» Meer over Pacioli » De tijd van Pacioli » Het werk van Pacioli (onder andere zijn foutieve oplossing van het verdeelprobleem)
Francesco Sforza was in die tijd hertog van Milaan. Hij stierf in 1466 en zijn zoon Galeazzo volgde hem op. Die werd echter vermoord in 1476 en zijn zoontje van zeven moest hem opvolgen. Diens oom, Francesco Sforza's tweede zoon Ludovico, manipuleerde zichzelf tot regent (in 1480) en werd de feitelijke hertog van Milaan. Hij probeerde zijn hof luister bij te zetten door allerlei bekende artiesten en geleerden aan te trekken, waaronder Leonardo da Vinci (in 1482) en later Luca Pacioli (in 1496). In 1499 trokken de Fransen echter Milaan binnen met als reden dat Louis XII afstamde van de eerste herog van Milaan en dus recht had op de macht aldaar.
De Renaissance (wederopbloei van wetenschap en cultuur als gevolg van toenemende welvaart en handel in West-Europa en het eerst in de Italiaanse steden) was in volle gang en met name de wetenschap stond aan de vooravond van een periode van grote bloei. Het zwaartepunt van de ontwikkeling was aan het verschuiven van de Hindoe-Arabische cultuur naar de handelssteden van West-Europa. Het was de tijd van de kunstenaar en wiskundige Albrecht Dürer, van de kunstenaar en universele geleerde Leonardo da Vinci, van de wiskundigen Pacioli, Tartaglia en Cardano en van de grote astronoom Copernicus.
Over Pacioli Luca Pacioli is geboren in 1445 in Sansepolcro, een handelsstadje in het midden van Italië ongeveer 60 km ten noorden van Perugia. Over zijn vroegste jeugd is weinig meer bekend dan dat hij opgroeide in het huis van de familie Belfoci. Hij lijkt een deel van zijn scholing te hebben gekregen in de studio van Piero della Francesca (omstreeks 1420 - 1492), één van de grote kunstschilders van de vroege Italiaanse Renaissance die vooral religieuze werken maakte die bekend zijn geworden door hun eenvoud en helderheid. Della Francesca was ook geïnteresseerd in wiskunde, met name meetkunde vanwege zijn studie van het gebruik van perspectief in de schilderkunst, iets wat toen nog nieuw was. Nog op betrekkelijk jeugdige leeftijd trok Pacioli naar Venetië waar hij in dienst trad van de rijke koopman Antonio Rompiansi als leraar van diens drie zonen. Daar zette Pacioli zijn studie van de wiskunde voort onder leiding van Domenico Bragadino. Verder leerde hij naast lesgeven de ins en outs van het zaken doen door Rompiansi te helpen. Hier schreef Pacioli in 1470 zijn eerste wiskundeboek (over rekenkunde) dat hij opdroeg aan zijn werkgever die echter nog datzelfde jaar overleed. Daarna trok Pacioli naar Rome, waar hij onderdak kreeg bij Leone Battista Alberti, een secretaris in de pauselijke kanselarij. Pacioli studeerde er theologie en trad ergens in de loop van de volgende jaren als broeder in de Franciscaner Orde in. Als Franciscaner monnik begon Pacioli in 1477 een leven van rondreizen. Aan verschillende universiteiten gaf hij lessen, vooral in de rekenkunde. Onder andere werkte hij van 1477 tot 1480 aan de universiteit van Perugia waar hij een tweede boek over rekenkunde schreef, bestemd voor zijn studenten. Maar ook gaf hij les in Zadar (in het huidige Kroatië, toen een deel van de Republiek Venetië), in Napels en in Rome. Hij maakte in die tijd kennis met de hertog van Urbino, Frederico da Montefeltro, en gaf les aan diens zoon Guidobaldo die in 1482 zijn vader als hertog opvolgde. Het hof van de hertog van Urbino was in die tijd een centrum van cultuur en wetenschap en Pacioli hield er vele jaren contact