» Meer over Cardano » De tijd van Cardano » Het belangrijkste wiskundige werk van Cardano
De Renaissance (wederopbloei van wetenschap en cultuur als gevolg van toenemende welvaart en handel in West-Europa en het eerst in de Italiaanse steden) was in volle gang en met name de wetenschap stond aan de vooravond van een periode van grote bloei. Het zwaartepunt van de ontwikkeling was aan het verschuiven van de Hindoe-Arabische cultuur naar de handelssteden van West-Europa. Het was de tijd van de kunstenaar en wiskundige Albrecht Dürer, van de kunstenaar en universele geleerde Leonardo da Vinci, van de wiskundigen Pacioli, Tartaglia en Cardano en van de grote astronoom Copernicus.
Over Cardano Girolamo Cardano werd op 24 september 1501 geboren in Pavia (in het toenmalige hertogdom Milaan) als onechte zoon van Fazio Cardano. Zijn vader was advocaat in Milaan, maar hij was goed thuis in de wiskunde (zo goed zelfs dat hij door Leonardo da Vinci om raad werd gevraag over meetkundige vraagstukken). Naast zijn advocatenpraktijk gaf Fazio Cardano les in de meetkunde, zowel aan de universiteit van Pavia als later aan de Piatti Stichting in Milaan. Daar ontmoette hij Chiara Micheria, een jonge weduwe die zelf al drie kinderen had. Toen Chiara zwanger werd heerste in Milaan de pest. Derhalve trok ze naar Pavia, naar rijke vrienden van Fazio om de geboorte van Girolamo veilig te kunnen doorstaan. De vreugde van Chiara over de geboorte van Girolamo werd overschaduwd door de dood van haar eigen drie kinderen. Hoewel Chiara vele jaren apart van Fazio leefde, trouwden ze uiteindelijk toch. Girolamo was een ziekelijk kind. Hij groeide op tot assistent van zijn vader, maar die had daarnaast ook nog de hulp van twee neven, want voor Girolamo alleen was dit werk te zwaar. Cardano leerde van zijn vader de wiskunde en begon te denken aan een academische studie. Zijn vader wilde dat hij rechten zou gaan studeren, maar Cardano koos voor een medicijnenstudie aan de universiteit van Pavia. Tijdens één van de vele oorlogen waar het hertogdom Milaan bij betrokken was, ging deze universiteit dicht en verhuisde Cardano naar Padua en om daar zijn studie af te ronden. Hij was een briljante student, die echter geen blad voor zijn mond nam. Vlak daarna stierf zijn vader. Het kleine erfdeel van zijn vader joeg hij er snel doorheen en om te laten zien dat hij over voldoende middelen beschikte ging hij meedoen aan allerlei gokspelen, zoals kaartspelen en dobbelen. Ook schaakte hij. Door zijn kennis van de eerste beginselen van de waarschijnlijkheidsrekening kon hij wat meer strategisch denken en won hij over het algemeen meer dat hij verloor. Hij raakte min of meer gokverslaafd en kwam daardoor in dubieus gezelschap terecht wat zijn reputatie schaadde. In 1525 verkreeg Cardano zijn graad in de medicijnen en hij solliciteerde naar een baan aan het College van Artsen in Milaan, waar zijn moeder leefde. Dit College wilde hem echter niet accepteren hoewel hij een briljante student was, zowel vanwege zijn slechte reputatie als wel vanwege het feit dat hij zonder aanzien des persoons kritiek kon leveren. Toen het College ontdekte dat hij een onecht kind was, had men een reden gevonden om hem niet aan te nemen. Cardano trok daarna naar Sacco, een kleine plaats in de buurt van Padua en begon daar een kleine huisartsenpraktijk. Hij trouwde met Lucia, de dochter van zijn buurman Aldobello Bandarini, die kapitein van de plaatselijke militie was. Omdat deze praktijk niet genoeg opbracht om hem en zijn vrouw van de laten leven, trok Cardano naar Gallarate, een dorp bij Milaan. Weer probeerde hij lid te worden van het College van Artsen, weer werd hij afgewezen. Uit gebrek