Uiteraard ontstonden ook in Mesopotamië, India en China (om alleen de belangrijkste culturen uit de oudheid te noemen) vergelijkbare inzichten. Elke cultuur heeft namelijk praktische behoeften die te maken hebben met stelsels van maten en gewichten, landmeten, constructies, tijdmeting, e.d. Maar verder dan een beschrijving van hoe dergelijke berekeningen konden worden gemaakt gingen de wetenschappers uit die tijd niet.
De oude Grieken De klassieke periode van 600 - 300 v.Chr. Een belangrijke figuur is de Griekse filosoof (en dus ook wiskundige, want in die tijd was een filosoof iemand die in alle soorten wetenschap was geïnteresseerd) Thales van Milete (een stad in het huidige zuidwesten van Turkije). Hij deed veel van zijn meetkundige kennis in Egypte op, maar was de eerste die benadrukte dat meetkundige feiten moesten worden verklaard door een redenering, een bewijs. Vanaf die periode ontwikkelden de Grieken de axiomatische methode, een methode waarbij een gehele theorie wordt opgebouwd door nauwkeurige redeneringen vanuit een zo klein mogelijk stelsel axioma's (voor waar aangenomen uitspraken) waarin alleen een paar basisbegrippen voorkomen. Pythagoras (de eerste echte wiskundige en wellicht een leerling van Thales) beweerde zelfs dat de gehele structuur van de wereld door redeneringen vanuit getallen en objecten kon worden verklaard. Het bewijs van zijn beroemde stelling is daar een voorbeeld van, hoewel het niet zeker is dat hijzelf de ontdekker van dit bewijs is. Er ontstond een hele school van volgelingen van Pythagoras, die veel werk verrichtten op het gebied van de meetkunde en de rekenkunde. Bekend zijn Eudoxus (met zijn uitputtingsmethode) en Theaetetus. Omstreeks 300 v.Chr. vatte Euklides al deze theorie samen in het beroemdste wiskundeboek dat ooit is geschreven: "De Elementen". Daarbij leunde hij zwaar op werk van voorgangers, maar hij wist de gehele Griekse wiskunde van die tijd op strikt axiomatische wijze (en dus voorzien van nauwkeurige bewijzen) te presenteren in 465 stellingen. Hij behandelde vlakke en ruimtelijke meetkunde, getallentheorie en rekenkunde. Tot aan de twintigste eeuw (!!), dus zo'n 2300 jaar lang bleef dit boek hét standaard studieboek voor wiskunde. De Griekse meetkunde na Euklides Ook na de opmerkelijke prestatie van Euklides waren er belangrijke Griekse wiskundigen (en dus vanzelf ook meetkundigen). Archimedes (die als de grootste wiskundige uit de oudheid wordt gezien) deed veel werk op het gebied van de meetkunde. Hij bewees dat p een waarde heeft tussen de 223/71 en 22/7. Hij ontdekte het verband tussen de diameter en de oppervlakte van een cirkel. Hij ontdekte (en bewees) de formules voor de inhoud en de oppervlakte van een bol. Apollonius schreef veel, maar daarvan is maar weinig bewaard gebleven. Zijn werk op het gebied van kegelsneden (cirkel, parabool, ellips en hyperbool) wordt echter als één der belangrijkste boeken uit de oudheid gezien. Tot ver in de Romeinse tijd waren de Grieken toonaangevend in de wiskunde en dus ook in de meetkunde. Indiase-Arabische meetkunde Na de val van het West-Romeinse Rijk (500 na Chr.) zette de wiskundecultuur zich in het oostelijk deel van dit Rijk en in aanpalende culturen voort. De Indiase en de Arabische wiskunde (vooral na het ontstaan van de Islam en het Kalifaat) bewaarden het erfgoed van de oude Grieken en voegden daar het nodige aan toe. Veel daarvan lag echter op het terrein van de schrijfwijze voor getallen, de rekenkunde, de algebra, dus op andere gebieden van de wiskunde. Op het gebied van de meetkunde zijn opmerkelijke bijdragen die van de Indiase wiskundige Brahmagupta over draaisymmetrische vierhoeken, en van de Arabische wiskundigen Abu'l-Wefa over constructies met passer en lineaal, Omar Khayyam over meetkundige oplossingen van derdegraads (kubische) vergelijkingen, en Nasir Eddin over de axioma's van Euklides. West-Europese meetkunde Onder invloed van de voortschrijdende behoefte van West-Europese (eerst vooral Italiaanse en later ook Vlaamse en Hollandse) kunstenaars om bij het maken van schilderijen de wereld natuurgetrouw af te beelden ontstond in de 15e eeuw het begrip 'projectie'. Als gevolg daarvan kwam er een meetkunde rond dit verschijnsel tot bloei, de zogenaamde 'projectieve meetkunde', vooral onder invloed van Gerard Desargues en Blaise Pascal. De beschrijvende