mee. In 1489 keerde Pacioli terug naar zijn geboortestad Sansepolcro. Hij raakte er op gespannen voet met monniken van andere ordes vanwege enkele voorrechten die de Paus hem had toegekend en hem werd verboden om er les te geven. Daar begon Pacioli zijn wiskundeboek 'Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita' dat hij opdroeg aan Guidobaldo da Montefeltro, de hertog van Urbino. Het boek geeft een overzicht van alle in die tijd bekende wiskunde. Echte nieuwe ideeën bevatte het niet. Maar Pacioli werd er beroemd mee in heel West-Europa; het boek werd jarenlang het standaardwerk voor de studie van de wiskunde en het gaf daarmee een enorme stimulans aan de ontwikkeling van dit vak in de komende jaren. In 1494 reisde Pacioli naar Venetië om dit boek te laten uitgeven. In 1496 was Pacioli's roem al zo groot, dat hij werd uitgenodigd door Ludovico Sforza, de hertog van Milaan, om aan zijn hof wiskundelessen te komen verzorgen. Pacioli ging op die uitnodiging in en trok naar Milaan. Aan het Milanese hof maakte hij kennis met Leonardo da Vinci en zij werden vrienden. Ze spraken veel over wiskunde en kunst en leerden veel van elkaar. Pacioli begon er aan het tweede van zijn beroemd geworden boeken, namelijk de 'Divina proportione' over de Gulden Snede. Leonardo maakte er de illustraties voor! Uiteindelijk werden het drie boeken die onder de titel 'Divina proportione' in 1509 werden uitgegeven. In 1499 werd het hertogdom Milaan bezet door de Franse koning Louis XII (die vanwege zijn afstamming van de allereerste hertog van Milaan meende op dit hertogdom recht te hebben). Ludovico Sforza werd gevangen genomen en Pacioli en Leonardo da Vinci vluchtten samen via Mantua en Venetië naar Florence waar ze een huis betrokken. De universiteit van Pisa was na een revolte in 1494 naar Florence verhuisd en Pacioli werd in 1500 benoemd als hoogleraar in de meetkunde aan de universiteit van Pisa in Florence. Hij verbleef er met Leonardo da Vinci tot 1506. Alleen gedurende de jaren 1501 en 1502 gaf Pacioli korte tijd les aan de universiteit van Bologna waar hij met Scipione del Ferro samenwerkte. Ze bespraken er de oplossing van derdegraads vergelijkingen die Pacioli als onmogelijk had vermeld in zijn 'Summa...'. Korte tijd na Pacioli's vertrek uit Bologna lukte het Del Ferro om een bepaald type derdegraads vergelijking op te lossen, een oplossing die later door Nicolo Tartaglia opnieuw werd ontdekt. Pacioli werd in die periode in Florence benoemd tot hoofd van de Fransiscaner Orde in Romagna en in 1506 trad hij in het klooster van Santa Croce in Florence in. Hij stelde vervolgens in Venetië zijn recht veilig om als enige zijn boeken te mogen uitgeven gedurende de volgende 15 jaar. In 1509 kwam zijn 'Divina proportione' uit en gaf hij ook een vertaling van Euklides' 'Elementen' in het Latijn uit die was gebaseerd op de dertiende eeuwse vertaling van dit boek in het Latijn door Campanus. Pacioli gaf na die tijd nog les in Perugia en in 1514 ook nog in Rome, maar hij was toen bijna 70 jaar oud en beëndigde zijn actieve loopbaan. Hij trok zich terug in Sansepolcro waar hij in 1517 stierf. Pacioli's belangrijkste werk Pacioli's was geen groot wiskundige in de zin dat hij nieuwe ontdekkingen deed of nieuwe begrippen invoerde. Zijn kennis was uitsluitend gebaseerd op wat hij van anderen had geleerd. Maar hij kende de stand van de wiskunde in die tijd heel goed en wist die in zijn boeken zodanig weer te geven, dat ze jarenlang als standaardwerken bij de studie van dit