zij zijn uitzonderlijke talenten op dat gebied een kundig 'rekenmeester'. Hij verdiende namelijk in Verona en van 1534 in Venetië zijn (vooreerst mager) kostje door voor kooplieden rentes te berekenen gebaseerd op de wiskunde in Luca Pacioli's 'Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita'. Ook kreeg hij in Venetië een post als eenvoudig wiskundeleraar. Langzamerhand werden echter Tartaglia's gaven onderkend en werd hij een gewaardeerd rekenmeester en wiskundige.
Hij raakte door zijn werk in Venetië in concurrentie met een andere rekenmeester Antoniomaria Fior. Fior daagde Tartaglia uit tot een wedstrijd om uit te maken wie van hen beiden de beste rekenmeester was. Fior dacht met gemak te zullen winnen, want hij had van zijn leermeester Scipione Del Ferro op diens sterfbed geleerd hoe je derdegraads vergelijkingen algebraïsch kon oplossen, iets wat tot dat moment niemand beheerste. Tartaglia wist ook inderdaad niet meer dan wat Pacioli in zijn boek beweerde, namelijk dat dit onmogelijk was. Fior gaf Tartaglia dan ook een dertigtal opgaven op die allemaal moesten worden opgelost met behulp van een derdegraads vergelijking, en wel van steeds dezelfde type:
Hiermee werd in die tijd (men kende nog geen letters voor variabelen en geen tekens voor optellen en vermenigvuldigen en dergelijke) bedoeld een vergelijking van de vorm x3 + a · x = c, waarin a en c constanten zijn. De opgaven die Tartaglia aan Fior gaf waren weliswaar traditionele wiskunde, maar toch bleek dat Fior maar een middelmatig wiskundige was. Tartaglia echter wist uiteindelijk op 13 februari 1535 inderdaad de opgaven van Fior op te lossen. Hij ontdekte hoe een dergelijke derdegraads vergelijking kon worden opgelost en won de wedstrijd. In 1537 werkte Tartaglia aan de kogelbaan op uitnodiging van de militaire staf van de republiek Venetië. Hij ontdekte dat kogelbanen parabolen zijn (bij benadering) en beschreef in zijn 'Nova Scientia' hoe wiskunde kon worden toegepast op de artillerie. Hij ontwierp de eerste vuurleidingstabellen.
In Milaan leefde in die tijd de medicus en amateur-wiskundige Girolamo Cardano (1501 - 1576) die wiskunde doceerde aan de universiteit van Milaan. Ook hij kende het probleem van de derdegraads vergelijking en geloofde Pacioli op zijn woord dat een dergelijke vergelijking onoplosbaar was. Cardano hoorde echter van de uitslag van de wedstrijd en probeerde Tartaglia's methode zelf te ontdekken. In 1539 zocht hij contact met Tartaglia en verzocht hem om zijn methode te mogen publiceren in een boek dat hij van plan was te gaan schrijven. Tartaglia echter weigerde omdat hij zelf van plan was een boek te schrijven waarin zijn oplossingsmethode werd uitgelegd en bewezen. Cardano schreef daarop brieven naar Tartaglia waarin hij aandrong en vertelde dat hij Tartaglia's vaardigheid had besproken met de gouverneur van het leger van de Heilige Roomse Keizer in Milaan, Alfonso d'Avalos, markies Del Vasto. Daarop wijzigde Tartaglia zijn mening, want hij zag voordeel in het kennismaken met zo'n invloedrijke Milanese gouverneur die er wellicht voor kon zorgen dat hij een beter betaalde baan aan het hof in Milaan kreeg. Hij schreef daarop terug dat hij Cardano wel wilde opzoeken om kennis te maken met de markies Del Vasto. Cardano was daar blij mee en in maart 1539 reisde Tartaglia naar Milaan. Daar bleek de markies tijdelijk afwezig te zijn, maar Tartaglia werd in Cardano's huis vriendelijk onthaald. Cardano overreedde hem daarbij om zijn oplossingsmethode te vertellen terwijl hij zwoer hem nooit te zullen doorvertellen. Tartaglia zwichtte en verwerkte zijn oplossing tot een gedicht (zodat mocht iemand anders de oplossing in handen krijgen hij toch niet zou begrijpen waar het over ging). Cardano gaf Tartaglia een aanbevelingsbrief voor de markies mee, maar deze keerde terug naar Venetië vol twijfels of hij niet toch beter de oplossing voor zichzelf had kunnen houden.
