Beroemde wiskundigen

Desargues (1591 - 1661) was een Frans ingenieur. Hij werd geboren in een gegoede familie in de omgeving van Lyon, waar hij architect en ingenieur in het leger was. Hij heeft enkele jaren in Parijs geleefd, waar hij de analytische meetkunde en de pas uitgevonden differentiaal- en integraalrekening bestudeerde. Over zijn leven is verder betrekkelijk weinig bekend.

Desargues wordt in het algemeen beschouwd als de schepper van de projectieve meetkunde, de meetkunde die eigenschappen van figuren onderzoekt (die niet veranderen) als je een projectie toepast (zie verder). Nog steeds is de stelling van Desargues een centrale stelling in de projectieve meetkunde.

» De tijd van Desargues
» Het leven van Desargues
» Projectieve meetkunde en de stelling van Desargues

Links naar anderstalige sites:
» Over Desargues

De tijd van Desargues

Het begin van de zeventiende eeuw was een tijd waarin wezenlijke veranderingen in het wetenschappelijk denken aan de orde waren. Tot die tijd stond de wetenschap vooral onder invloed van Aristoteles, maar nu werd het tijd voor een paradigmaverandering. Met name door de ideeën van Descartes werd het wereldbeeld vervangen door een mechanistisch wereldbeeld, waarin de hele wereld als een soort van mechanisch apparaat werd gezien beheerst door wiskundige wetmatigheden. In de wiskunde was de algebra tot bloei gekomen en er ontstonden ideeën om de algebra en meetkunde met elkaar te verbinden.

Het leven van Desargues

Girard Desargues werd in een welgestelde omgeving geboren in Lyon, waar hij architect en ingenieur in het leger was. Hij heeft enige jaren in Parijs doorgebracht waar hij deel uitmaakte van een groep wiskundigen die zich vooral bezighielden met de ontwikkeling van de analytische meetkunde en de infinitesimaalrekening (de differentiaal- en integraalrekening. Dat waren nieuwe gebieden van de wiskunde in die tijd die zeer succesvol en kansrijk bleken en waar mensen als Descartes (1596-1650) en Fermat (1601-1665) zich mee bezig hielden.

Zuivere wiskunde, waarbij geen gebruik gemaakt wordt van de algebra, was in die tijd eigenlijk 'not-done'. Desargues interesseerde zich vooral voor het perspectief en de wiskunde daarvan in de kunst. Zijn vrienden in Parijs ontvingen die ideeën niet met groot gejuich. Descartes, de grondlegger van de analytische meetkunde vond het ondenkbaar om kegelsneden te behandelen zonder gebruik te maken van algebra en teleurgesteld keerde Desargues terug naar Lyon om vrijwel alleen aan zijn ideeën verder te werken.
Zijn grote inspiratiebron was het werk van Appollonius over kegelsneden, de "Conica". Het resultaat was een prachtig boek met de nogal lange titel "Brouillon projet d'une atteinte aux événements des rencontres d'une cone avec un plan" (Parijs, 1639) (vrije vertaling: "Ruwe schets van een poging om de gebeurtenissen te beschrijven die optreden als een kegelsnede en een vlak elkaar ontmoeten"). Zijn boek "Brouillon" werd echter zo slecht gelezen dat het aan het eind van de 16e eeuw eigenlijk verdwenen was. Slechts én origineel exemplaar van de "Brouillon" is in 1951 boven water gekomen. In 1845 werd een handgeschreven kopie van Phillippe la Hire, een trouwe aanhanger van Desargues, in een Parijse bibliotheek gevonden. Het werd in 1864 opnieuw gepubliceerd. Toen kreeg het ook de aandacht die het in Desargues' eigen tijd niet kreeg. Aan de éne kant omdat toen het belang van de gedachten van Desargues voor de ontwikkeling van de wiskunde niet werd onderkend en aan de andere kant, zoals gezegd, omdat andere gebieden van de wiskunde, zoals de analytische meetkunde en de infinitesimaalrekening een explosieve ontwikkeling doormaakten en alle aandacht opeisten.

De gedachten waarop het boek was gebaseerd vonden zijn wortels in het gebruik van perspectief in de Renaissance en het principe van continuïteit van Kepler. Het gaat om het volgende: je weet dat als je scheef naar een cirkel kijkt dat je dan een ellips ziet (dat is een kegelsnede) of ook dat de rand van de schaduw van een lamp op de muur een cirkel of een hyperbool zal zijn, afhankelijk hoe je de lamp opstelt. De vorm en de afmetingen veranderen afhankelijk van het vlak waar het licht opvalt, maar het zal altijd een kegelsnede zijn. Zo zijn er kennelijk eigenschappen die onveranderd blijven als je bepaalde projecties toepast. De wiskunde die daarachter zit heet de projectieve meetkunde.
Om echter elke projectie van een cirkel (dus ook een parabool) een kegelsnede te blijven noemen, moest Desargues accepteren dat een parabool een brandpunt 'in het oneindige' had en dat evenwijdige lijnen elkaar 'in het oneindige' sneden. Zo ontstaat een zelfstandig stuk wiskunde, waarin het euclidische vlak wordt uitgebreid met oneigenlijke punten en de oneigenlijke rechte. De theorie van het perspectief is een goed praktisch model voor die projectieve meetkunde omdat lichtstralen verondersteld worden evenwijdig te zijn, terwijl de lichtstralen van een lamp een kegel vormen.

