» Meer over Cavalieri » De tijd van Cavalieri » Het principe van Cavalieri
In Cavalieri's tijd was de Italiaanse bloeiperiode zeker op het gebied van de wiskunde aan zijn einde gekomen: Cardano, Tartaglia en Pacioli waren al een halve eeuw gestorven. De verdere ontwikkeling van de wiskunde en de wetenschap begon zich te verschuiven van Noord-Italië naar landen als Frankrijk, Engeland, Duitsland en de Nederlanden. Wel was dit de tijd van Galileo Galileï die met zijn ontdekkingen op het gebied van de natuurkunde en de sterrenkunde de moderne experimentele wetenschap deed ontstaan. Sleutelfiguur in de communicatie was pater Marin Mersenne die met alle belangrijke wetenschappers in die dagen een uitvoerige correspondentie onderhield.
Beroemde wetenschappers/wiskundigen uit die tijd: 1588 - 1648: Pater Marin Mersenne 1564 - 1642: Galileo Galileï 1602 - 1675: Gilles de Roberval 1601 - 1665: Pierre de Fermat
Over Cavalieri Bonaventura Cavalieri werd geboren in 1598 in Milaan. Over zijn jeugd is niets bekend, dan dat hij in 1615 in de Rooms-Katholieke Orde der Jesuïten intrad. In 1616 verhuisde hij naar het Jesuïtenklooster in Pisa. Door het lezen van 'De Elementen' van Euklides raakte hij in de wiskunde geïnteresseerd en na een ontmoeting met Galileo Galileï beschouwde hij zichzelf als een volgeling van deze bekende natuurkundige en sterrenkundige. Deze ontmoeting werd geregeld door de Milanese kardinaal Frederico Borromeo die in de jonge Cavalieri een talent zag. In Pisa kreeg Cavalieri wiskundeles van Benedetto Castelli die wiskunde doceerde aan de plaatstelijke universiteit. Cavalieri studeerde vooral op meetkundige onderwerpen en boekte daarin dermate grote vorderingen dat hij af en toe de lessen van Castelli mocht overnemen. In 1619 probeerde Cavalieri een baan als wiskundedocent aan de universiteit van Bologna te krijgen, maar hij werd nog te jong bevonden. Ook in 1621 werd hij niet benoemd als Castelli's opvolger in Pisa. Hij vervolgde daarom eerst zijn carrière binnen de Rooms-Katholieke Kerk, eerst als deken en assistent van kardinaal Borromeo in Milaan, later in Lodi en daarna nog drie jaar in het Jesuïtenklooster in Parma. Ondertussen ontwikkelde Cavalieri zijn 'theorie der ondeelbaren' gebaseerd op de uitputtingstheorie van Eudoxus en later Archimedes die hem in staat stelde om de oppervlakte en de inhoud van diverse meetkundige figuren te berekenen. Dit was een voorloper van de integraalrekening die later door Newton en Leibniz zou worden bedacht. In 1629 werd hij benoemd tot hoogleraar wiskunde aan de universiteit van Bologna. En in 1635 publiceerde hij daar zijn 'Geometria indivisibilis continuorum nova' waarin hij zijn theorie uitlegde en Kepler's theorie der infinitesimalen (oneindig kleine delen) opnam in zijn eigen methode. Hij verzuimde echter om zijn theorie zorgvuldig te onderbouwen en kreeg veel kritiek op dit boek. Als antwoord daarop verscheen zijn 'Exercitationes geometricae sex' waarin hij dit verzuim probeerde goed te maken. Dit geschrift werd één der belangrijkste bronnen van studie voor de zeventiende eeuwse wiskundigen. Daarnaast was het ook grotendeels Cavalieri's verdienste dat de logaritmen als instrument voor het rekenen met grote getallen in Italië werden ingevoerd. Ze waren bedacht door de Britse wiskundigen John Napier (1550 - 1617) en Henry Briggs (1561 - 1630). Cavalieri beschreef het gebruik ervan in zijn 'Directorium generale uranometricum' en zijn logaritmentafels (tabellen met logaritmen van getallen) werden door astronomen veel gebruikt. Cavalieri schreef verder over kegelsneden, trigonometrie (driehoeksmeting), optica, astronomie en zelfs over astrologie. Hij ontwikkelde een algemene regel voor het berekenen van de brandpuntsafstand van lenzen en beschreef een spiegeltelescoop. Tenslotte correspondeerde hij met een groot aantal wiskundigen zoals Galileï (zeker 112 brieven!), Mersenne en Torricelli. Veel van die brieven werden geschreven door zijn bekendste student Stefano del Angeli toen Cavalieri in Bologna lesgaf en last had van reumatiek. Cavalieri overleed op 30 november 1647 in Bologna. Het principe van Cavalieri Cavalieri beschouwde een oppervlakte als iets dat bestaat uit een onbepaald aantal ondeelbare horizontale lijnstukken. Dat betekent dat de oppervlakte van een rechthoek met breedte b en hoogte h gelijk is aan die van een parallellogram met basis b en hoogte h, want zo'n parallellogram kan uit de rechthoek ontstaan door de 'ondeelbare lijnstukken' te verschuiven en daarbij verandert de oppervlakte niet. Dit heet het principe van Cavalieri. De animatie laat het idee zien. Cavalieri paste dit principe ook toe op andere vlakke figuren en op ruimtelijke figuren met een bepaald grondvlak van oppervlakte G en hoogte h. Hij gebruikte dit principe om aan te tonen dat de inhoud van een kegel 1/3 deel van de inhoud van een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte was. In zijn 'Centuria di varii problemi' uit 1639 publiceerde hij zijn aanpak van berekeningen van oppervlakte en inhoud. Cavalieri had geen strikt wiskundige onderbouwing van zijn principe en werd dan ook behoorlijk bekritiseerd voor zijn aanpak. Toch werd zijn methode later door onder andere Roberval toegepast bij het berekenen van de oppervlakte onder een cycloïde. En ook Fermat, Torricelli en Pascal gebruikten het principe van Cavalieri. Math4all
In Pisa kreeg Cavalieri wiskundeles van Benedetto Castelli die wiskunde doceerde aan de plaatstelijke universiteit. Cavalieri studeerde vooral op meetkundige onderwerpen en boekte daarin dermate grote vorderingen dat hij af en toe de lessen van Castelli mocht overnemen. In 1619 probeerde Cavalieri een baan als wiskundedocent aan de universiteit van Bologna te krijgen, maar hij werd nog te jong bevonden. Ook in 1621 werd hij niet benoemd als Castelli's opvolger in Pisa. Hij vervolgde daarom eerst zijn carrière binnen de Rooms-Katholieke Kerk, eerst als deken en assistent van kardinaal Borromeo in Milaan, later in Lodi en daarna nog drie jaar in het Jesuïtenklooster in Parma.
Ondertussen ontwikkelde Cavalieri zijn 'theorie der ondeelbaren' gebaseerd op de uitputtingstheorie van Eudoxus en later Archimedes die hem in staat stelde om de oppervlakte en de inhoud van diverse meetkundige figuren te berekenen. Dit was een voorloper van de integraalrekening die later door Newton en Leibniz zou worden bedacht. In 1629 werd hij benoemd tot hoogleraar wiskunde aan de universiteit van Bologna. En in 1635 publiceerde hij daar zijn 'Geometria indivisibilis continuorum nova' waarin hij zijn theorie uitlegde en Kepler's theorie der infinitesimalen (oneindig kleine delen) opnam in zijn eigen methode. Hij verzuimde echter om zijn theorie zorgvuldig te onderbouwen en kreeg veel kritiek op dit boek. Als antwoord daarop verscheen zijn 'Exercitationes geometricae sex' waarin hij dit verzuim probeerde goed te maken. Dit geschrift werd één der belangrijkste bronnen van studie voor de zeventiende eeuwse wiskundigen.
Daarnaast was het ook grotendeels Cavalieri's verdienste dat de logaritmen als instrument voor het rekenen met grote getallen in Italië werden ingevoerd. Ze waren bedacht door de Britse wiskundigen John Napier (1550 - 1617) en Henry Briggs (1561 - 1630). Cavalieri beschreef het gebruik ervan in zijn 'Directorium generale uranometricum' en zijn logaritmentafels (tabellen met logaritmen van getallen) werden door astronomen veel gebruikt. Cavalieri schreef verder over kegelsneden, trigonometrie (driehoeksmeting), optica, astronomie en zelfs over astrologie. Hij ontwikkelde een algemene regel voor het berekenen van de brandpuntsafstand van lenzen en beschreef een spiegeltelescoop. Tenslotte correspondeerde hij met een groot aantal wiskundigen zoals Galileï (zeker 112 brieven!), Mersenne en Torricelli. Veel van die brieven werden geschreven door zijn bekendste student Stefano del Angeli toen Cavalieri in Bologna lesgaf en last had van reumatiek. Cavalieri overleed op 30 november 1647 in Bologna.
Het principe van Cavalieri Cavalieri beschouwde een oppervlakte als iets dat bestaat uit een onbepaald aantal ondeelbare horizontale lijnstukken. Dat betekent dat de oppervlakte van een rechthoek met breedte b en hoogte h gelijk is aan die van een parallellogram met basis b en hoogte h, want zo'n parallellogram kan uit de rechthoek ontstaan door de 'ondeelbare lijnstukken' te verschuiven en daarbij verandert de oppervlakte niet. Dit heet het principe van Cavalieri. De animatie laat het idee zien. Cavalieri paste dit principe ook toe op andere vlakke figuren en op ruimtelijke figuren met een bepaald grondvlak van oppervlakte G en hoogte h. Hij gebruikte dit principe om aan te tonen dat de inhoud van een kegel 1/3 deel van de inhoud van een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte was. In zijn 'Centuria di varii problemi' uit 1639 publiceerde hij zijn aanpak van berekeningen van oppervlakte en inhoud. Cavalieri had geen strikt wiskundige onderbouwing van zijn principe en werd dan ook behoorlijk bekritiseerd voor zijn aanpak. Toch werd zijn methode later door onder andere Roberval toegepast bij het berekenen van de oppervlakte onder een cycloïde. En ook Fermat, Torricelli en Pascal gebruikten het principe van Cavalieri. Math4all
Cavalieri had geen strikt wiskundige onderbouwing van zijn principe en werd dan ook behoorlijk bekritiseerd voor zijn aanpak. Toch werd zijn methode later door onder andere Roberval toegepast bij het berekenen van de oppervlakte onder een cycloïde. En ook Fermat, Torricelli en Pascal gebruikten het principe van Cavalieri.
Math4all