Terug in Venetië kreeg dit wantrouwen jegens Cardano de overhand. Cardano publiceerde datzelfde jaar twee boeken over wiskunde, maar hield voorlopig zijn belofte om Tartaglia's oplossing niet te publiceren. Tartaglia echter wilde van vriendschap met Cardano niets meer weten en maakte diens boeken belachelijk. Intussen deden Cardano en zijn assistent Ludovico Ferrari verder onderzoek naar derdegraads vergelijkingen, gebaseerd op Tartaglia's oplossingsmethode. Zij wisten ook andere typen derdegraads vergelijkingen op te lossen en losten zelfs vierdegraads vergelijkingen op. Tartaglia daarentegen was druk met de vertaling in het Italiaans van Euklides 'De elementen' en deed niets om zijn oplossing zelf te publiceren. Wellicht hoopte hij er ook in de komende jaren uitdagingen mee te kunnen winnen. Intussen hoorden Cardano en Ferrari van Annibale della Nave (Del Ferro's schoonzoon) dat Del Ferro en niet Tartaglia als eerste de derdegraads vergelijking had opgelost. Cardano voelde zich daarop niet langer verplicht om de belofte aan Tartaglia te houden. In 1545 publiceerde Cardano zijn 'Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus' of korter zijn 'Ars Magna'. Daarin nam hij de oplossingen van alle typen derdegraads en vierdegraads vergelijkingen die hij en Ferrari hadden gevonden, gebaseerd op het werk van Del Ferro en Tartaglia. Deze laatsten werden nadrukkelijk genoemd in de 'Ars Magna' als de eersten die een derdegraads vergelijking hadden weten op te lossen. Tartaglia echter was woedend en viel in eigen geschriften Cardano op venijnige en beledigende wijze aan.
Cardano had weinig last van Tartaglia's aanvallen, maar Ferrari daagde Tartaglia uit tot een wiskunde-wedstrijd. Tartaglia voelde echter weinig voor een openbaar debat met de relatief onbekende Ferrari. Wel wilde hij in de slag met de beroemde wiskundige Cardano, want dat was goed voor zijn eigen status. Daar had echter Cardano weer weinig trek in. In hun briefwisseling scholden Ferrari en Tartaglia elkaar uit voor alles wat mooi en lelijk was, maar ze kwamen niet tot een vergelijk. Tot in 1548 Tartaglia een post als wiskundige werd aangeboden in Brescia, zijn geboortestad, op voorwaarde dat hij de wedstrijd met Ferrari in Milaan zou aannemen. Op 10 augustus 1548 werd deze wedstrijd gehouden in de kerk in de tuin van het Frati Zoccolante. Tartaglia was wel gewend aan dergelijke wedstrijden en dacht te zullen winnen, maar na de eerste dag werd duidelijk dat Ferrari de derdegraads en vierdegraads vergelijkingen beter begreep dan Tartaglia. Deze besloot te vertrekken voordat de wedstrijd geheel was afgelopen, maar daardoor werd de overwinning aan Ferrari toegeschreven.
Tartaglia ondervond veel hinder van deze handelswijze. Hoewel hij een jaar lang in Brescia zijn post bekleedde kreeg hij te horen dat zijn toelage niet werd uitgekeerd. Zelfs na het inschakelen van advocaten kreeg Tartaglia geen cent en geheel berooid keerde hij terug naar zijn oude werk in Venetië. Hij koesterde een enorme haat jegens Cardano. Op 13 december 1557 overleed hij in Venetië.
