• Een nieuwe methode!

  MathPlus
• Wiskunde havo/vwo
  • havo/vwo 1/2
  • havo 3
  • vwo 3
  • havo bovenbouw
    • havo a
    • havo b
    • havo d
  • vwo bovenbouw
    • vwo a
    • vwo b
    • vwo c
    • vwo d
• Wiskunde 2015
  • havo bovenbouw
    • havo a
    • havo b
  • vwo bovenbouw
    • vwo a
    • vwo b
    • vwo c
• Mathematics 12-18
  • Saba a
  • Saba b
• Hulpmiddelen
  • GeoEnzo
  • AlgebraKIT
  • Practica
• Extra's
  • Projecten
  • Praktische Opdrachten
  • Probleemaanpak
  • Puzzelen
• 5000 jaar wiskunde
  • 75 wiskundigen
  • 100 vensters
  • Fragmenten

Brook Taylor (1685 – 1731) was een Engelse wiskundige die vooral bekend is geworden door het beschrijven van een methode om functies zoals de sinusfunctie, de cosinusfuncties en de exponentiële functie met grondtal e te benaderen met behulp van veeltermen. Dit betekent dat de functiewaarden van deze functies kunnen worden benaderd door optellingen en aftrekkingen van machten, dus door elementaire rekenkundige bewerkingen. En dat is niet alleen een heel bijzondere eigenschap, maar het geeft ook een structurele manier om tabellen met waarden van dergelijke functies te maken, zeker als je beschikt over de rekensnelheid van een moderne rekenmachine of computer. Deze algemene eigenschap van een groot aantal speciale functies heeft Taylor voor het eerst algemeen geformuleerd en bewezen. Dat heet de stelling van Taylor. Door zijn compacte wijze van beschrijven van zijn ontdekkingen - Taylor deed meer dan alleen het bewijs voor de stelling van Taylor netjes formuleren - werd het belang ervan vaak pas later ingezien. Van de stelling van Taylor werd bijvoorbeeld pas in 1772 door de grote Franse wiskundige Lagrange het belang ingezien. Hij sprak van het belangrijkste fundament van de differentiaal- en integraalrekening. » De tijd van Taylor » Over Taylor » Taylor's werk

Links naar anderstalige sites: » Over Taylor » Brook Taylor » Taylor's theorem

De tijd van Taylor

Brook Taylor leefde in Engeland in de tijd dat er in West-Europa op het gebied van wiskunde en natuurwetenschappen enorme stappen waren gezet. Descartes had het assenstelsel en het wereldbeeld waarin de wereld kon worden beschreven als een grote machine bedacht, o.a. Wallis gebruikte het begrip functie, Galileï zette de eerste stappen richting moderne experimentele natuurkunde, Copernicus en Kepler deden het beeld van aarde en planeten die om de zon draaien ontstaan, Newton beschreef de eerste universele zwaartekrachttheorie en bedacht (net als Leibniz) de differentiaal- en integraalrekening, etc.
Inmiddels was ook door o.a. Christopher Wren en Robert Boyle de Royal Society opgericht, een instituut ter bevordering van de studie van de natuurwetenschappen.

Engeland beleefde in de tijd van Taylor een turbulente periode op het gebied van de regerende macht. Na het afzetten van koning Charles was Engeland een soort van republiek, Protectoraat onder leiding van Oliver Cromwell, maar na diens dood in 1658 werd na verloop van enige tijd de monarchie weer hersteld: Charles II was staatshoofd van 1660 - 1685. Maar in feite werd er in het parlement gestreden om de macht door aanhangers van de verschillende kerken (Anglicaanse kerk, Katholieke Kerk, e.a.), waarbij steeds meer de Anglicaanse kant de overhand kreeg, terwijl de koning katholiek was.