meetkunde die daarmee samenhangt werd later ontworpen door Gaspard Monge en Jean Poncelet. Bij beide gaat het om stellingen rond projecties (vooral centrale projectie) op het platte vlak. In de loop van de 16e en 17e eeuw bedacht René Descartes het coördinatenstelsel en begon de algebra ook in meetkundige vraagstukken een rol te spelen. Het gevolg was de zogenaamde analytische meetkunde waarin wordt gewerkt met vergelijkingen voor lijnen en vlakken en veel meetkundige bewijzen kunnen worden geleverd met algebraïsche methoden. In de 19e eeuw voegden J.W. Gibbs en Oliver Heaviside daar de vectormeetkunde aan toe. Daarbij werden punten in de ruimte voorzien van een plaatsvector en werden vertorvoorstellingen van lijnen en vlakken gebruikt om meetkundige problemen op te lossen. Verder werd in de 18e en de 19e eeuw ook de differentiaalmeetkunde uitgevonden. Op dat moment werden ook methoden uit de analyse, zoals differentiëren en integreren gebruikt bij het onderzoeken van de eigenschappen van krommen en (gekromde) oppervlakken. Hierbij horen namen als Gaspard Monge (1746-1818), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en Bernard Riemann (1826-1866). Nog steeds echter was de meetkunde het bestuderen van concrete objecten niet echt ontgroeid. Daarin zou echter in deze zelfde 19e eeuw verandering in komen. Moderne meetkunde Carl Friedrich Gauss, Nikolai Lobachevsky (1793-1856), en Janos Bolyai (1802-1860) ontwikkelden de zogenaamde niet-euklidische meetkunde. Deze meetkunde ontstond uit het praktische feit dat de euklidische meetkunde niet van toepassing is op het aardoppervlak. In die tijd namelijk waren de verschillende naties nadrukkelijk bezig om hun grondgebied in kaart te brengen, waaraan de landmeetkunde een belangrijke bijdrage moest leveren. En dus werd de studie van de wiskunde op een gebogen oppervlak (zoals het aardoppervlak) weer interessant. En op zo'n oppervlak geldt het vijfde axioma van Euklides (Door een punt niet op lijn l gelegen gaat precies één lijn evenwijdig aan l.) beslist niet. Nu was dat axioma altijd al omstreden (diverse wiskundigen probeerden aan te tonen dat het overbodig was voor de meetkunde van Euklides), en dus begonnen onafhankelijk van Gauss, Bolyai en Lobachevsky niet-euklidische meetkundes te ontwikkelen. Bernard Riemann borduurde voort op hun ontdekkingen en er ontstonden langzamerhand meerdere verschillende niet-euklidische meetkundes. Het grote belang daarvan werd buiten de wiskunde zichtbaar toen bleek dat deze meetkundes heel erg bruikbaar waren bij het beschrijven van de ruimte volgens de relativiteitstheorie van Einstein. In de 19e eeuw ontstond ook de topologie, de meetkunde van rekbare oppervlakken. Daarin gaat het om het bestuderen van de eigenschappen van objecten die niet veranderen door uitrekken of verbuigen. Eén van de belangrijke namen op dit terrein is Henri Poincaré (1854-1912). Op dit moment is de meetkunde weer een heel levendig onderzoeksterrein. Maar dan gaat het meer om volledig abstracte ruimtes van zoveel dimensies als je maar wilt. En de taal van deze meetkundes is in veel situaties erg handig omdat meetkundetaal altijd iets 'beeldends' heeft. Zodat je altijd het gevoel hebt (zelfs in heel abstracte situaties) over tastbare zaken te praten. Math4all
Pythagoras (de eerste echte wiskundige en wellicht een leerling van Thales) beweerde zelfs dat de gehele structuur van de wereld door redeneringen vanuit getallen en objecten kon worden verklaard. Het bewijs van zijn beroemde stelling is daar een voorbeeld van, hoewel het niet zeker is dat hijzelf de ontdekker van dit bewijs is. Er ontstond een hele school van volgelingen van Pythagoras, die veel werk verrichtten op het gebied van de meetkunde en de rekenkunde. Bekend zijn Eudoxus (met zijn uitputtingsmethode) en Theaetetus.
Omstreeks 300 v.Chr. vatte Euklides al deze theorie samen in het beroemdste wiskundeboek dat ooit is geschreven: "De Elementen". Daarbij leunde hij zwaar op werk van voorgangers, maar hij wist de gehele Griekse wiskunde van die tijd op strikt axiomatische wijze (en dus voorzien van nauwkeurige bewijzen) te presenteren in 465 stellingen. Hij behandelde vlakke en ruimtelijke meetkunde, getallentheorie en rekenkunde. Tot aan de twintigste eeuw (!!), dus zo'n 2300 jaar lang bleef dit boek hét standaard studieboek voor wiskunde.