aan bestaansmiddelen trok Cardano met zijn vrouw naar Milaan, maar daar gingen de zaken zo slecht dat ze in het armenhuis terecht kwamen, het was 1533. Toen slaagde Cardano er in om de vroegere betrekking van zijn vader als leraar wiskunde aan de Piatti Stichting in Milaan te krijgen. Dit gaf hem naast geld voor levensonderhoud ook voldoende vrije tijd om zich met zijn werk als dokter bezig te kunnen houden. Hij verrichte enkele spectaculaire genezingen en werd bekend als dokter. Zo bekend, dat enkele leden van het College van Artsen hem af en toe om raad vroegen. Zo verzamelde hij een groep mensen om zich heen die hem van harte steunden. In 1536 schreef hij uit woede over zijn voortdurende uitsluiting van het College van Artsen een boek waarin hij de procedures van het College scherp bekritiseerde, met als gevolg dat hij in 1537 opnieuw niet als lid werd toegelaten. De druk op het College om de procedures aan te passen nam echter toe en in 1539 werd Cardano eindelijk als lid toegelaten. In datzelfde jaar verschenen zijn eerste twee boeken over wiskunde. Deze boeken vormden het begin van een indrukwekkende schrijverscarrière over een grote verscheidenheid van onderwerpen, zoals medicijnen, filosofie, astronomie, theologie en wiskunde. In 1539 hoorde Cardano van de oplossing van derdegraads vergelijkingen, die tot op dat moment onoplosbaar werden geacht, door Tartaglia. Hij probeerde hem te overreden om die oplossing te vertellen. Dat lukte pas nadat hij Tartaglia een contact had voorgespiegeld met gouverneur van het leger van de Heilige Roomse Keizer in Milaan, Alfonso d'Avalos, markies Del Vasto. Tartaglia hoopte op het krijgen van een lucratieve betrekking in Milaan en dat noopte hem Cardano terwille te zijn, maar pas toen deze had gezworen om de oplossing niet verder te vertellen of te publiceren voordat Tartaglia dat zelf had gedaan. Toen ging Cardano (samen met zijn assistent Ludovico Ferrari) zelf aan het onderzoeken of hij ook andere derdegraads vergelijkingen en zelfs vierdegraads vergelijkingen kon oplossen. Zes jaar lang studeerden ze hard op dit probleem vanuit de oplossing van Tartaglia. Cardano ontdekte dat de methode inhield, dat er soms moest met wortels van negatieve getallen, zelfs als het uiteindelijke antwoord een 'normaal' getal was. Op 4 augustus schreef Cardano daarover aan Tartaglia. Die vertrouwde hem echter niet en was bang dat de geheimhouding van de oplossing in gevaar kwam. Tartaglia vertelde Cardano dat hij de zaken niet goed begreep om hem van verdere vorderingen af te houden. In 1540 legde Cardano zijn werk als wiskundige aan de Piatti Stichting neer, Ferrari kreeg die baan. Van 1540 tot 1542 sloeg Cardano weer aan het gokken en aan het schaakspelen. Daarna gaf hij van 1543 tot 1552 les aan de medische faculteiten van de universiteiten van Milaan en Pavia. In 1545 publiceerde Cardano zijn bekendste werk op het gebied van de wiskunde: 'Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus' of korter: 'Ars Magna'. Daarin maakte hij toch de oplossing van alle typen derdegraads en vierdegraads vergelijkingen bekend. Ook de methode van Tartaglia werd er in uitgelegd. Dat Cardano zich niet aan zijn eed hield kwam doordat hij ontdekte dat niet Tartaglia, maar Scipione del Ferro de eerste bedenker van deze methode was. Tartaglia had hem alleen 'herontdekt'. Wel kreeg Tartaglia de eer die hem toekwam in de 'Ars Magna'. Hoewel Cardano geen enkel begrip had van complexe getallen werkte hij bij de oplossing van bepaalde derdegraads vergelijkingen toch met wortels uit negatieve getallen. In feite maakte hij zo de eerste berekeningen met complexe getallen. In 1546 stierf Cardano's vrouw Lucia. Hij