vak werden gebruikt. Er op terugkijkend zijn de beperkingen goed zichtbaar: Pacioli dacht dat derdegraads vergelijkingen onoplosbaar waren, hij loste bepaalde kansproblemen foutief op. Maar zijn werk hebben anderen aangezet tot het vinden van oplossingen voor deze problemen... Kijk bijvoorbeeld bij Tartaglia en Cardano. Zijn bekendste boeken zijn: De 'Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita' (1494) Dit was een overzicht (in het Italiaans!) van alle theoretische en praktische rekenkunde, van alle algebraïsche kennis, van de meetkunde van Euklides, van elementaire kansrekening, kortom van alle in die tijd bekende wiskunde. Bovendien was het een overzicht van de gebruikte maten en gewichten, van de verschillende geldstelsels en was er een systeem van dubbele boekhouding in de vinden. Deze zaken had Pacioli geleerd uit boeken van Fibonacci, Boëthius, vertalingen van Euklides' 'Elementen', etc. Dit was zo'n 50 jaar lang hét naslagwerk van de Italiaanse wiskundige en rekenmeester. De 'Divina proportione' (1509) Dit was een driedelig werk over de Gulden Snede, de beroemde verhouding van lijnstukken die in de bouwkunst en de schilderkunst van die tijd zo'n grote rol speelde. Veel van de kennis in het boek is afkomstig van Leonardo van Pisa (Fibonacci) en geïnspireerd door Pacioli's omgang met de kunstenaars Piero della Francesca en Leonardo da Vinci. Het derde boek was in feite een vertaling van een werk van Della Francesca over dit onderwerp. Zijn vertaling in het Latijn van 'De elementen' van Euklides. Het verdeelprobleem uit de kansrekening Een bekend vraagstuk uit de tijd van Pacioli had te maken met het feit dat kooplieden vaak tijdens pauzes in onderhandelingen de tijd doodden door een spel te spelen. Dergelijke spelen werden afgebroken als de partijen tot overeenstemming waren gekomen. Maar hoe moest je dan eerlijk de 'pot' verdelen? Zo kun je dit probleem bijvoorbeeld formuleren: Twee partijen spelen een spel om punten. Ze hebben beide een even grote kans om een punt te scoren. Er is geen tijdsduur voor het spel vastgelegd en de partij die als eerste 6 punten gescoord heeft, wint de pot van 60 dukaten. Het spel moet door omstandigheden bij de stand 5-3 worden gestaakt. Er wordt besloten de pot te verdelen. De vraag is nu: hoe moet dat gebeuren? Pacioli bedacht in zijn 'Summa...' dat de pot moest worden verdeeld in de verhouding 5 : 3 (de stand bij afbreken), maar zijn collega Cardano vond dat je rekening moest houden met de nog te scoren punten. In die tijd konden de wiskundigen geen bevredigende oplossing verzinnen. Dat gebeurde pas veel later in een briefwisseling tussen de Franse wiskundigen Pascal en Fermat. Als je zelf wat kansrekening hebt geleerd, kun je ongetwijfeld de juiste oplossing wel verzinnen. Math4all
Nog op betrekkelijk jeugdige leeftijd trok Pacioli naar Venetië waar hij in dienst trad van de rijke koopman Antonio Rompiansi als leraar van diens drie zonen. Daar zette Pacioli zijn studie van de wiskunde voort onder leiding van Domenico Bragadino. Verder leerde hij naast lesgeven de ins en outs van het zaken doen door Rompiansi te helpen. Hier schreef Pacioli in 1470 zijn eerste wiskundeboek (over rekenkunde) dat hij opdroeg aan zijn werkgever die echter nog datzelfde jaar overleed. Daarna trok Pacioli naar Rome, waar hij onderdak kreeg bij Leone Battista Alberti, een secretaris in de pauselijke kanselarij. Pacioli studeerde er theologie en trad ergens in de loop van de volgende jaren als broeder in de Franciscaner Orde in.
Als Franciscaner monnik begon Pacioli in 1477 een leven van rondreizen. Aan verschillende universiteiten gaf hij lessen, vooral in de rekenkunde. Onder andere werkte hij van 1477 tot 1480 aan de universiteit van Perugia waar hij een tweede boek over rekenkunde schreef, bestemd voor zijn studenten. Maar ook gaf hij les in Zadar (in het huidige Kroatië, toen een deel van de Republiek Venetië), in Napels en in Rome. Hij maakte in die tijd kennis met de hertog van Urbino, Frederico da Montefeltro, en gaf les aan diens zoon Guidobaldo die in 1482 zijn vader als hertog opvolgde. Het hof van de hertog van Urbino was in die tijd een centrum van cultuur en wetenschap en Pacioli hield er vele jaren contact mee.
In 1489 keerde Pacioli terug naar zijn geboortestad Sansepolcro. Hij raakte er op gespannen voet met monniken van andere ordes vanwege enkele voorrechten die de Paus hem had toegekend en hem werd verboden om er les te geven. Daar begon Pacioli zijn wiskundeboek 'Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita' dat hij opdroeg aan Guidobaldo da Montefeltro, de hertog van Urbino. Het boek geeft een overzicht van alle in die tijd bekende wiskunde. Echte nieuwe ideeën bevatte het niet. Maar Pacioli werd er beroemd mee in heel West-Europa; het boek werd jarenlang het standaardwerk voor de studie van de wiskunde en het gaf daarmee een enorme stimulans aan de ontwikkeling van dit vak in de komende jaren. In 1494 reisde Pacioli naar Venetië om dit boek te laten uitgeven.
In 1496 was Pacioli's roem al zo groot, dat hij werd uitgenodigd door Ludovico Sforza, de hertog van Milaan, om aan zijn hof wiskundelessen te komen verzorgen. Pacioli ging op die uitnodiging in en trok naar Milaan. Aan het Milanese hof maakte hij kennis met Leonardo da Vinci en zij werden vrienden. Ze spraken veel over wiskunde en kunst en leerden veel van elkaar. Pacioli begon er aan het tweede van zijn beroemd geworden boeken, namelijk de 'Divina proportione' over de Gulden Snede. Leonardo maakte er de illustraties voor! Uiteindelijk werden het drie boeken die onder de titel 'Divina proportione' in 1509 werden uitgegeven.
In 1499 werd het hertogdom Milaan bezet door de Franse koning Louis XII (die vanwege zijn afstamming van de allereerste hertog van Milaan meende op dit hertogdom recht te hebben). Ludovico Sforza werd gevangen genomen en Pacioli en Leonardo da Vinci vluchtten samen via Mantua en Venetië naar Florence waar ze een huis betrokken. De universiteit van Pisa was na een revolte in 1494 naar Florence verhuisd en Pacioli werd in 1500 benoemd als hoogleraar in de meetkunde aan de universiteit van Pisa in Florence. Hij verbleef er met Leonardo da Vinci tot 1506. Alleen gedurende de jaren 1501 en 1502 gaf Pacioli korte tijd les aan de universiteit van Bologna waar hij met Scipione del Ferro samenwerkte. Ze bespraken er de oplossing van derdegraads vergelijkingen die Pacioli als onmogelijk had vermeld in zijn 'Summa...'. Korte tijd na Pacioli's vertrek uit Bologna lukte het Del Ferro om een bepaald type derdegraads vergelijking op te lossen, een oplossing die later door Nicolo Tartaglia opnieuw werd ontdekt.
Pacioli werd in die periode in Florence benoemd tot hoofd van de Fransiscaner Orde in Romagna en in 1506 trad hij in het klooster van Santa Croce in Florence in. Hij stelde vervolgens in Venetië zijn recht veilig om als enige zijn boeken te mogen uitgeven gedurende de volgende 15 jaar. In 1509 kwam zijn 'Divina proportione' uit en gaf hij ook een vertaling van Euklides' 'Elementen' in het Latijn uit die was gebaseerd op de dertiende eeuwse vertaling van dit boek in het Latijn door Campanus.
Pacioli gaf na die tijd nog les in Perugia en in 1514 ook nog in Rome, maar hij was toen bijna 70 jaar oud en beëndigde zijn actieve loopbaan. Hij trok zich terug in Sansepolcro waar hij in 1517 stierf.
