Poincaré

Jules-Henri Poincaré (1854 - 1912) (meestal Henri genoemd) wordt wel de laatste universele wiskundige genoemd, de laatste die de toenmalige wiskunde geheel overzag en aan de meeste takken actief heeft bijgedragen. De afgelopen jaren is zijn naam weer regelmatig in het nieuws, vanwege het befaamde vermoeden van Poincaré dat is gekraakt (zie onder). Hij is bekend als wiskundige, fysicus en als wetenschapsfilosoof. Bijzonder is ook dat Poincaré beschreven heeft hoe hij dacht op weg naar een nieuwe ontdekking. Daarnaast schreef hij ook boeken en essays over wis- en natuurkunde voor een algemeen publiek, die nog altijd zeer lezenswaardig zijn. » Meer over Poincaré » De tijd van Poincaré » De wiskunde van Poincaré

Links naar anderstalige sites: » Over Poincaré » Over Poincaré » Poincaré-conjecture

Henri Poincaré is geboren ten tijde van het Tweede Franse Keizerrijk onder Napoleon III. Na de Franse nederlaag in de Frans-Duitse oorlog (1870-1871) wordt de Derde Franse Republiek uitgeroepen. Henri maakt net niet meer mee dat zijn neef Raymond in 1913 president wordt. (Terzijde: het Frankrijk anno 2008 is het Frankrijk van de Vijfde Franse Republiek.)

Op politiek gebied is Frankrijk in de weer met het snel opkomende Duitsland. Bij de Frans-Duitse oorlog (1870-1871) verliest Frankrijk Elzas en Lotharingen. Constant zoekt Frankrijk naar manieren om aan de groeiende Duitse hegemonie tegenwicht te bieden. Ook doet Frankrijk mee aan de Europese koloniale expansie in Afrika en Azië. Als Poincaré in 1912 sterft, staat Europa aan de vooravond van de eerste wereldoorlog (1914-1918).

Frankrijk is in de tijd van Poincaré (nog steeds) toonaangevend op cultureel gebied. De Franse literatuur en schilderkunst uit die tijd zijn wereldberoemd. Denk bijvoorbeeld aan de Nederlandse schilder Vincent van Gogh die naar Frankrijk trekt. Na de introductie van de film (gebroeders Lumière, 1895) ontwikkelt Frankrijk zich ook op filmgebied tot een vooraanstaand land.

Poincaré komt uit een Franse familie waarin veel waarde aan een goede opleiding werd gehecht. Zijn vader was medicus en aan de universiteit te Nancy verbonden (in de Frans-Duitse oorlog van 1870-1871 ging Poincaré mee met zijn vader om slachtoffers te helpen), zijn neef Raymond is president van Frankrijk geweest in de periode 1913-1920. Op school blonk hij in bijna alle vakken uit, vooral ook in wiskunde en won diverse prijzen.
Na de middelbare school bezocht Poincaré de prestigieuze École Polytechnique (in Frankrijk zijn er verschillen in prestige tussen de verschillende universitaire instellingen) en studeerde er wiskunde. Ook schreef hij daar al zijn eerste wiskundige artikel (in 1874). Na zijn afstuderen ging hij verder aan de Ecole nationale supérieure des Mines (mijnbouwschool), en behaalde daar een ingenieursgraad. Tegelijkertijd werkte hij aan een wiskundig proefschrift en promoveerde tot doctor in 1879. Het proefschrift gaat over differentiaalvergelijkingen, een onderwerp dat bij Wiskunde D ook aan de orde komt. In zijn proefschrift is Poincaré's stijl van werken goed zichtbaar: niet altijd even precies, maar vooral gedreven door een buitengewone intuïtie.
In 1889 wint hij met baanbrekend werk de door de Zweedse koning Oscar II uitgeschreven prijsvraag (zie onder). Zijn arbeidzame leven speelt zich vooral in Parijs af, waar hij in de loop der jaren zeer uiteenlopende colleges over wiskunde en natuurkunde geeft.

Poincaré is op vele gebieden van de wiskunde en natuurwetenschappen een uiterst productief onderzoeker geweest. We lichten er enkele uit.