In 1685 (Taylor's geboortejaar) werd Charles II opgevolgd door James II die probeerde de Katholieke kant weer de overhand te laten krijgen. Maar vanuit het parlement waren er tegenkrachten die in 1688 zorgden voor het afzetten van James II door de protestantse stadhouder Willem III van de Verenigde Nederlanden (die getrouwd was met de Engelse prinses Mary). Willem werd daarop naast stadhouder ook koning van Engeland tot zijn dood in 1701. Er was toen geen troonopvolger behalve prinses Anne, de jongste dochter van James II en die regeerde van 1702 - 1714. Maar de troonopvolging werd geregeld in een Act of settlement, waarin Sofia van Hannover de kleindochter van James I tot troonopvolger werd aangewezen en werd bepaald dat het Engelse staatshoofd Anglicaans diende te zijn. Vandaar dat na de dood van Anne de keurvorst van Hannover als George I koning van Engeland werd.

Over Taylor

Brook Taylor werd op 18 augustus 1685 geboren in Edmonton in Middlesex, Engeland. Zijn vader, John Taylor, was zoon van een afgevaardigde in het Engelse parlement. Zijn moeder Olivia was de dochter van sir John Tempest, dus van adellijke komaf. Kortom, Brook Taylor werd geboren in een gezin dat redelijk welgesteld was en over goede sociale contacten beschikte.
Vader John bestuurde dit gezin op enigszins dominante wijze, maar was daarnaast groot liefhebber van kunst en cultuur. Hij gaf zijn zoon een degelijke opvoeding op het gebied van de schilderkunst en de muziek. Brook Taylor zou op beide gebieden later ook zijn mathematische vaardigheden loslaten...

Taylor volgde thuis privé-onderwijs tot hij in 1703 werd toegelaten tot het St.John's College in Cambridge. Daar werd zijn interesse in de wiskunde duidelijk. Hij studeerde in 1709 in de wiskunde af, maar had al in 1708 zijn eerste wiskundige verhandeling geschreven (die pas in 1714 werd gepubliceerd). Deze verhandeling ging over het bepalen van het centrum van trilling van een oscillerend lichaam. Ook Johan Bernoulli vond hiervoor een oplossing en er is korte tijd onenigheid tussen beiden geweest over wie nu het eerste was.

In 1712 werd Taylor lid van de Royal Society op voorspraak van zijn docenten in Cambridge die zijn wiskundig genie herkenden, ook al had hij nog weinig publicaties op zijn naam staan. In 1714 werd Taylor tot secretaris van de Royal Society gekozen. In die positie beleefde Taylor zijn meest productieve periode.
In 1715 verscheen zijn "Methodus incrementorum directa et inversa" over differentiaal- en integraalrekening waarin hij naast de stelling die later "de stelling van Taylor" zou heten, ook integratiemethoden zoals partiële integratie, het verband tussen de afgeleide van een functie en zijn inverse, manieren om bepaalde differentiaalvergelijkingen op te lossen beschreef en een verhandeling over de trillende snaar opnam.
Verder verscheen in datzelfde jaar zijn boek "Linear Perspective" over de wiskunde van het tekenen in perspectief. Dit leidde in latere jaren tot de beschrijvende en de projectieve meetkunde.
In 1717 resp. 1719 verschenen herdrukken van deze twee werken.

Taylor's gezondheid was echter niet al te sterk. En daarnaast moest hij enkele persoonlijke tragedies verwerken. In 1721 trouwde hij zeer tegen de zin van zijn vader. Vader en zoon hadden daarom geen enkel contact meer tot in 1723 Taylor's vrouw bij de geboorte van hun eerste kind stierf, samen met het kind. Taylor verzoende zich daarna met zijn vader en trok weer in het ouderlijk huis.
In 1725 trouwde hij voor de tweede keer, nu met instemming van zijn vader John. Toen die vier jaar later stierf erfde Brook Taylor zijn hele vermogen. Een jaar later stierf echter ook Brook's tweede vrouw in het kraambed, maar zijn eerste kind, een meisje, overleefde de geboorte.
Na deze nieuwe tragedie ging Taylor's gezondheid zo dramatisch achteruit dat hij in 1731 stierf.

