» Meer over Von Neumann » De tijd van Von Neumann » Speltheorie » Een site over speltheorie door leerlingen en een leraar van het Barleusgymnasium in Amsterdam
Von Neumann leefde in de eerste helft van de twintigste eeuw, in de periode van de twee wereldoorlogen en van de economische malaise daartussen. Als afstammeling van een Joodse familie was het leven in Oost-Europa en later in Duitsland niet altijd eenvoudig. Joden mochten bijvoorbeeld in Boedapest maar in beperkte mate deelnemen aan het hoger onderwijs. Daarom moest hij voor zijn scheikundestudie uitwijken naar Berlijn en Zürich. Von Neumann merkte zelf betrekkelijk weinig van de Eerste Wereldoorlog en van het opkomend Nationaal Socialisme in de twintiger en dertiger jaren omdat hij zich niet met politiek bezig hield en op tijd (in 1930) naar de Verenigde Staten vertrok. Vanaf 1933 was in Duitsland het Nationaal Socialisme onder leiding van Hitler aan de macht en werd de opbouw naar de Tweede Wereldoorlog ingezet.
In de natuurkunde was de zogenaamde 'quantumtheorie' ontwikkeld. Deze theorie behandelt de natuurkunde van de zeer kleine deeltjes waaruit atomen zijn samengesteld. Ook het licht wordt daarbij gezien als iets dat alleen in kleine pakketjes (quanta) voortbeweegt, dus eigenlijk bestaat ook het licht uit deeltjes (fotonen). Een wiskundige beschrijving van deze theorie moest nog worden ontwikkeld en Von Neumann was één der eerste wiskundigen die zich daarmee bezig hield.
De economische malaise van de dertiger jaren zorgde voor een opleving van de belangstelling voor economisch getinte studies. John Maynard Keynes was een bekende econoom uit die tijd die voorstelde dat de economische crisis zou worden aangepakt door de overheid meer geld in de economie te laten pompen. De oorlogsindustrie die zowel in Duitsland als in Amerika op gang kwam hielp daar cynisch genoeg een handje bij. Ook wiskundigen begonnen zich te interesseren voor strategische beslissingen en wierpen zich op de studie van situaties waarin iemand beslissingen moest nemen zoals kansspelen. Ook Von Neumann raakte hierin geïnteresseerd en ontwikkelde samen met Oskar Morgenstern de zogenaamde 'speltheorie'.
Tijdens de Tweede Wereldoorlog ontstond behoefte aan een wapen dat in staat was de oorlog in één klap te beëndigen. In Los Alamos ontwikkelden Amerikaanse onderzoekers de waterstofbom. Von Neumann was bij dit werk betrokken en adviseur van de Amerikaanse strijdkrachten. Daarnaast beloofde de computer (een idee van Alan Turing) een enorme technologische vooruitgang. Ook aan de ontwikkeling van de achterliggende computertalen nam John von Neumann deel.