leek echter meer interesse te tonen in zijn carrière en het succes van zin boeken, dan in haar dood. Cardano werd rector van het College van Artsen en zijn reputatie als arts groeide met de dag. Verschillende staatshoofden verzochten hem op hun gezondheid te letten. Slechts éénmaal ging Cardano daarop in: op 23 februari 1552 vertrok hij naar Schotland om John Hamilton, de aartsbisschop van St.Andrews, die al jaren gebukt ging onder steeds erger wordende astmatische bronchitis, van een schijnbaar zekere dood te redden. Op 29 juni arriveerde hij in Edinburgh en hij wist hem inderdaad aan de beterende hand te krijgen voordat hij op 13 september weer vertrok. Cardano aanvaardde de ruime beloning, maar weigerde een permanente betrekking aan het Schotse Hof. Na zijn terugkeer werd Cardano benoemd als professor in de medicijnen aan de universiteit van Pavia. Met een groot aantal rijke patiënten was hij in die dagen een rijk en succesvol man. Hij kon echter maar weinig van zijn succes genieten. Zijn zoons zorgden voor grote problemen. De oudste, Giambatista, trouwde met een vrouw die (samen met haar familie) alleen op zijn geld uit was en die hem voortdurend bedroog met andere mannen. Uiteindelijk vergiftigde Giambatista haar en daarvoor werd hij ter dood veroordeeld en hij stierf op 13 april 1560. Deze klap kwam Cardano nauwelijks te boven: hij verweet zichzelf zijn zoon niet te hebben beschermd tegen deze vrouw en vooral ook haar familie. Als vader van een veroordeelde moordenaar restte Cardano weinig anders dan te verhuizen. Hij verkreeg een professoraat in Bologna en verhuisde. Hier kwam hij (mede vanwege zijn arrogante manier van optreden) in conflict met zijn collega's. Zijn jongste zoon zorgde intussen ook voor ellende: hij raakte gokverslaafd en brak zelfs bij zijn vader in om speelschulden te kunnen betalen, waarop hij uit Bolgna werd verbannen. Tenslotte raakte Cardano zelf in de problemen vanwege vermeende ketterij. Hij had een horoscoop van Jezus Christus gemaakt en Nero verheerlijkt, waarschijnlijk alleen uit publicitair oogpunt, dus om in de belangstelling te raken. Maar de Inquisitie stelde hem ten voorbeeld en veroordeelde Cardano tot enkele maanden cel en verklaarde zijn hoogleraarschap verbeurd. Na zijn vrijlating vertrok Cardano naar Rome. Daar werd hij met open armen ontvangen door het College van Artsen en ook door de paus die hem kennelijk zijn ketterij vergeven had en hem een toelage gaf. In die periode schreef Cardano zijn autobiografie die later in Parijs (1643) en Amsterdam (1654) werd gepubliceerd. Bovendien lijkt Cardano zijn sterfdag correct te hebben voorspeld, hoewel er ook wel wordt beweerd dat hij op die dag, 21 september 1576, zelfmoord heeft gepleegd. Cardano's belangrijkste wiskundige werk Cardano's belangrijkste werk op het gebied van de wiskunde is zijn 'Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus', kortweg de 'Ars Magna'. Daarin maakte hij toch de oplossing van alle typen derdegraads en vierdegraads vergelijkingen bekend. Ook de methode van Tartaglia werd er in uitgelegd. Hoewel Cardano geen enkel begrip had van complexe getallen ontdekte hij dat er bij de oplossing van bepaalde derdegraads vergelijkingen toch met wortels uit negatieve getallen moest worden gewerkt. In feite maakte hij zo de eerste berekeningen met complexe getallen. Daarnaast leverde Cardano een belangrijke bijdrage aan de waarschijnlijkheidsleer, de hydrodynamica, de mechanica en de geologie. Zijn boek 'Liber de Ludo Aleae' (uit 1563) ging over kansspelen en was een eerste verkenning van de kansrekening van het gooien met dobbelstenen; het werd pas in 1663 voor het eerst gepubliceerd. Ook publiceerde Cardano twee encyclopedieën over de natuurwetenschappen, waarin hij allerlei feiten en feitjes verzamelde over de meest uiteenlopende onderwerpen van kosmologie tot de technoek van machines, van het nut van de wetenschap tot de slechte invloeden van geesten, van de wetten van de mechanica tot de alchemie en de occulte wetenschap. Math4all