Archimedes (die als de grootste wiskundige uit de oudheid wordt gezien) deed veel werk op het gebied van de meetkunde. Hij bewees dat p een waarde heeft tussen de 223/71 en 22/7. Hij ontdekte het verband tussen de diameter en de oppervlakte van een cirkel. Hij ontdekte (en bewees) de formules voor de inhoud en de oppervlakte van een bol. Apollonius schreef veel, maar daarvan is maar weinig bewaard gebleven. Zijn werk op het gebied van kegelsneden (cirkel, parabool, ellips en hyperbool) wordt echter als één der belangrijkste boeken uit de oudheid gezien. Tot ver in de Romeinse tijd waren de Grieken toonaangevend in de wiskunde en dus ook in de meetkunde.
Indiase-Arabische meetkunde Na de val van het West-Romeinse Rijk (500 na Chr.) zette de wiskundecultuur zich in het oostelijk deel van dit Rijk en in aanpalende culturen voort. De Indiase en de Arabische wiskunde (vooral na het ontstaan van de Islam en het Kalifaat) bewaarden het erfgoed van de oude Grieken en voegden daar het nodige aan toe. Veel daarvan lag echter op het terrein van de schrijfwijze voor getallen, de rekenkunde, de algebra, dus op andere gebieden van de wiskunde. Op het gebied van de meetkunde zijn opmerkelijke bijdragen die van de Indiase wiskundige Brahmagupta over draaisymmetrische vierhoeken, en van de Arabische wiskundigen Abu'l-Wefa over constructies met passer en lineaal, Omar Khayyam over meetkundige oplossingen van derdegraads (kubische) vergelijkingen, en Nasir Eddin over de axioma's van Euklides. West-Europese meetkunde Onder invloed van de voortschrijdende behoefte van West-Europese (eerst vooral Italiaanse en later ook Vlaamse en Hollandse) kunstenaars om bij het maken van schilderijen de wereld natuurgetrouw af te beelden ontstond in de 15e eeuw het begrip 'projectie'. Als gevolg daarvan kwam er een meetkunde rond dit verschijnsel tot bloei, de zogenaamde 'projectieve meetkunde', vooral onder invloed van Gerard Desargues en Blaise Pascal. De beschrijvende meetkunde die daarmee samenhangt werd later ontworpen door Gaspard Monge en Jean Poncelet. Bij beide gaat het om stellingen rond projecties (vooral centrale projectie) op het platte vlak. In de loop van de 16e en 17e eeuw bedacht René Descartes het coördinatenstelsel en begon de algebra ook in meetkundige vraagstukken een rol te spelen. Het gevolg was de zogenaamde analytische meetkunde waarin wordt gewerkt met vergelijkingen voor lijnen en vlakken en veel meetkundige bewijzen kunnen worden geleverd met algebraïsche methoden. In de 19e eeuw voegden J.W. Gibbs en Oliver Heaviside daar de vectormeetkunde aan toe. Daarbij werden punten in de ruimte voorzien van een plaatsvector en werden vertorvoorstellingen van lijnen en vlakken gebruikt om meetkundige problemen op te lossen. Verder werd in de 18e en de 19e eeuw ook de differentiaalmeetkunde uitgevonden. Op dat moment werden ook methoden uit de analyse, zoals differentiëren en integreren gebruikt bij het onderzoeken van de eigenschappen van krommen en (gekromde) oppervlakken. Hierbij horen namen als Gaspard Monge (1746-1818), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en Bernard Riemann (1826-1866). Nog steeds echter was de meetkunde het bestuderen van concrete objecten niet echt ontgroeid. Daarin zou echter in deze zelfde 19e eeuw verandering in komen. Moderne meetkunde Carl Friedrich Gauss, Nikolai Lobachevsky (1793-1856), en Janos Bolyai (1802-1860) ontwikkelden de zogenaamde niet-euklidische meetkunde. Deze meetkunde ontstond uit het praktische feit dat de euklidische meetkunde niet van toepassing is op het aardoppervlak. In die tijd namelijk waren de verschillende naties nadrukkelijk bezig om hun grondgebied in kaart te brengen, waaraan de landmeetkunde een belangrijke bijdrage moest leveren. En dus werd de studie van de wiskunde op een gebogen oppervlak (zoals het aardoppervlak) weer interessant. En op zo'n oppervlak geldt het vijfde axioma van Euklides (Door een punt niet op lijn l gelegen gaat precies één lijn evenwijdig aan l.) beslist niet. Nu was dat axioma altijd al omstreden (diverse wiskundigen probeerden aan te tonen dat het overbodig was voor de meetkunde van