Over Von Neumann János (later John) von Neumann werd op 28 december 1903 in Boedapest geboren als zoon van Max Neumann, een belangrijke bankier aldaar. Hij groeide op temidden van een uitgebreide Joodse familiekring en leerde als kind naast Hongaars al Duits en Frans van zijn gouvernantes die uit die landen kwamen. Als kind al gaf de kleine János blijk van een fenomenaal geheugen: de familie vermaakte soms gasten met demonstraties van zijn vermogen om zelfs stukken van telefoonboeken uit het hoofd te leren en op zesjarige leeftijd kon hij met zijn vader al grappen uitwisselen in het klassieke Grieks. In 1911 ging János naar het Luthers Gymnasium in Boedapest. Deze school trok vooral leerlingen die later naar de universiteit gingen en daarom stapten de Neumann's heen over het Protestantse karakter van de school. János' wiskundeleraar herkende al snel zijn speciale talent en stelde speciale leerstof voor hem samen. (Deze school herbergde nog een leerling die later een bekend wiskundige zou worden, namelijk Eugen Wigner die een jaar hoger dan Von Neumann zat.) Max Neumann werd in 1913 de adelstand verheven. De Eerste Wereldoorlog had weinig invloed op Janos Neumann's opvoeding, maar nadat aan het eind van die oorlog Hongarije een aantal maanden een communistisch regiem (onder Bela Kun) kende, vluchtte de familie Neumann naar Oostenrijk. Zij keerden weliswaar een maand later weer terug, maar werden niet meer met open armen ontvangen omdat Bela Kun's communistische regering voornamelijk uit Joodse mensen had bestaan en de Neumann's van oorsprong ook Joods waren. In 1921 rondde Neumann zijn opleiding op het Luthers Gymnasium af. Hij was geïnteresseerd in een wiskundestudie, maar zijn vader zag dat niet zitten, wilde liever dat hij iets ging studeren waarmee later 'geld viel te verdienen', bijvoorbeeld een economische richting. Uiteindelijk werd het een scheikundestudie. Omdat er een strikte grens was aan het aantal Joodse studenten aan de universiteit van Budapest, kon Neumann alleen in Berlijn worden toegelaten voor het vak scheikunde. Hij studeerde daarom van 1921 tot 1923 in Berlijn, maar (zonder colleges te volgen) deed hij ook tentamens in de wiskunde aan de universiteit van Budapest (voor dat vak werd hij vanwege zijn kwaliteiten wel toegelaten). In Duitsland en ook later noemde hij zich Von Neumann. In 1923 maakte hij zijn scheikundestudie af in Zürich waar hij in 1926 afstudeerde aan de Technische Hochschule. Tegelijk hield hij zich met wiskunde bezig en slaagde hij met glans en wimpel voor de tentamens van de universiteit van Budapest. In Zürich ontmoette hij de wiskundigen Hermann Weyl en George Pólya en maakte hij op deze laatste grote indruk daardat hij de oplossing van een onopgelost probleem vaak al aan het einde van een college had gevonden en op wat kladjes had gekrabbeld. In 1926 slaagde hij ook voor zijn doctoraal wiskunde aan de universiteit van Budapest. Zijn doctoraalscriptie ging over verzamelingenleer. In de jaren 1926 - 1929 gaf hij les aan de universiteit van Berlijn, daarna 1929 - 1930 in Hamburg. Maar ook verrichte hij postdoctorale studie bij David Hilbert in Göttingen. In die jaren werd hij onder wiskundigen een echte beroemdheid. Hij werd door de wiskundige Oskar Veblen uitgenodigd om in Princeton te komen lesgeven. Daarop trouwde hij met zijn verloofde Marietta Kovesi en vetrok naar de Verenigde Staten. Hij werd in 1931 tot hoogleraar aan de universiteit van Princeton benoemd. En in 1933 werd hij één van de zes hoogleraren (Alexander, Einstein, Morse, Veblen, Von Neumann en Weyl) van het pas opgerichte Institute for Advanced Studies