Girolamo was een ziekelijk kind. Hij groeide op tot assistent van zijn vader, maar die had daarnaast ook nog de hulp van twee neven, want voor Girolamo alleen was dit werk te zwaar. Cardano leerde van zijn vader de wiskunde en begon te denken aan een academische studie. Zijn vader wilde dat hij rechten zou gaan studeren, maar Cardano koos voor een medicijnenstudie aan de universiteit van Pavia. Tijdens één van de vele oorlogen waar het hertogdom Milaan bij betrokken was, ging deze universiteit dicht en verhuisde Cardano naar Padua en om daar zijn studie af te ronden. Hij was een briljante student, die echter geen blad voor zijn mond nam. Vlak daarna stierf zijn vader. Het kleine erfdeel van zijn vader joeg hij er snel doorheen en om te laten zien dat hij over voldoende middelen beschikte ging hij meedoen aan allerlei gokspelen, zoals kaartspelen en dobbelen. Ook schaakte hij. Door zijn kennis van de eerste beginselen van de waarschijnlijkheidsrekening kon hij wat meer strategisch denken en won hij over het algemeen meer dat hij verloor. Hij raakte min of meer gokverslaafd en kwam daardoor in dubieus gezelschap terecht wat zijn reputatie schaadde.
In 1525 verkreeg Cardano zijn graad in de medicijnen en hij solliciteerde naar een baan aan het College van Artsen in Milaan, waar zijn moeder leefde. Dit College wilde hem echter niet accepteren hoewel hij een briljante student was, zowel vanwege zijn slechte reputatie als wel vanwege het feit dat hij zonder aanzien des persoons kritiek kon leveren. Toen het College ontdekte dat hij een onecht kind was, had men een reden gevonden om hem niet aan te nemen. Cardano trok daarna naar Sacco, een kleine plaats in de buurt van Padua en begon daar een kleine huisartsenpraktijk. Hij trouwde met Lucia, de dochter van zijn buurman Aldobello Bandarini, die kapitein van de plaatselijke militie was. Omdat deze praktijk niet genoeg opbracht om hem en zijn vrouw van de laten leven, trok Cardano naar Gallarate, een dorp bij Milaan. Weer probeerde hij lid te worden van het College van Artsen, weer werd hij afgewezen. Uit gebrek aan bestaansmiddelen trok Cardano met zijn vrouw naar Milaan, maar daar gingen de zaken zo slecht dat ze in het armenhuis terecht kwamen, het was 1533.
Toen slaagde Cardano er in om de vroegere betrekking van zijn vader als leraar wiskunde aan de Piatti Stichting in Milaan te krijgen. Dit gaf hem naast geld voor levensonderhoud ook voldoende vrije tijd om zich met zijn werk als dokter bezig te kunnen houden. Hij verrichte enkele spectaculaire genezingen en werd bekend als dokter. Zo bekend, dat enkele leden van het College van Artsen hem af en toe om raad vroegen. Zo verzamelde hij een groep mensen om zich heen die hem van harte steunden. In 1536 schreef hij uit woede over zijn voortdurende uitsluiting van het College van Artsen een boek waarin hij de procedures van het College scherp bekritiseerde, met als gevolg dat hij in 1537 opnieuw niet als lid werd toegelaten. De druk op het College om de procedures aan te passen nam echter toe en in 1539 werd Cardano eindelijk als lid toegelaten. In datzelfde jaar verschenen zijn eerste twee boeken over wiskunde. Deze boeken vormden het begin van een indrukwekkende schrijverscarrière over een grote verscheidenheid van onderwerpen, zoals medicijnen, filosofie, astronomie, theologie en wiskunde.
