Toepassingen

Een hele mooie toepassing van krommen zijn de banen van de planeten om de zon. Die worden bepaald door de drie wetten van Kepler waaruit de gravitatiewet van Newton is af te leiden.
Volgens Kepler beschrijven de planeten een ellipsvormige, bijna cirkelvormige, baan om de zon waarbij T² / R³ voor alle planeten gelijk is. T is de omlooptijd in jaren en R de (gemiddelde) afstand tot de zon in AE (1 AE = 1 astronomische eenheid = de straal van de Aardbaan).

Om een model voor de planetenbanen op te stellen neem je de Zon als oorsprong van een xy-assenstelsel waarin alle planeten bewegen (in werkelijkheid liggen niet alle banen precies in één vlak). Uitgaande van zuivere cirkelbanen, geldt dan voor de baan van elke planeet (x(t),y(t)) = (R cos($\frac{2\text{π}}{T}$ · t),R sin($\frac{2\text{π}}{T}$ · t)).
Door differentiëren bepaal je de snelheidsvector en de versnellingsvector.
Daaruit kun je afleiden dat de snelheid v = $\frac{2\text{π}R}{T}$ en de versnelling a = $\frac{{\text{4π}}^{2}R}{T^2}$ is.
Dit betekent a = $\frac{v^2}{R}$.
Volgens Newton geldt voor elke massa m dat er een kracht F = m · a nodig is om hem een versnelling van a te geven en volgens Kepler is T² / R³ = k een constante.
Hieruit volgt: F = 4π²k · $\frac{m}{R^2}$

Newton bedacht nu dat ook de massa van de zon M in de formule moet voorkomen. Hij formuleerde de algemene gravitatiewet: F = G · $\frac{M\cdot m}{R^2}$