Toepassingen

Iemand wil € 100.000 lenen van een bank, om een huis te kopen of een zaak te beginnen. De bank wil 5% rente per jaar hebben en de lening moet in 20 jaar worden terugbetaald. Hoe ga je zo'n schuld aflossen? Twee bekende methoden zijn:

• Een lineair afbetalingssysteem, waarbij je elk jaar 1/20ste deel van de schuld terugbetaald en jaarlijks rente betaalt over de nog uitstaande restschuld.
  Stel je leent op 1-1-2010 (t = 0) en je betaalt voor het eerst op 31-12-2010.
  Je betaalt op t = 1: 5000 + 0,05 · 100.000 euro.
  Je betaalt op t = 2: 5000 + 0,05 · 95.000 euro. Enzovoorts...
  In jaar t betaal je: B(t) = 5000 + 0,05 · (100.000 – 5000(t – 1)) euro.
  B(t) is een rekenkundige rij, dus je berekent je totale kosten voor deze lening met de somformule voor zo'n rij.
• Een afbetalingssysteem met annuïteiten, waarbij je elk jaar evenveel betaalt, rente en aflossing samen (in het begin veel rente en weinig aflossing, later andersom). Natuurlijk betaal je ook nu rente over je restschuld.
  Noem de annuïteit A, je leent op 1-1-2010 en betaalt op 31-12 van elk jaar.
  Je restschuld op t = 1 is: 100.000 · 1,05 – A.
  Je restschuld op t = 2 is: 100.000 · 1,02² – A · 1,05 · A.
  Na t jaar is je restschuld: 100.000 · 1,02^t – A · 1,05^t – 1 – A · 1,05^t – 2 – ... – A.
  Je hebt alles afbetaalt als dit samen 0 is.
  Met de somformule voor een meetkundige rij: 100.000 · 1,02^t – $\frac{A(1-{\mathrm{1,05}}^t)}{1-\mathrm{1,05}}$ = 0.
  Hieruit bereken je de annuïteit en je totale kosten.