Euklides), en dus begonnen onafhankelijk van Gauss, Bolyai en Lobachevsky niet-euklidische meetkundes te ontwikkelen. Bernard Riemann borduurde voort op hun ontdekkingen en er ontstonden langzamerhand meerdere verschillende niet-euklidische meetkundes. Het grote belang daarvan werd buiten de wiskunde zichtbaar toen bleek dat deze meetkundes heel erg bruikbaar waren bij het beschrijven van de ruimte volgens de relativiteitstheorie van Einstein. In de 19e eeuw ontstond ook de topologie, de meetkunde van rekbare oppervlakken. Daarin gaat het om het bestuderen van de eigenschappen van objecten die niet veranderen door uitrekken of verbuigen. Eén van de belangrijke namen op dit terrein is Henri Poincaré (1854-1912). Op dit moment is de meetkunde weer een heel levendig onderzoeksterrein. Maar dan gaat het meer om volledig abstracte ruimtes van zoveel dimensies als je maar wilt. En de taal van deze meetkundes is in veel situaties erg handig omdat meetkundetaal altijd iets 'beeldends' heeft. Zodat je altijd het gevoel hebt (zelfs in heel abstracte situaties) over tastbare zaken te praten. Math4all
Op het gebied van de meetkunde zijn opmerkelijke bijdragen die van de Indiase wiskundige Brahmagupta over draaisymmetrische vierhoeken, en van de Arabische wiskundigen Abu'l-Wefa over constructies met passer en lineaal, Omar Khayyam over meetkundige oplossingen van derdegraads (kubische) vergelijkingen, en Nasir Eddin over de axioma's van Euklides.
West-Europese meetkunde Onder invloed van de voortschrijdende behoefte van West-Europese (eerst vooral Italiaanse en later ook Vlaamse en Hollandse) kunstenaars om bij het maken van schilderijen de wereld natuurgetrouw af te beelden ontstond in de 15e eeuw het begrip 'projectie'. Als gevolg daarvan kwam er een meetkunde rond dit verschijnsel tot bloei, de zogenaamde 'projectieve meetkunde', vooral onder invloed van Gerard Desargues en Blaise Pascal. De beschrijvende meetkunde die daarmee samenhangt werd later ontworpen door Gaspard Monge en Jean Poncelet. Bij beide gaat het om stellingen rond projecties (vooral centrale projectie) op het platte vlak. In de loop van de 16e en 17e eeuw bedacht René Descartes het coördinatenstelsel en begon de algebra ook in meetkundige vraagstukken een rol te spelen. Het gevolg was de zogenaamde analytische meetkunde waarin wordt gewerkt met vergelijkingen voor lijnen en vlakken en veel meetkundige bewijzen kunnen worden geleverd met algebraïsche methoden. In de 19e eeuw voegden J.W. Gibbs en Oliver Heaviside daar de vectormeetkunde aan toe. Daarbij werden punten in de ruimte voorzien van een plaatsvector en werden vertorvoorstellingen van lijnen en vlakken gebruikt om meetkundige problemen op te lossen. Verder werd in de 18e en de 19e eeuw ook de differentiaalmeetkunde uitgevonden. Op dat moment werden ook methoden uit de analyse, zoals differentiëren en integreren gebruikt bij het onderzoeken van de eigenschappen van krommen en (gekromde) oppervlakken. Hierbij horen namen als Gaspard Monge (1746-1818), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en Bernard Riemann (1826-1866). Nog steeds echter was de meetkunde het bestuderen van concrete objecten niet echt ontgroeid. Daarin zou echter in deze zelfde 19e eeuw verandering in komen. Moderne meetkunde Carl Friedrich Gauss, Nikolai Lobachevsky (1793-1856), en Janos Bolyai (1802-1860) ontwikkelden de zogenaamde niet-euklidische meetkunde. Deze meetkunde ontstond uit het praktische feit dat de euklidische meetkunde niet van toepassing is op het aardoppervlak. In die tijd namelijk waren de verschillende naties nadrukkelijk bezig om hun grondgebied in kaart te brengen, waaraan de landmeetkunde een belangrijke bijdrage moest leveren. En dus werd de studie van de wiskunde op een gebogen oppervlak (zoals het aardoppervlak) weer interessant. En op zo'n oppervlak geldt het vijfde axioma van Euklides (Door een punt niet op lijn l gelegen gaat precies één lijn evenwijdig aan l.) beslist niet. Nu was dat axioma altijd al omstreden (diverse wiskundigen probeerden aan te tonen dat het overbodig was voor de meetkunde van Euklides), en dus begonnen onafhankelijk van Gauss, