Voorbeeld

Laat zien dat voor de complexe getallen z₁ = 3 + 4i en z₂ = 2,4 + i de vermenigvuldigregel (zie Theorie) geldt.

Antwoord

Ga na (zie Voorbeeld 1) dat: |z₁| = 5 en arg z₁ ≈ 0,93.
Ga ook na, dat: |z₂| = 2,6 en arg z₂ ≈ 0,39.

Nu is z₁ · z₂ = (3 + 4i)(2,4 + i) = 3,2 + 12,6i.

Hiervoor geldt: |z₁ · z₂| = $\sqrt{{\mathrm{3,2}}^2+{\mathrm{12,6}}^2}$ = 13 en arg(z₁ · z₂) = $\arctan \left(\frac{\mathrm{12,6}}{\mathrm{3,2}}\right)$ ≈ 1,32.

Inderdaad geldt |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂| en arg z₁ · z₂ = arg z₁ + arg z₂.

Natuurlijk is dit nog geen bewijs voor de vermenigvuldigregel.

Het kan zijn dat arg z₁ + arg z₂ op meer dan 2π uitkomt. In dat geval zullen arg z₁ · z₂ en arg z₁ + arg z₂ verschillen. Neem je echter de hoofdwaarde van het argument, dan ontstaat dit probleem niet.