Pacioli's belangrijkste werk Pacioli's was geen groot wiskundige in de zin dat hij nieuwe ontdekkingen deed of nieuwe begrippen invoerde. Zijn kennis was uitsluitend gebaseerd op wat hij van anderen had geleerd. Maar hij kende de stand van de wiskunde in die tijd heel goed en wist die in zijn boeken zodanig weer te geven, dat ze jarenlang als standaardwerken bij de studie van dit vak werden gebruikt. Er op terugkijkend zijn de beperkingen goed zichtbaar: Pacioli dacht dat derdegraads vergelijkingen onoplosbaar waren, hij loste bepaalde kansproblemen foutief op. Maar zijn werk hebben anderen aangezet tot het vinden van oplossingen voor deze problemen... Kijk bijvoorbeeld bij Tartaglia en Cardano. Zijn bekendste boeken zijn: De 'Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita' (1494) Dit was een overzicht (in het Italiaans!) van alle theoretische en praktische rekenkunde, van alle algebraïsche kennis, van de meetkunde van Euklides, van elementaire kansrekening, kortom van alle in die tijd bekende wiskunde. Bovendien was het een overzicht van de gebruikte maten en gewichten, van de verschillende geldstelsels en was er een systeem van dubbele boekhouding in de vinden. Deze zaken had Pacioli geleerd uit boeken van Fibonacci, Boëthius, vertalingen van Euklides' 'Elementen', etc. Dit was zo'n 50 jaar lang hét naslagwerk van de Italiaanse wiskundige en rekenmeester. De 'Divina proportione' (1509) Dit was een driedelig werk over de Gulden Snede, de beroemde verhouding van lijnstukken die in de bouwkunst en de schilderkunst van die tijd zo'n grote rol speelde. Veel van de kennis in het boek is afkomstig van Leonardo van Pisa (Fibonacci) en geïnspireerd door Pacioli's omgang met de kunstenaars Piero della Francesca en Leonardo da Vinci. Het derde boek was in feite een vertaling van een werk van Della Francesca over dit onderwerp. Zijn vertaling in het Latijn van 'De elementen' van Euklides. Het verdeelprobleem uit de kansrekening Een bekend vraagstuk uit de tijd van Pacioli had te maken met het feit dat kooplieden vaak tijdens pauzes in onderhandelingen de tijd doodden door een spel te spelen. Dergelijke spelen werden afgebroken als de partijen tot overeenstemming waren gekomen. Maar hoe moest je dan eerlijk de 'pot' verdelen? Zo kun je dit probleem bijvoorbeeld formuleren: Twee partijen spelen een spel om punten. Ze hebben beide een even grote kans om een punt te scoren. Er is geen tijdsduur voor het spel vastgelegd en de partij die als eerste 6 punten gescoord heeft, wint de pot van 60 dukaten. Het spel moet door omstandigheden bij de stand 5-3 worden gestaakt. Er wordt besloten de pot te verdelen. De vraag is nu: hoe moet dat gebeuren? Pacioli bedacht in zijn 'Summa...' dat de pot moest worden verdeeld in de verhouding 5 : 3 (de stand bij afbreken), maar zijn collega Cardano vond dat je rekening moest houden met de nog te scoren punten. In die tijd konden de wiskundigen geen bevredigende oplossing verzinnen. Dat gebeurde pas veel later in een briefwisseling tussen de Franse wiskundigen Pascal en Fermat. Als je zelf wat kansrekening hebt geleerd, kun je ongetwijfeld de juiste oplossing wel verzinnen. Math4all
Zijn bekendste boeken zijn:
Pacioli bedacht in zijn 'Summa...' dat de pot moest worden verdeeld in de verhouding 5 : 3 (de stand bij afbreken), maar zijn collega Cardano vond dat je rekening moest houden met de nog te scoren punten. In die tijd konden de wiskundigen geen bevredigende oplossing verzinnen. Dat gebeurde pas veel later in een briefwisseling tussen de Franse wiskundigen Pascal en Fermat. Als je zelf wat kansrekening hebt geleerd, kun je ongetwijfeld de juiste oplossing wel verzinnen.
Math4all
