Modelleren met XL

Formules kun je in de wiskunde gebruiken als model voor diverse situaties. Hoe je zo'n model dan kunt doorrekenen in Excel leer je aan de hand van de werkmappen 'Model Groei', 'Model Afkoelen' en/of 'Model Harmonische trilling'. Die kun je met de rechtermuisknop downloaden als je er in dit practicum aan toe bent.

Dit practicum kun je pas doen als je al behoorlijk met Excel kunt werken. Bovendien is het bedoeld voor leerlingen in 5 havo of 5/6 vwo bij onderwerpen als 'Dynamische modellen', 'Goniometrische functies' en 'Exponentiële functies'.

Inhoud:


Een voorbeeld van een model

Je hebt al regelmatig gewerkt met formules voor exponentiële groei. Een cultuur bacteriŽn groeit exponentieel de snelheid waarmee het aantal N groeit recht evenredig is met het aantal zelf. Dit betekent: Als de tijd met een stapgrootte van 1 toeneemt van t naar t + 1, dan neemt N toe met:

dN = N(t + 1) – N(t) = c · N(t)

Hierin in c een constante en stelt dN de verandering van N voor. In het algemeen hoeft de stapgrootte niet 1 te zijn. Als je de stapgrootte voorstelt door dt, dan is in het algemeen:

dN = N(t + dt) – N(t) = c · N(t) · dt

De grootte van de constante hangt af van de omstandigheden waaronder die cultuur bacteriën leeft. Door metingen kun je die constante bepalen. Excel kan namelijk voor verschillende waarden van c snel het model doorrekenen en die rekenresultaten kun je dan vergelijken met je meetwaarden.


Het exponentieel groeimodel in Excel

Open nu (met de rechtermuisknop kun je downloaden en door te kiezen 'doel opslaan als...' opslaan onder een eigen naam) de werkmap

Model Groei.

Je ziet daarin hoe het hiervoor beschreven groeimodel is vertaald in een werkblad in Excel. De bovenste 6 rijen worden gebruikt voor informatie over het model. Er staat weergegeven welke variabelen een rol spelen, welke waarden deze variabelen aan het begin (t = 0) krijgen en de modelformules zijn weergegeven. Het:

N(t + dt) = N(t) + c · N(t) · dt

wordt weergegeven door N := N + c*N*dt.
Dat betekent in woorden: 'de nieuwe waarde van N wordt de oude waarde van N plus c*N*dt'.
De modelformules t  := t + dt en N := N + c*N*dt worden gebruikt om de tabel met resultaten te berekenen. Dat is te zien door te klikken op de cellen A10 en A11 en B10 en B11:

Je hebt nu een voorbeeld voor je neus van de vertaling van het exponentiële groeimodel naar een Excel-werkblad. Door de startwaarden te veranderen, kun je de tabel en de grafiek door Excel laten aanpassen. Je kunt nu in feite zelf een model 'vertalen' in Excel. Alleen het opstellen van modelformules kan soms nog tot problemen leiden. Je moet dan goed begrijpen hoe het model werkt. Maar dat staat wel in je wiskundeboek of natuurkundeboek.


Harmonische trilling in Excel

Hierbij hoort het Excel-rekenblad

Model Harmonische trilling

Sla dat rekenblad op je computer op.

Dit rekenblad beschrijft een model voor het trillen van een gewichtje aan een veer als er met de wrijving en het dempen van de trilling geen rekening wordt gehouden. Door de startwaarden te veranderen kun je er ook andere harmonische trillingen mee nabootsen.

De modelformules zijn in het rekenblad vertaald in de cellen A15 t/m E15 en A16 t/m E15:

ABCDE
15=$D$3=–$D$7*$D$10=$D$8=$D$9=B15/$D$5
16=A15+$D$4=–$D$7*C16=C15+D16*$D$4=D15+E15*$D$4


Opwarmen en afkoelen in Excel

Bij deze practische opdracht hoort het Excel-rekenblad

Model Afkoelen

Sla dat rekenblad op je computer op.

Het rekenblad beschrijft een model voor het afkoelingsproces van een pan met kokend water. Door de startwaarden te veranderen kun je er ook andere afkoelingsprocessen mee nabootsen. Door de modelformules aan te passen kun je ook het opwarmen van bijvoorbeeld een drankje uit de koelkast mee beschrijven.

Dit afkoelingsproces kan worden beschreven met een formule van de vorm: Temp = Tomg + a · gt.
Hierin zijn a en g nog te bepalen constanten. De modelformules zijn in het rekenblad vertaald in de cellen A15 t/m D15 en A16 en C16:

ABCD
15=$D$3=D15–$D$6
=$D$5
16=A15+$D$4
=$D$8*B15*$D$4=$D$6+C16
Het afkoelen van een kopje koffie kun je ook zo beschrijven.


Afsluiting

Voer alle (of een gedeelte als je dat met je docent hebt afgesproken) in dit practicum genoemde opdrachten uit. Lever de resultaten als een leesbare uitwerking samen met de werkbladen in Excel in.