Uitleg

Bij een functie van de vorm f(x) = x² kun je een afgeleide (functie) f'(x) opstellen door het differentiequotiënt op het interval [x,x + h] te bewerken en dan h naar 0 te laten naderen:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{(x+h)}^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

Conclusie: de afgeleide van f(x) = x² is f'(x) = 2x.

Op dezelfde manier kun je aantonen dat de afgeleide van f(x) = x³ is f'(x) = 3x².

En zelfs kun je aantonen dat de afgeleide van f(x) = c · xⁿ is f'(x) = c · nx^n – 1 voor elke waarde van c.

Dit laatste resultaat is gemakkelijk te onthouden. Voor het bepalen van de afgeleide van dit type functies (machtsfuncties met gehele positieve exponent) hoef je daarom niet langer met differentiequotiënten te worstelen. Je gebruikt het resultaat hierboven: de afgeleide wordt vermenigvuldigd met de exponent van de machtsfunctie en krijgt een nieuwe exponent die precies 1 kleiner is dan die van de machtsfunctie zelf.

De afgeleide van f(x) = 3x⁷ is volgens die methode f'(x) = 3 · 7x^7 – 1 = 21x⁶.
Dat gaat een stuk makkelijker dan met een differentiequotiënt, niet waar?