in Princeton. Tot die tijd had hij ook in Duitsland nog enkele academische posten en ging hij 's zomers naar Europa, maar vanaf het moment dat in Duitsland het Nazi-regime aan de macht kwam stopte hij daarmee. Lesgeven was niet zijn sterkste punt, volgens zijn studenten kalkte hij op een klein stukje schoolbord in razend tempo zijn formules en vergelijkingen, die hij vervolgens voordat ze iets hadden kunnen overnemen weer uitveegde. Zijn lessen waren heel moeilijk te volgen. Op het gebied van onderzoek en publicaties was hij echter op zijn sterkst. Zo werd hij mede-uitgever van 'Annals of Mathematics' en later van 'Compositio Mathematica'. En zijn onderzoeksresultaten zijn erg beroemd geworden in kringen van wiskundigen. Al in zijn jeugd schreef hij over verzamelingenleer, maattheorie en de theorie der reële getallen. En hij legde de wiskundige grondslagen voor de quantumtheorie in zijn 'Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik' uit 1932. Maar het beroemdst is hij wel geworden door zijn opzet van de speltheorie, een theorie over strategische spelen voor twee of meer (samenwerkende of niet-samenwerkende) spelers. Deze theorie beschreef hij samen met Oskar Morgenstern in het wereldberoemde boek 'The theory of games and Economic Behaviour' (1944). In 1936 kregen hij en zijn vrouw Marietta een dochter Marina, maar in 1937 scheidden ze. Een jaar later hertrouwde Von Neumann met Klara Dán die hij op zijn Europese reizen had ontmoet. Von Neumann was een echt feestbeest en hield van het nachtleven en van partijtjes, ook bij hemzelf thuis. Maar zijn wiskundige werk leed daar niet onder, hij won diverse prijzen en onderscheidingen. Hij werkte nog aan hydrodynamica (de beweging van vloeistoffen) en de partiële differentiaalvergelijkingen die daarbij hoorden. Ook hield hij zich bezig met de wiskunde achter de ontwikkeling van de computer die door Alan Turing was bedacht. In de loop van de Tweede Wereldoorlog en in de jaren daarna leidde dat tot de ontwikkeling van de eerste electronische computers. Tijdens de Tweede Wereldoorlog was Von Neumann ook adviseur van het Amerikaanse leger. Onder andere was hij betrokken bij de ontwikkeling van de waterstofbom in Los Alamos, in de periode 1943 tot 1955 was hij adviseur van het Los Alamos Scientific Laboratory. In 1955 werd hij ongeneeslijk ziek, hij leed aan kanker. President Eisenhower verleende de stervende Von Neumann nog de Enrico Fermi Award in 1956. Maar daarna ging het snel bergafwaarts tot grote frustratie van Von Neumann zelf die de aftakeling van zijn hersenfuncties niet kon accepteren. Hij stierf in 1957. Speltheorie In de speltheorie gaat het om het onderzoeken van een spel met meerdere spelers, minstens 2. Alle spelers kunnen kiezen welke strategie ze volgen. De gevolgde strategie leidt tot een zekere uitbetaling (pay-off). Als speler wil je een zo hoog mogelijke uitbetaling, dus het gaat om het vinden van de beste strategie. Speltheorie kent veel toepassingen in de economie. Een voorbeeld is 'prijsstelling': de prijs van een product laat je afhangen van andere (concurrerende) verkopers. Ben je duurder dan verkoop je niks, ben je veel goedkoper dan kan er wel eens een moordende prijzenslag volgen waar je zelf de dupe van bent. De vraag is wat de juiste prijsstelling is. Een ander voorbeeld is een sollicitatie: de sollicitant speelt tegen de mogelijke werkgever. Zetten zijn: salarisaanbod door de werkgever, beschrijving van je capaciteiten door de sollicitant, enzovoorts. Hoe de speltheorie in elkaar zit kun je het beste zien aan de hand van een heel eenvoudig spel en van het zogenaamde 'gevangenendilemma'. Dit zijn beide noncoöperatieve spelen, de spelers werken niet samen. Er zij ook situaties te bedenken waarin de spelers coalities kunnen vormen, dat spreek je van een coöperatief spel. Voorbeeld 1: Morra Jij speelt als A tegen B een spel met twee vingers: tegelijkertijd steken beiden 1 of 2 vingers uit. Er zijn dan vier mogelijkheden: beiden steken 1 vinger uit: 1 – 1 A steekt 1 en B steekt 2 vingers uit: 1 – 2 A steekt 2 en B steekt 1 vingers uit: 2 – 1 beiden steken 2 vingers uit: 2 – 2 Uitbetalingssysteem I: Stel je voor dat de uitbetaling voor speler A zo is: A betaalt 3 euro bij 1 – 1 en anders krijgt hij net zoveel euro als het aantal keren dat er 2 vingers worden uitgestoken. De uitbetalingsmatrix voor A ziet er dan zo uit: B 1 vinger 2 vingers A 1 vinger –3 1 2 vingers 1 2 In dit spel is de te volgen strategie snel te bepalen als je een bijpassend boomdiagram maakt. A zal altijd 2 vingers spelen en B (die dit ook wel snapt) altijd 1 vinger om zijn verlies te minimaliseren, kortom er wordt altijd 2 – 1 gespeeld. Deze strategie ligt van tevoren vast (als beide spelers zo slim mogelijk spelen): het spel is strikt gedetermineerd. Dat komt omdat er een punt in de uitbetalingsmatrix is dat tegelijk het maximum in zijn kolom en het minimum in zijn rij is. Dit punt heet zadelpunt. Als de waarde van zo'n zadelpunt 0 is, is er sprake van een eerlijk spel. Uitbetalingssyteem 2: Als het totaal van de uitgstoken vingers even is krijgt A precies 1 euro van B, anders krijgt B voor elke uitgestoken vinger een euro van A. De uitbetalingsmatrix wordt nu: B 1 vinger 2 vingers A 1 vinger 2 –3 2 vingers –3 4 Nu is er geen zadelpunt, het spel is niet strikt gedetermineerd. Wil je nu de gunstigste strategie voor A bepalen bekijk je zijn verwachte uitbetaling. Stel dat voor A de relatieve frequentie waarmee hij 1 speelt a is en de relatieve frequentie waarmee hij 2 speelt is 1 – a. Voor speler B is dat achtereenvolgens b en 1 – b. De verwachte uitbetaling E is nu voor A: E(A)=2ab – 3a(1 – b) – 3b(1 – a) + (1 – a)(1 – b)=12ab – 7(a + b) + 4 Deze verwachte uitbetaling moet nu zo groot mogelijk worden, dus je zoekt een maximum op het gebied waarin 0 < a < 1 en 0 < b < 1. De waarde van a waarbij het maximum optreedt is wel te bepalen, bijvoorbeeld met behulp van een spreadsheet zoals Excel. Probeer maar eens... Je weet met de waarde van a (bijvoorbeeld in twee decimalen) in hoeveel procent van de spelletjes je 1 moet spelen om een zo hoog mogelijke winst te behalen. Voorbeeld 2: Het gevangenendilemma Twee misdadigers A en B die samen een bank hebben beroofd worden gepakt. Als A bekent en B niet, wordt A getuige en daarom vrijgelaten en krijgt B 20 jaar cel. Andersom als B bekent en A niet wordt B vrijgelaten en krijgt A 20 jaar cel. Als beiden niet bekennen krijgen ze elk 2 jaar cel (gebrek aan bewijs). Als beiden bekennen krijgen ze elk 5 jaar cel. De optimale strategie is duidelijk: als beiden de mond houden krijgen ze elk 2 jaar. Denkbaar is echter dat A eerst de voor hem gunstigste keuze maakt: hij bekent. Dan zal ook B vervolgens de voor hem nog meest gunstige strategie kiezen: hij bekent ook. Nu krijgen ze elk 5 jaar cel. Dit noem je een evenwichtsstrategie, de bijborende 'uitbetaling' heet het Nash-evenwicht (naar John Forbes Nash). Meer over speltheorie is op het internet te vinden, bijvoorbeeld bij speltheorie.nl, maar als je even zoekt op 'game theory' vind je nog veel engelstalige informatie. Math4all
De Eerste Wereldoorlog had weinig invloed op Janos Neumann's opvoeding, maar nadat aan het eind van die oorlog Hongarije een aantal maanden een communistisch regiem (onder Bela Kun) kende, vluchtte de familie Neumann naar Oostenrijk. Zij keerden weliswaar een maand later weer terug, maar werden niet meer met open armen ontvangen omdat Bela Kun's communistische regering voornamelijk uit Joodse mensen had bestaan en de Neumann's van oorsprong ook Joods waren. In 1921 rondde Neumann zijn opleiding op het Luthers Gymnasium af. Hij was geïnteresseerd in een wiskundestudie, maar zijn vader zag dat niet zitten, wilde liever dat hij iets ging studeren waarmee later 'geld viel te verdienen', bijvoorbeeld een economische richting. Uiteindelijk werd het een scheikundestudie. Omdat er een strikte grens was aan het aantal Joodse studenten aan de universiteit van Budapest, kon Neumann alleen in Berlijn worden toegelaten voor het vak scheikunde. Hij studeerde daarom van 1921 tot 1923 in Berlijn, maar (zonder colleges te volgen) deed hij ook tentamens in de wiskunde aan de universiteit van Budapest (voor dat vak werd hij vanwege zijn kwaliteiten wel toegelaten). In Duitsland en ook later noemde hij zich Von Neumann. In 1923 maakte hij zijn scheikundestudie af in Zürich waar hij in 1926 afstudeerde aan de Technische Hochschule. Tegelijk hield hij zich met wiskunde bezig en slaagde hij met glans en wimpel voor de tentamens van de universiteit van Budapest. In Zürich ontmoette hij de wiskundigen Hermann Weyl en George Pólya en maakte hij op deze laatste grote indruk daardat hij de oplossing van een onopgelost probleem vaak al aan het einde van een college had gevonden en op wat kladjes had gekrabbeld. In 1926 slaagde hij ook voor zijn doctoraal wiskunde aan de universiteit van Budapest. Zijn doctoraalscriptie ging over verzamelingenleer.
In de jaren 1926 - 1929 gaf hij les aan de universiteit van Berlijn, daarna 1929 - 1930 in Hamburg. Maar ook verrichte hij postdoctorale studie bij David Hilbert in Göttingen. In die jaren werd hij onder wiskundigen een echte beroemdheid. Hij werd door de wiskundige Oskar Veblen uitgenodigd om in Princeton te komen lesgeven. Daarop trouwde hij met zijn verloofde Marietta Kovesi en vetrok naar de Verenigde Staten. Hij werd in 1931 tot hoogleraar aan de universiteit van Princeton benoemd. En in 1933 werd hij één van de zes hoogleraren (Alexander, Einstein, Morse, Veblen, Von Neumann en Weyl) van het pas opgerichte Institute for Advanced Studies in Princeton. Tot die tijd had hij ook in Duitsland nog enkele academische posten en ging hij 's zomers naar Europa, maar vanaf het moment dat in Duitsland het Nazi-regime aan de macht kwam stopte hij daarmee.
Lesgeven was niet zijn sterkste punt, volgens zijn studenten kalkte hij op een klein stukje schoolbord in razend tempo zijn formules en vergelijkingen, die hij vervolgens voordat ze iets hadden kunnen overnemen weer uitveegde. Zijn lessen waren heel moeilijk te volgen. Op het gebied van onderzoek en publicaties was hij echter op zijn sterkst. Zo werd hij mede-uitgever van 'Annals of Mathematics' en later van 'Compositio Mathematica'. En zijn onderzoeksresultaten zijn erg beroemd geworden in kringen van wiskundigen. Al in zijn jeugd schreef hij over verzamelingenleer, maattheorie en de theorie der reële getallen. En hij legde de wiskundige grondslagen voor de quantumtheorie in zijn 'Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik' uit 1932. Maar het beroemdst is hij wel geworden door zijn opzet van de speltheorie, een theorie over strategische spelen voor twee of meer (samenwerkende of niet-samenwerkende) spelers. Deze theorie beschreef hij samen met Oskar Morgenstern in het wereldberoemde boek 'The theory of games and Economic Behaviour' (1944).