Brook Taylor was één van de grootste Engelse wiskundigen, maar door zijn zeer compacte wijze van opschrijven van zijn gedachten werd zijn genie pas in latere jaren echt duidelijk.

De stelling van Taylor, reeksontwikkeling van functies

Stel je eens een moment voor dat je geen electronische rekenmachine hebt en je zou voor een bepaalde berekening sin(1) of e² willen weten (als benadering in zeg vier decimalen nauwkeurig) voor een bepaalde berekening willen weten. Hoe zou je dat dan doen?
Trouwens, zelfs als je wel een electronisch rekenapparaat hebt, hoe weet die machine dan de juiste (benaderde) waarden te bepalen?

Tot in de zestiger jaren van de voorgaande eeuw werden dergelijke (benaderde) waarden in tabellen opgezocht. Er bestonden hele boeken met tabellen van de sinusfunctie, de cosinusfunctie, de tangensfunctie, de logaritmische functie met grondtal 10, e-machten, e.d.
Deze tabellen werden gemaakt op grond van allerlei benaderingsmethoden. Je kunt je bijvoorbeeld vast wel voorstellen dat in de Oudheid door schaduwrekening waarden voor sinus, cosinus en tangens van verschillende hoeken konden worden gevonden. (De schaduw van een 1 m lange paal die rechtop in de grond stond kon bij verschillende zonnehoeken worden gemeten.)
Naarmate er van dergelijke speciale functies meer eigenschappen werden ontdekt, ontstonden er andere, betere benaderingsmethoden.

Een heel structurele manier om van veel functies benaderingen te vinden is voor het eerst beschreven door Brook Taylor en later de stelling van Taylor genoemd. Je moet om die stelling te begrijpen het nodige weten van differentiaal- en integraalrekening:

• Er zijn functies die voor elke waarde van $x$ eindeloos vaak te differentiïren zijn. Die hebben een (eerste) afgeleide, een tweede afgeleide, een derde afgeleide, een vierde afgeleide, ..., een $n$-de afgeleide.
• Er bestaat een techniek van integreren die partieel integreren heet:
  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}u\text{'}\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\text{d}x={\left[u\right(x)\cdot v(x\left)\right]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}u\left(x\right)\cdot v\text{'}\left(x\right)\text{d}x$
  Deze techniek is bij 'nette' functies goed toe te passen.

Neem nu eens zo'n 'nette' functie $f$ met functievoorschrift $f\left(x\right)$.
(Het begrip 'nette' functie moet natuurlijk beter worden omschreven, maar voor nu is het genoeg om vast te stellen dat je zo'n functie eindeloos kunt differentiëren en integreren zonder lastige uitzonderingssituaties.)
Volgens de hoofdstelling van de integraalrekening geldt: $\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\text{'}\left(t\right)dt=f\left(x\right)-f\left(a\right)$.
Dus is: $f\left(x\right)=f\left(a\right)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\text{'}\left(t\right)dt$ .

Nu pas je op $\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\text{'}\left(t\right)dt=\underset{a}{\overset{x}{\int }}1\cdot f\text{'}\left(t\right)dt$ het partieel integreren toe.
Dit levert op: $\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\text{'}\left(t\right)dt=\underset{a}{\overset{x}{\int }}1\cdot f\text{'}\left(t\right)dt={\left[t\cdot f\text{'}\left(t\right)\right]}_a^x-\underset{a}{\overset{x}{\int }}t\cdot f\text{'}\text{'}\left(t\right)dt=x\cdot f\text{'}\left(x\right)-a\cdot f\text{'}\left(a\right)-\underset{a}{\overset{x}{\int }}t\cdot f\text{'}\text{'}\left(t\right)dt=x\cdot \left(f\text{'}\left(a\right)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\text{'}\text{'}\left(t\right)dt\right)-a\cdot f\text{'}\left(a\right)-\underset{a}{\overset{x}{\int }}t\cdot f\text{'}\text{'}\left(t\right)dt=\left(x-a\right)\cdot f\text{'}\left(a\right)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\left(x-t\right)f\text{'}\text{'}\left(t\right)dt$.