In 1539 hoorde Cardano van de oplossing van derdegraads vergelijkingen, die tot op dat moment onoplosbaar werden geacht, door Tartaglia. Hij probeerde hem te overreden om die oplossing te vertellen. Dat lukte pas nadat hij Tartaglia een contact had voorgespiegeld met gouverneur van het leger van de Heilige Roomse Keizer in Milaan, Alfonso d'Avalos, markies Del Vasto. Tartaglia hoopte op het krijgen van een lucratieve betrekking in Milaan en dat noopte hem Cardano terwille te zijn, maar pas toen deze had gezworen om de oplossing niet verder te vertellen of te publiceren voordat Tartaglia dat zelf had gedaan. Toen ging Cardano (samen met zijn assistent Ludovico Ferrari) zelf aan het onderzoeken of hij ook andere derdegraads vergelijkingen en zelfs vierdegraads vergelijkingen kon oplossen. Zes jaar lang studeerden ze hard op dit probleem vanuit de oplossing van Tartaglia. Cardano ontdekte dat de methode inhield, dat er soms moest met wortels van negatieve getallen, zelfs als het uiteindelijke antwoord een 'normaal' getal was. Op 4 augustus schreef Cardano daarover aan Tartaglia. Die vertrouwde hem echter niet en was bang dat de geheimhouding van de oplossing in gevaar kwam. Tartaglia vertelde Cardano dat hij de zaken niet goed begreep om hem van verdere vorderingen af te houden.
In 1540 legde Cardano zijn werk als wiskundige aan de Piatti Stichting neer, Ferrari kreeg die baan. Van 1540 tot 1542 sloeg Cardano weer aan het gokken en aan het schaakspelen. Daarna gaf hij van 1543 tot 1552 les aan de medische faculteiten van de universiteiten van Milaan en Pavia. In 1545 publiceerde Cardano zijn bekendste werk op het gebied van de wiskunde: 'Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus' of korter: 'Ars Magna'. Daarin maakte hij toch de oplossing van alle typen derdegraads en vierdegraads vergelijkingen bekend. Ook de methode van Tartaglia werd er in uitgelegd. Dat Cardano zich niet aan zijn eed hield kwam doordat hij ontdekte dat niet Tartaglia, maar Scipione del Ferro de eerste bedenker van deze methode was. Tartaglia had hem alleen 'herontdekt'. Wel kreeg Tartaglia de eer die hem toekwam in de 'Ars Magna'. Hoewel Cardano geen enkel begrip had van complexe getallen werkte hij bij de oplossing van bepaalde derdegraads vergelijkingen toch met wortels uit negatieve getallen. In feite maakte hij zo de eerste berekeningen met complexe getallen.
In 1546 stierf Cardano's vrouw Lucia. Hij leek echter meer interesse te tonen in zijn carrière en het succes van zin boeken, dan in haar dood. Cardano werd rector van het College van Artsen en zijn reputatie als arts groeide met de dag. Verschillende staatshoofden verzochten hem op hun gezondheid te letten. Slechts éénmaal ging Cardano daarop in: op 23 februari 1552 vertrok hij naar Schotland om John Hamilton, de aartsbisschop van St.Andrews, die al jaren gebukt ging onder steeds erger wordende astmatische bronchitis, van een schijnbaar zekere dood te redden. Op 29 juni arriveerde hij in Edinburgh en hij wist hem inderdaad aan de beterende hand te krijgen voordat hij op 13 september weer vertrok. Cardano aanvaardde de ruime beloning, maar weigerde een permanente betrekking aan het Schotse Hof.