Topologie

Bron: Wikipedia (en)

Topologie is een tak van meetkunde waarin je twee objecten/vormen niet echt verschillend vindt als je de een door oprekken, inkrimpen of verbuigen in de ander kunt overvoeren. Een cirkel is topologisch hetzelfde als een ellips. Een koffiekopje met een oor hetzelfde als een band. Daarom noemt men topologie ook wel rubbermeetkunde.
Topologen proberen uit te vinden wat de karakteristieke eigenschappen van een bepaalde vorm zijn zonder zich om al te specifieke details te bekommeren. De kunst is hier echte wiskunde van te maken en Poincaré heeft als een van de eersten hierin successen geboekt. Hier is een voorbeeld.
Een boloppervlak en een bandoppervlak kun je bijvoorbeeld als volgt van elkaar onderscheiden: elke lus op een boloppervlak kun je tot een punt ineenkrimpen zonder het boloppervlak te verlaten en zonder de lus kapot te maken (natuurlijk gaat het hier om een geidealiseerde lus). Op een bandoppervlak lukt dat niet met alle lussen; sommige zul je kapot moeten maken of van het oppervlak moeten halen om ze tot een punt ineen te schrompelen. Poincaré wist zulke overwegingen in echte wiskunde om te zetten, waarbij onder meer topologische eigenschappen in getallen zijn uit te drukken. Met hem begint de zogenaamde algebraische topologie.

1 miljoen dollar en het Poincaré vermoeden

In het verlengde van zijn topologische onderzoekingen formuleerde Poincaré een beroemd geworden vermoeden. Dat vermoeden van Poincaré gaat over driedimensionale objecten. Laten we eerst in dimensie 2 kijken. Zoals we eerder zagen is een topologische karakteristiek van een boloppervlak dat elke lus op het oppervlak ineen te schrompelen is tot een punt zonder daarbij het oppervlak te verlaten. Men kan bewijzen dat elk tweedimensionaal oppervlak (met nog wat specificaties) met de eigenschap dat elke lus erop ineen te schrompelen is tot een punt zonder dat oppervlak te verlaten, inderdaad een boloppervlak is (in de topologische zin, dus afgezien van oprekken en inkrimpen enz.). Poincaré formuleerde nu een soortgelijk vermoeden in dimensie 3 (en hoger): als op een driedimensionaal analogon van een oppervlak elke lus ineen te schrompelen is tot een punt zonder het object te verlaten, dan is het de driedimensionale variant van een boloppervlak (weer in de topologische zin).

Dit vermoeden is zo'n grote uitdaging gebleken dat het Clay Mathematics Institute het enkele jaren geleden bij de zeven Millennium Prize Problems heeft opgenomen en 1 miljoen dollar heeft uitgeloofd voor degene die weet aan te tonen dat het vermoeden waar is. Inmiddels is men ervan overtuigd dat de Rus Grigori Perelman in zeer gecompliceerd werk deze klus heeft geklaard. Om voor de 1 miljoen dollar in aanmerking te komen is echter meer vereist, zoals een nette publicatie. Aan die eis voldoet Perelman (nog) niet.

Poincaré en het drielichamenprobleem

Bij het drielichamenprobleem is de vraag hoe drie massa's (denk aan zon, aarde, maan) bewegen onder invloed van de zwaartekracht. Met name is de vraag hoe zo'n stelsel zich op (lange) termijn gedraagt: zal het bijvoorbeeld tot botsingen komen? De vergelijkbare vraag voor twee massa's blijkt wiskundig goed te beantwoorden te zijn: de banen van de twee lichamen zijn ellipsen, parabolen of hyperbolen. Maar bij drie massa's ontstaan er grote complicaties. Koning Oscar II van Zweden loofde een prijs uit voor het oplossen ervan. Poincaré wist het probleem weliswaar niet op te lossen, maar verraste wel met fundamentele nieuwe inzichten, die onder andere tot chaostheorie zouden leiden. De jury raakte overtuigd van Poincaré's baanbrekende werk en kende hem de prijs toch toe.