Stelling

In het algemeen geldt voor een willekeurig grondtal g en willekeurige positieve gehele exponenten n en m de volgende rekenregels:
gⁿ · g^m = g^n + m           $\frac{g^n}{g^m}=g^{n-m}$           (gⁿ)^m = g^n · m

Bewijs

Per definitie is gⁿ = g · g · ... · g (met n getallen g).

Dus is:
gⁿ · g^m = g · g · ... · g (met n getallen g) × g · g · ... · g (met m getallen g) =
= g · g · ... · g (met n + m getallen g) = g^n + m

Omdat g / g = 1 (als g ≠ 0) geldt ook:
gⁿ / g^m = g · g · ... · g (met n getallen g) / (g · g · ... · g (met m getallen g)) =
= g · g · ... · g (met n – m getallen g) · g / g · g / g · ... · g / g =
= g · g · ... · g (met n – m getallen g) · 1 · 1 · ... · 1 = g^n – m

En op vergelijbare wijze kun je ook (gⁿ)^m = g^n · m beredeneren.

Merk op dat het noodzakelijk is dat n en m positieve gehele getallen zijn, maar dat g elk willekeurig getal ongelijk 0 kan zijn. Verder volgt g⁰ = 1 nog uit de tweede rekenregel als n = m.