Voorbeeld

De opbrengst R bij de verkoop van een bepaald product hangt af van het aantal producten q dat je verkoopt. Niet altijd neemt de opbrengst toe als je meer verkoopt, want soms moet je om meer te kunnen verkopen de prijs per stuk laten zakken. Daarom kan de opbrengst onder bepaalde economische omstandigheden worden gegeven door R = –q² + 24q, waarin R in honderden euro en q in duizenden eenheden.
Bij welke aantal verkochte eenheden is de opbrengst zo groot mogelijk?

Antwoord

Bepaal eerst de afgeleide. Begin met het differentiequotiënt op [q, q + h]:
$\frac{\Delta R}{\Delta q}=\frac{-{(q+h)}^2+24(q+h)-(-q^2+24q)}{h}=-2q+24-h$

Als h de waarde 0 nadert, gaat dit over in de afgeleide: R'(q) = –2q + 24.

De grafiek van deze afgeleide is de hellingsgrafiek van de opbrengstfunctie. De waarde van q waar de hellingen overgaan van negatief in positief zoek je, want dan gaat de opbrengstgrafiek van stijgend over in dalend. De opbrengst zelf heeft daar dus een maximum.
Je vindt de gezochte q uit: R'(q) = –2q + 24 = 0.
De oplossing van deze vergelijking is q = 12.
Conclusie: bij een verkoop van 12 duizendtallen eenheden is de opbrengst maximaal.