» Wiskunde in de Indische beschaving (3) » Het werk van Mahavira
Na grote wiskundigen als Aryabatha in Kusumapura in de 6de eeuw en Brahmagupta in Ujjain en Bhaskara I in Asmaka in de 7de eeuw ging het in de volgende eeuwen hoofdzakelijk om commentaren op hun teksten. Mahavira werd vooral bekend om zijn heruitgave met commentaren van Brahmagupta's boek 'Brahmasphuta siddhanta' ('De opening van het heelal'). Anderen zoals Govindasvami en Sankara leverden commentaren bij het werk van Bhaskara I. In deze periode ontstonden verbeterde tabellen voor de sinus van een hoek, oplossingsmethoden voor vergelijkingen, een eerste algebraïsche notatie en verbeteringen in het systeem van getallen. Allemaal zaken die vrijwel rechtsreeks voortvloeiden uit de traditie die voor het eerst zichtbaar was geworden in het werk van Aryabatha uit de zesde eeuw.
Het werk van Mahavira Mahavira is omstreeks 800 geboren in of in de buurt van Mysore in het zuiden van India. Verdere gegevens over zijn leven zijn niet bekend. Ook hij was een volgeling van het Jaina-geloof en bekend met de wiskunde die de Jaina ontwikkeld hadden. Mahavira werkte in Mysore in Zuid-India waar hij lid was van een wiskundige school. Hoewel het waarschijnlijk is dat hij meerdere geschriften over wiskunde heeft gemaakt, is alleen zijn 'Ganita Sara Samgraha' ('Overzicht van de belangrijkste rekenkunde') uit 850 teruggevonden. Dit boek is wellicht het eerste boek uit de Indische geschiedenis dat uitsluitend aan de wiskunde is gewijd (en niet bijvoorbeeld ook aan de astronomie). Het bestaat uit negen hoofdstukken waarin vrijwel alle wiskundige kennis van het negende eeuwse India is terug te vinden. In de inleiding legt Mahavira uit dat zijn werk is gebaseerd op dat van zijn voorgangers Aryabatha, Bhaskara en Brahmagupta. Hij noemt het daarin een klein maar belangrijk werkje over rekenkunde. De negen hoofdstukken zijn: 1. Terminologie, 2. Rekenkundige bewerkingen, 3. Werken met breuken, 4. Diverse berekeningen, 5. Berekeningen met de regel van drie, 6. Gemengde berekeningen, 7. Oppervlakte-berekeningen, 8. Berekeningen nodig bij opgravingen, 9. Schaduwrekening (over sinus en tangens). Door het hele boek heen wordt een positiestelsel voor getallen gebruikt. Verder werkt hij met breuken en het omzetten ervan in stambreuken, bijvoorbeeld: 2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68. Hij bestudeert manieren om getallen te kwadrateren op andere wijzen dan gewoon met zichzelf vermenigvuldigen. Ook bespreekt hij geheeltallige oplossingen van lineaire vergelijkingen, die hij vindt met een methode die hij "kuttaka" noemt. Zijn methode is gebaseerd op het algoritme van Euklides. Het woord "kuttaka" dat in veel Indische geschriften voorkomt, heeft later de betekenis van "algebra" gekregen. Een voorbeeld van een probleem uit de 'Ganita Sara Samgraha' dat leidt tot een lineaire vergelijking is: Drie kooplieden vinden een beurs met geld op de weg. Eén van de drie zegt: "Als ik de inhoud van de beurs houd, heb ik twee keer zoveel geld als jullie twee samen." "Geef mij de beurs en ik heb drie keer zoveel als jullie samen", zei de tweede koopman. De derde zei: "Ik zal nog beter af zijn dan jullie twee als ik de beurs houd, ik heb dan namelijk vijf keer zoveel als jullie twee samen."Hoeveel geld zat er in de beurs? En hoeveel geld heeft elke koopman? Als de eerste koopman x, de tweede y en de derde z heeft en p is het bedrag in de beurs, dan is: p + x = 2(y + z) p + y = 3(x + z) p + z = 5(x + y) Dit stelsel lineaire vergelijkingen heeft niet één eenduidige oplossing, maar de oplossing met de kleinste gehel getallen is p = 15, x = 1, y = 3 en z = 5. En, zo beweert Mahavira, elke andere geheeltallige oplossing is een veelvoud van deze oplossingen. Mahavira gaf regels voor het gebruik van permutaties en combinaties bij telproblemen. Ook beschreef hij de manier om de inhoud van een bol te berekenen, om de derdemachts wortel van een getal te berekenen en ontdekte hij enkele meetkundige resultaten betreffende rechthoekige driehoeken. Hij onderzocht ook een paar wiskundige problemen die nog door geen ankele andere Indische wiskundige waren bestudeerd, zoals een benadering voor de omtrek van een ellips en een formule voor de opervlakte van een figuur bestaande uit twee ongelijke halve cirkels met de diameters tegen elkaar. Hoewel je zou veronderstellen dat die oppervlakte zou zijn gevonden door die van twee halve cirkels op te tellen, lijkt Mahavira toch een andere methode te hebben gebruikt... Math4all
Mahavira is omstreeks 800 geboren in of in de buurt van Mysore in het zuiden van India. Verdere gegevens over zijn leven zijn niet bekend. Ook hij was een volgeling van het Jaina-geloof en bekend met de wiskunde die de Jaina ontwikkeld hadden. Mahavira werkte in Mysore in Zuid-India waar hij lid was van een wiskundige school.
