Soorten bewijzen

Inhoud:

• Directe bewijzen
• Bewijzen uit het ongerijmde
• Het dominoprincipe
• Grondslagendiscussie

Een direct bewijs is een "als ..., dan ..." redenering.
In de logica heet dat een implicatie. Uit een uitspraak waarvan je weet dat hij waar is volgt een nieuwe uitspraak die dan dus ook waar moet zijn. Dat doe je dan net zo lang tot je uiteindelijk hebt laten zien dat de uitspraak, het vermoeden, dat je wilde bewijzen volgt uit iets waarvan je weet (of aanneemt) dat het waar is.
Je hebt dan bewezen dat het vermoeden waar is en vanaf dat moment is het een stelling.

In dit filmpje geeft Bas Haring daarvan een mooi eenvoudig voorbeeld.

Een indirect bewijs heet ook wel een "bewijs uit het ongerijmde".
Je gaat er dan van uit dat je vermoeden ONWAAR is en toont aan dat daaruit iets volgt wat zeker ONWAAR is.

Een klassiek voorbeeld is het bewijs van Euclides dat er oneindig veel priemgetallen zijn.
Neem eens aan dat er NIET oneindig veel priemgetallen zijn, maar niet meer dan n.
Noem die n priemgetallen: p₁, p₂, ..., p_n in opklimmende volgorde.
Bekijk nu het getal a = p₁ · p₂ · p₃ · ... · p_n + 1.
Dit getal is groter dan elk van de n priemgetallen.
Als je dit getal deelt door p₁, of p₂, of ..., of p_n, dan blijft er steeds een rest van 1 over. Dus a is niet deelbaar door één van de priemgetallen p₁, p₂, ..., p_n. Omdat elk getal te schrijven is als het product van priemgetallen (een stelling die je eigenlijk eerst nog moet bewijzen) is dit getal zelf een priemgetal.
Het getal a is een priemgetal dat groter is dan p₁, p₂, ..., p_n en dus een nieuw priemgetal. Maar dat is in strijd met de aanname dat er maar n zijn.
De stelling dat er maar eindig priemgetallen zijn is dus onwaar. Hieruit volgt dat er inderdaad oneindig veel priemgetallen zijn.

Uitleg

Over de beroemde wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) gaat het verhaal dat hij als 11-jarige de opdracht kreeg om de getallen 1 t/m 100 bij elkaar op te tellen in de veronderstelling dat hij daarmee wel even bezig zou zijn. Na enkele seconden te hebben nagedacht wist Gauss meteen het antwoord 5050. Hij bedacht ter plekke dat je deze getallen kunt optellen door de eerste en de laatste op te tellen en dan de uitkomst te vermenigvuldigen met het halve aantal getallen.

In het algemeen geldt: 1 + 2 + 3 + ... + n = $\frac{1}{2}$n(n + 1).

Dit kun je op een aantal manieren bewijzen. Een manier is de bewijsmethode van de volledige inductie. Je gebruikt dan het dominoprincipe:

• (je gooit een eerste steen om)
  de stelling geldt voor bijvoorbeeld n = 1 (voor een bepaalde n, vaak n = 1):
  1 = $\frac{1}{2}$ · 1 ·(1 + 1) klopt.
• (een omvallende steen raakt zijn opvolger die dan ook omvalt)
  als de stelling voor een bepaalde n geldt, dan volgt daaruit dat hij voor n + 1 geldt:
  Dit betekent dat je moet aantonen dat
  1 + 2 + 3 + ... + n + n + 1 = $\frac{1}{2}$(n + 1)(n + 2)
  volgt uit 1 + 2 + 3 + ... + n = $\frac{1}{2}$n(n + 1). Probeer maar eens...

Tegen bewijs uit het ongerijmde bestaat enig bezwaar. Om aan te tonen dat een bewering waar is, is het niet bevredigend aan te tonen dat het niet kan dat dat hij niet waar is. Je zou liever willen dat het bewijs duidelijk maakte hoe de bewering kan ontstaan uit de theorie. Een bewijs dat dit laat zien heet een constructief bewijs. Voor veel stellingen die eerst alleen indirect bewezen worden, worden later constructieve bewijzen geleverd. Zo’n constructief bewijs is waardevol omdat het een manier levert om het beweerde te vinden. Maar er zijn ook stellingen die alleen indirect bewezen kunnen worden.
Sommige wiskundigen hebben die indirecte methoden helemaal afgewezen en bedreven zo een strenger soort wiskunde. De beroemdste in dit verband is de Amsterdamse hoogleraar L.E.J.Brouwer (1881 – 1961) de grondlegger van het zogenaamde intuïtionisme.