In 1936 kregen hij en zijn vrouw Marietta een dochter Marina, maar in 1937 scheidden ze. Een jaar later hertrouwde Von Neumann met Klara Dán die hij op zijn Europese reizen had ontmoet. Von Neumann was een echt feestbeest en hield van het nachtleven en van partijtjes, ook bij hemzelf thuis. Maar zijn wiskundige werk leed daar niet onder, hij won diverse prijzen en onderscheidingen. Hij werkte nog aan hydrodynamica (de beweging van vloeistoffen) en de partiële differentiaalvergelijkingen die daarbij hoorden. Ook hield hij zich bezig met de wiskunde achter de ontwikkeling van de computer die door Alan Turing was bedacht. In de loop van de Tweede Wereldoorlog en in de jaren daarna leidde dat tot de ontwikkeling van de eerste electronische computers.
Tijdens de Tweede Wereldoorlog was Von Neumann ook adviseur van het Amerikaanse leger. Onder andere was hij betrokken bij de ontwikkeling van de waterstofbom in Los Alamos, in de periode 1943 tot 1955 was hij adviseur van het Los Alamos Scientific Laboratory. In 1955 werd hij ongeneeslijk ziek, hij leed aan kanker. President Eisenhower verleende de stervende Von Neumann nog de Enrico Fermi Award in 1956. Maar daarna ging het snel bergafwaarts tot grote frustratie van Von Neumann zelf die de aftakeling van zijn hersenfuncties niet kon accepteren. Hij stierf in 1957.
Speltheorie In de speltheorie gaat het om het onderzoeken van een spel met meerdere spelers, minstens 2. Alle spelers kunnen kiezen welke strategie ze volgen. De gevolgde strategie leidt tot een zekere uitbetaling (pay-off). Als speler wil je een zo hoog mogelijke uitbetaling, dus het gaat om het vinden van de beste strategie. Speltheorie kent veel toepassingen in de economie. Een voorbeeld is 'prijsstelling': de prijs van een product laat je afhangen van andere (concurrerende) verkopers. Ben je duurder dan verkoop je niks, ben je veel goedkoper dan kan er wel eens een moordende prijzenslag volgen waar je zelf de dupe van bent. De vraag is wat de juiste prijsstelling is. Een ander voorbeeld is een sollicitatie: de sollicitant speelt tegen de mogelijke werkgever. Zetten zijn: salarisaanbod door de werkgever, beschrijving van je capaciteiten door de sollicitant, enzovoorts. Hoe de speltheorie in elkaar zit kun je het beste zien aan de hand van een heel eenvoudig spel en van het zogenaamde 'gevangenendilemma'. Dit zijn beide noncoöperatieve spelen, de spelers werken niet samen. Er zij ook situaties te bedenken waarin de spelers coalities kunnen vormen, dat spreek je van een coöperatief spel. Voorbeeld 1: Morra Jij speelt als A tegen B een spel met twee vingers: tegelijkertijd steken beiden 1 of 2 vingers uit. Er zijn dan vier mogelijkheden: beiden steken 1 vinger uit: 1 – 1 A steekt 1 en B steekt 2 vingers uit: 1 – 2 A steekt 2 en B steekt 1 vingers uit: 2 – 1 beiden steken 2 vingers uit: 2 – 2 Uitbetalingssysteem I: Stel je voor dat de uitbetaling voor speler A zo is: A betaalt 3 euro bij 1 – 1 en anders krijgt hij net zoveel euro als het aantal keren dat er 2 vingers worden uitgestoken. De uitbetalingsmatrix voor A ziet er dan zo uit: B 1 vinger 2 vingers A 1 vinger –3 1 2 vingers 1 2 In dit spel is de te volgen strategie snel te bepalen als je een bijpassend boomdiagram maakt. A zal altijd 2 vingers spelen en B (die dit ook wel snapt) altijd 1 vinger om zijn verlies te