Hoewel het waarschijnlijk is dat hij meerdere geschriften over wiskunde heeft gemaakt, is alleen zijn 'Ganita Sara Samgraha' ('Overzicht van de belangrijkste rekenkunde') uit 850 teruggevonden. Dit boek is wellicht het eerste boek uit de Indische geschiedenis dat uitsluitend aan de wiskunde is gewijd (en niet bijvoorbeeld ook aan de astronomie). Het bestaat uit negen hoofdstukken waarin vrijwel alle wiskundige kennis van het negende eeuwse India is terug te vinden.
In de inleiding legt Mahavira uit dat zijn werk is gebaseerd op dat van zijn voorgangers Aryabatha, Bhaskara en Brahmagupta. Hij noemt het daarin een klein maar belangrijk werkje over rekenkunde. De negen hoofdstukken zijn: 1. Terminologie, 2. Rekenkundige bewerkingen, 3. Werken met breuken, 4. Diverse berekeningen, 5. Berekeningen met de regel van drie, 6. Gemengde berekeningen, 7. Oppervlakte-berekeningen, 8. Berekeningen nodig bij opgravingen, 9. Schaduwrekening (over sinus en tangens). Door het hele boek heen wordt een positiestelsel voor getallen gebruikt. Verder werkt hij met breuken en het omzetten ervan in stambreuken, bijvoorbeeld: 2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68. Hij bestudeert manieren om getallen te kwadrateren op andere wijzen dan gewoon met zichzelf vermenigvuldigen. Ook bespreekt hij geheeltallige oplossingen van lineaire vergelijkingen, die hij vindt met een methode die hij "kuttaka" noemt. Zijn methode is gebaseerd op het algoritme van Euklides. Het woord "kuttaka" dat in veel Indische geschriften voorkomt, heeft later de betekenis van "algebra" gekregen.
Een voorbeeld van een probleem uit de 'Ganita Sara Samgraha' dat leidt tot een lineaire vergelijking is:
Als de eerste koopman x, de tweede y en de derde z heeft en p is het bedrag in de beurs, dan is: p + x = 2(y + z) p + y = 3(x + z) p + z = 5(x + y) Dit stelsel lineaire vergelijkingen heeft niet één eenduidige oplossing, maar de oplossing met de kleinste gehel getallen is p = 15, x = 1, y = 3 en z = 5. En, zo beweert Mahavira, elke andere geheeltallige oplossing is een veelvoud van deze oplossingen.
Mahavira gaf regels voor het gebruik van permutaties en combinaties bij telproblemen. Ook beschreef hij de manier om de inhoud van een bol te berekenen, om de derdemachts wortel van een getal te berekenen en ontdekte hij enkele meetkundige resultaten betreffende rechthoekige driehoeken.
Hij onderzocht ook een paar wiskundige problemen die nog door geen ankele andere Indische wiskundige waren bestudeerd, zoals een benadering voor de omtrek van een ellips en een formule voor de opervlakte van een figuur bestaande uit twee ongelijke halve cirkels met de diameters tegen elkaar. Hoewel je zou veronderstellen dat die oppervlakte zou zijn gevonden door die van twee halve cirkels op te tellen, lijkt Mahavira toch een andere methode te hebben gebruikt...
Math4all