Dus: $f\left(x\right)=f\left(a\right)+\left(x-a\right)\cdot f\text{'}\left(a\right)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\left(x-t\right)f\text{'}\text{'}\left(t\right)dt$.

Nu ga je opnieuw partieel integreren:
$\underset{a}{\overset{x}{\int }}\left(x-t\right)f\text{'}\text{'}\left(t\right)dt={\left[-\frac{1}{2}{\left(x-t\right)}^2\cdot f\text{'}\text{'}\left(t\right)\right]}_a^x-\underset{a}{\overset{x}{\int }}-\frac{1}{2}{\left(x-t\right)}^2\cdot f^{\left(3\right)}\left(t\right)dt=\frac{1}{2}{\left(x-a\right)}^2\cdot f\text{'}\text{'}\left(a\right)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{2}{\left(x-t\right)}^2{f}^{\left(3\right)}\left(t\right)dt$

Dus: $f\left(x\right)=f\left(a\right)+\left(x-a\right)\cdot f\text{'}\left(a\right)+\frac{1}{2}{\left(x-a\right)}^2\cdot f\text{'}\text{'}\left(a\right)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{2}{\left(x-t\right)}^2{f}^{\left(3\right)}\left(t\right)dt$.

En zo kun je blijven doorgaan. Je vindt dan de stelling van Taylor:

$f\left(x\right)=f\left(a\right)+\left(x-a\right)\cdot f\text{'}\left(a\right)+\frac{1}{2}{\left(x-a\right)}^2\cdot f\text{'}\text{'}\left(a\right)+\frac{1}{3!}{\left(x-a\right)}^3\cdot f^{\left(3\right)}\left(a\right)+\frac{1}{4!}{\left(x-a\right)}^4\cdot f^{\left(4\right)}\left(a\right)+\dots +\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{n!}{\left(x-t\right)}^n{f}^{(n+1)}\left(t\right)dt$ .

Je hebt gezien, dat hierin $a$ een constante is, $x$ en $t$ variabelen zijn.
Verder geldt voor veel 'nette' functies dat $\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{n!}{\left(x-t\right)}^n{f}^{(n+1)}\left(t\right)dt\approx 0$ als $n$ heel groot wordt.
Dit betekent dat de functiewaarden van $f$ voor $x$ niet te ver van $a$ kunnen worden benaderd door:
$f\left(x\right)=f\left(a\right)+\left(x-a\right)\cdot f\text{'}\left(a\right)+\frac{1}{2}{\left(x-a\right)}^2\cdot f\text{'}\text{'}\left(a\right)+\frac{1}{3!}{\left(x-a\right)}^3\cdot f^{\left(3\right)}\left(a\right)+\frac{1}{4!}{\left(x-a\right)}^4\cdot f^{\left(4\right)}\left(a\right)+\dots$
Dit is een somrij (ook wel "reeks" genoemd) van machtsfuncties. Daarom spreek je wel van een reeksontwikkeling van een functie $f$ .

Met $a=0$ en $f\left(x\right)=e^x$ vind je:
$e^x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{4!}{x}^4+\dots$

Met $a=0$ en $f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$ vind je:
$\sin \left(x\right)=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5-\frac{1}{7!}{x}^7\dots$

Met $a=0$ en $f\left(x\right)=\cos \left(x\right)$ vind je:
$\cos \left(x\right)=1-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6!}{x}^6\dots$

Bereken hiermee maar eens benaderingen voor $e^1$ en $e^2$, voor $\sin \left(1\right)$ en $\cos \left(1\right)$ en vergelijk de uitkomsten met de benaderingen die je rekenmachine direct geeft...