Na zijn terugkeer werd Cardano benoemd als professor in de medicijnen aan de universiteit van Pavia. Met een groot aantal rijke patiënten was hij in die dagen een rijk en succesvol man. Hij kon echter maar weinig van zijn succes genieten. Zijn zoons zorgden voor grote problemen. De oudste, Giambatista, trouwde met een vrouw die (samen met haar familie) alleen op zijn geld uit was en die hem voortdurend bedroog met andere mannen. Uiteindelijk vergiftigde Giambatista haar en daarvoor werd hij ter dood veroordeeld en hij stierf op 13 april 1560. Deze klap kwam Cardano nauwelijks te boven: hij verweet zichzelf zijn zoon niet te hebben beschermd tegen deze vrouw en vooral ook haar familie. Als vader van een veroordeelde moordenaar restte Cardano weinig anders dan te verhuizen. Hij verkreeg een professoraat in Bologna en verhuisde. Hier kwam hij (mede vanwege zijn arrogante manier van optreden) in conflict met zijn collega's. Zijn jongste zoon zorgde intussen ook voor ellende: hij raakte gokverslaafd en brak zelfs bij zijn vader in om speelschulden te kunnen betalen, waarop hij uit Bolgna werd verbannen. Tenslotte raakte Cardano zelf in de problemen vanwege vermeende ketterij. Hij had een horoscoop van Jezus Christus gemaakt en Nero verheerlijkt, waarschijnlijk alleen uit publicitair oogpunt, dus om in de belangstelling te raken. Maar de Inquisitie stelde hem ten voorbeeld en veroordeelde Cardano tot enkele maanden cel en verklaarde zijn hoogleraarschap verbeurd.
Na zijn vrijlating vertrok Cardano naar Rome. Daar werd hij met open armen ontvangen door het College van Artsen en ook door de paus die hem kennelijk zijn ketterij vergeven had en hem een toelage gaf. In die periode schreef Cardano zijn autobiografie die later in Parijs (1643) en Amsterdam (1654) werd gepubliceerd. Bovendien lijkt Cardano zijn sterfdag correct te hebben voorspeld, hoewel er ook wel wordt beweerd dat hij op die dag, 21 september 1576, zelfmoord heeft gepleegd.
Cardano's belangrijkste wiskundige werk Cardano's belangrijkste werk op het gebied van de wiskunde is zijn 'Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus', kortweg de 'Ars Magna'. Daarin maakte hij toch de oplossing van alle typen derdegraads en vierdegraads vergelijkingen bekend. Ook de methode van Tartaglia werd er in uitgelegd. Hoewel Cardano geen enkel begrip had van complexe getallen ontdekte hij dat er bij de oplossing van bepaalde derdegraads vergelijkingen toch met wortels uit negatieve getallen moest worden gewerkt. In feite maakte hij zo de eerste berekeningen met complexe getallen. Daarnaast leverde Cardano een belangrijke bijdrage aan de waarschijnlijkheidsleer, de hydrodynamica, de mechanica en de geologie. Zijn boek 'Liber de Ludo Aleae' (uit 1563) ging over kansspelen en was een eerste verkenning van de kansrekening van het gooien met dobbelstenen; het werd pas in 1663 voor het eerst gepubliceerd. Ook publiceerde Cardano twee encyclopedieën over de natuurwetenschappen, waarin hij allerlei feiten en feitjes verzamelde over de meest uiteenlopende onderwerpen van kosmologie tot de technoek van machines, van het nut van de wetenschap tot de slechte invloeden van geesten, van de wetten van de mechanica tot de alchemie en de occulte wetenschap. Math4all
Daarnaast leverde Cardano een belangrijke bijdrage aan de waarschijnlijkheidsleer, de hydrodynamica, de mechanica en de geologie. Zijn boek 'Liber de Ludo Aleae' (uit 1563) ging over kansspelen en was een eerste verkenning van de kansrekening van het gooien met dobbelstenen; het werd pas in 1663 voor het eerst gepubliceerd. Ook publiceerde Cardano twee encyclopedieën over de natuurwetenschappen, waarin hij allerlei feiten en feitjes verzamelde over de meest uiteenlopende onderwerpen van kosmologie tot de technoek van machines, van het nut van de wetenschap tot de slechte invloeden van geesten, van de wetten van de mechanica tot de alchemie en de occulte wetenschap.
Math4all