minimaliseren, kortom er wordt altijd 2 – 1 gespeeld. Deze strategie ligt van tevoren vast (als beide spelers zo slim mogelijk spelen): het spel is strikt gedetermineerd. Dat komt omdat er een punt in de uitbetalingsmatrix is dat tegelijk het maximum in zijn kolom en het minimum in zijn rij is. Dit punt heet zadelpunt. Als de waarde van zo'n zadelpunt 0 is, is er sprake van een eerlijk spel. Uitbetalingssyteem 2: Als het totaal van de uitgstoken vingers even is krijgt A precies 1 euro van B, anders krijgt B voor elke uitgestoken vinger een euro van A. De uitbetalingsmatrix wordt nu: B 1 vinger 2 vingers A 1 vinger 2 –3 2 vingers –3 4 Nu is er geen zadelpunt, het spel is niet strikt gedetermineerd. Wil je nu de gunstigste strategie voor A bepalen bekijk je zijn verwachte uitbetaling. Stel dat voor A de relatieve frequentie waarmee hij 1 speelt a is en de relatieve frequentie waarmee hij 2 speelt is 1 – a. Voor speler B is dat achtereenvolgens b en 1 – b. De verwachte uitbetaling E is nu voor A: E(A)=2ab – 3a(1 – b) – 3b(1 – a) + (1 – a)(1 – b)=12ab – 7(a + b) + 4 Deze verwachte uitbetaling moet nu zo groot mogelijk worden, dus je zoekt een maximum op het gebied waarin 0 < a < 1 en 0 < b < 1. De waarde van a waarbij het maximum optreedt is wel te bepalen, bijvoorbeeld met behulp van een spreadsheet zoals Excel. Probeer maar eens... Je weet met de waarde van a (bijvoorbeeld in twee decimalen) in hoeveel procent van de spelletjes je 1 moet spelen om een zo hoog mogelijke winst te behalen. Voorbeeld 2: Het gevangenendilemma Twee misdadigers A en B die samen een bank hebben beroofd worden gepakt. Als A bekent en B niet, wordt A getuige en daarom vrijgelaten en krijgt B 20 jaar cel. Andersom als B bekent en A niet wordt B vrijgelaten en krijgt A 20 jaar cel. Als beiden niet bekennen krijgen ze elk 2 jaar cel (gebrek aan bewijs). Als beiden bekennen krijgen ze elk 5 jaar cel. De optimale strategie is duidelijk: als beiden de mond houden krijgen ze elk 2 jaar. Denkbaar is echter dat A eerst de voor hem gunstigste keuze maakt: hij bekent. Dan zal ook B vervolgens de voor hem nog meest gunstige strategie kiezen: hij bekent ook. Nu krijgen ze elk 5 jaar cel. Dit noem je een evenwichtsstrategie, de bijborende 'uitbetaling' heet het Nash-evenwicht (naar John Forbes Nash).
Speltheorie kent veel toepassingen in de economie. Een voorbeeld is 'prijsstelling': de prijs van een product laat je afhangen van andere (concurrerende) verkopers. Ben je duurder dan verkoop je niks, ben je veel goedkoper dan kan er wel eens een moordende prijzenslag volgen waar je zelf de dupe van bent. De vraag is wat de juiste prijsstelling is. Een ander voorbeeld is een sollicitatie: de sollicitant speelt tegen de mogelijke werkgever. Zetten zijn: salarisaanbod door de werkgever, beschrijving van je capaciteiten door de sollicitant, enzovoorts.
Hoe de speltheorie in elkaar zit kun je het beste zien aan de hand van een heel eenvoudig spel en van het zogenaamde 'gevangenendilemma'. Dit zijn beide noncoöperatieve spelen, de spelers werken niet samen. Er zij ook situaties te bedenken waarin de spelers coalities kunnen vormen, dat spreek je van een coöperatief spel.
Meer over speltheorie is op het internet te vinden, bijvoorbeeld bij speltheorie.nl, maar als je even zoekt op 'game theory' vind je nog veel engelstalige informatie.
Math4all