Projectieve meetkunde en de stelling van Desargues

De projectieve meetkunde beschrijft de eigenschappen die niet veranderen als je figuren projecteert. Hier volgen enkele resultaten.

Bij parallelprojectie blijft de verhouding $\frac{A C}{B C} = (A B C)$ behouden, maar bij een centrale projectie (zoals het geval is bij 'kijken') blijft die niet behouden. In wezen heb je bij centrale projectie aan die verhouding dus niet veel.

Het grappige is nu dat de zogenoemde dubbelverhouding $\frac{A C}{B C} : \frac{A D}{B D} = (A B C D)$ wel behouden blijft bij centrale projectie. Die dubbelverhouding is een centraal begrip bij een bepaalde opbouw van de projectieve meetkunde. Je spreekt van een projectieve transformatie als de dubbelverhouding van vier punten gelijk blijft.

Desargues gebruikte bij de opbouw van zijn projectieve meetkunde overigens de dubbelverhouding niet. In de opbouw die Desargues heeft gekozen is die dubbelverhouding ook niet nodig. Bij de ontwikkeling van zijn projectieve meetkunde heeft Desargues veel nieuwe woorden ingevoerd, waarvan er eigenlijk maar én is overgebleven, namelijk de term 'involutie', daarmee worden paren punten bedoeld op een lijn, waarvan het product van de afstanden tot een gegeven punt constant is. Die punten vormen een 'involutie'. Vier punten in harmonische scheiding (voor die vier punten geldt: $(A B C D) = 1$ ) noemt hij een vierpuntsinvolutie. Die configuratie verandert niet als je er een projectie op toepast, een resultaat dat overigens al bekend was bij Pappos (ca. 300 na Chr.).
Zo bevat de projectieve meetkunde een verzameling van al eerder bekende resultaten die boven de 'gewone' meetkunde uitgaan. De projectieve meetkunde is zo een 'hogere' meetkunde waaruit bijvoorbeeld de vlakke euclidische meetkunde kan worden afgeleid.
Vanwege de harmonische eigenschappen speelt de volledige vierhoek daarin een belangrijke rol. Een volledige vierhoek is een figuur die ontstaat door bij een willekeurig viertal punten ( $A$ , $B$ , $C$ en $D$ ) de zes verbindingslijnen tussen deze punten te betrekken. Er ontstaat nu een configuratie, waarbij door elk punt drie lijnen gaan en op elke lijn twee punten liggen, een zogenoemde $C f (4_{3}, 6_{2})$ .

De stelling van Desargues

De stelling van Desargues is het meest sprekende resultaat uit het begin van de ontwikkeling van de projectieve meetkunde. Hij is van cruciaal belang en wordt door sommigen zelfs als axioma (door degenen die geen metriek accepteren) binnen de projectieve meetkunde beschouwd.
De stelling luidt als volgt:

Als de drie verbindingslijnen van de corresponderende hoekpunten van twee driehoeken

A B C

A' B' C'

door én punt gaan, dan liggen de snijpunten van de paren overeenkomstige zijden op én lijn (zie tekening).

Zo ontstaat een configuratie met 10 punten en 10 lijnen, waarbij op elke lijn 3 punten liggen en door elk punt 3 lijnen gaan, een $C f (10_{3}, 10_{3})$ .
Omdat elke lijn de rol van een punt kan overnemen, is deze stelling ook een goede illustratie van het zogenoemde dualiteitsprincipe, dat binnen de projectieve meetkunde een grote rol speelt. Het dualiteitsprincipe betekent dat je in elke stelling in de projectieve meetkunde 'punt' door 'lijn' kan vervangen en omgekeerd. De bewering die dan ontstaat is eveneens een correcte stelling.
Zo is de duale stelling van de stelling van Desargues:

Als de snijpunten van paren overeenkomstige zijden van twee driezijden

a b c

a' b' c'

op én lijn liggen, dan gaan de verbindingslijnen van de overeenkomstige hoekpunten door én punt.

De stelling noem je 'zelfduaal'.
Overigens is het aardig op te merken dat als je de figuur hierboven voorstelt als een ruimtelijke figuur dan spreekt het voor zichzelf dat de punten $P$ , $Q$ en $R$ op én lijn liggen, want ze vormen dan de snijlijn van de vlakken $A B C$ en $A' B' C'$ , waarbij je $A' B' C'$ in feite opvat als een doorsnede van de ruimtelijke figuur $O A B C$ . In het platte vlak is die stelling een stuk ingewikkelder.

De stelling spreekt ook wel tot de verbeelding omdat er aardige toepassingen voor zijn. Zo kun je er de richting van het snijpunt van twee lijnen (in de tekening de lijnen $a$ en $b$ ) mee bepalen als het snijpunt bijvoorbeeld buiten het papier valt.

De projectieve meetkunde werd in de 19e eeuw verder uitgebouwd door Poncelet en Steiner en wordt beschouwd als én van de juweeltjes van wiskundige denkkracht.

Math4all