Tartaglia's oplossing van een derdegraads vergelijking Tartaglia kreeg tijdens een wedstrijd derdegraads vergelijkingen voor zijn neus die zo werden geformuleerd: Een kubus en enkele van zijn ribben zijn gelijk aan een getal. Het gaat om vergelijkingen van de vorm x3 + a · x = c, waarin a en c constanten zijn. Alleen kende men in die tijd nog geen algemene afspraken over het gebruik van tekens voor optellen, vermenigvuldigen, is-gelijk-aan, en werden er ook geen lettervariabelen gebruikt. Bij de oplossing van Tartaglia wordt in de onderstaande animatie wel gebruik gemaakt van deze handige afspraken. Je ziet hoe de vergelijking x3 + 6x = 20 wordt opgelost, één van de vergelijkingen die Tartaglia ook daadwerkelijk moest oplossen. Uit de twee vergelijkingen t – v = 20 en t · v = 8 haalde Tartaglia de (positieve) waarden voor t en v. Hij moest daarvoor nog wel een kwadratische vergelijking oplossen, maar die kennis had iedere wiskundige uit die tijd. Vervolgens vond hij eenvoudig dat x = 2 de oplossing was. Ga dat zelf na. De door Tartaglia en Cardano gebruikte methode (zeker ook bij het bewijs van de juistheid van de oplossing) is sterk meetkundig en gebaseerd op de oplossing van Al-Khwarizmi voor de tweedegraads vergelijking. Vergelijk maar... Verwonderlijk is dat niet, de wiskunde van de Oude Grieken was vrijwel geheel meetkundig van aard, en ook de Hindoe-Arabische beschaving had meestal meetkundige methoden gebruikt voor bewijzen. De ontwikkeling van de algebra stond nog in de kinderschoenen, geschikte notaties waren nog geen gemeengoed of bestonden helemaal nog niet. Maar weldra zou dat gaan veranderen... Math4all
Het gaat om vergelijkingen van de vorm x3 + a · x = c, waarin a en c constanten zijn. Alleen kende men in die tijd nog geen algemene afspraken over het gebruik van tekens voor optellen, vermenigvuldigen, is-gelijk-aan, en werden er ook geen lettervariabelen gebruikt. Bij de oplossing van Tartaglia wordt in de onderstaande animatie wel gebruik gemaakt van deze handige afspraken. Je ziet hoe de vergelijking x3 + 6x = 20 wordt opgelost, één van de vergelijkingen die Tartaglia ook daadwerkelijk moest oplossen.
Uit de twee vergelijkingen t – v = 20 en t · v = 8 haalde Tartaglia de (positieve) waarden voor t en v. Hij moest daarvoor nog wel een kwadratische vergelijking oplossen, maar die kennis had iedere wiskundige uit die tijd. Vervolgens vond hij eenvoudig dat x = 2 de oplossing was. Ga dat zelf na. De door Tartaglia en Cardano gebruikte methode (zeker ook bij het bewijs van de juistheid van de oplossing) is sterk meetkundig en gebaseerd op de oplossing van Al-Khwarizmi voor de tweedegraads vergelijking. Vergelijk maar... Verwonderlijk is dat niet, de wiskunde van de Oude Grieken was vrijwel geheel meetkundig van aard, en ook de Hindoe-Arabische beschaving had meestal meetkundige methoden gebruikt voor bewijzen. De ontwikkeling van de algebra stond nog in de kinderschoenen, geschikte notaties waren nog geen gemeengoed of bestonden helemaal nog niet. Maar weldra zou dat gaan veranderen... Math4all
Uit de twee vergelijkingen t – v = 20 en t · v = 8 haalde Tartaglia de (positieve) waarden voor t en v. Hij moest daarvoor nog wel een kwadratische vergelijking oplossen, maar die kennis had iedere wiskundige uit die tijd. Vervolgens vond hij eenvoudig dat x = 2 de oplossing was. Ga dat zelf na.
De door Tartaglia en Cardano gebruikte methode (zeker ook bij het bewijs van de juistheid van de oplossing) is sterk meetkundig en gebaseerd op de oplossing van Al-Khwarizmi voor de tweedegraads vergelijking. Vergelijk maar... Verwonderlijk is dat niet, de wiskunde van de Oude Grieken was vrijwel geheel meetkundig van aard, en ook de Hindoe-Arabische beschaving had meestal meetkundige methoden gebruikt voor bewijzen. De ontwikkeling van de algebra stond nog in de kinderschoenen, geschikte notaties waren nog geen gemeengoed of bestonden helemaal nog niet. Maar weldra zou dat gaan veranderen...
Math4all
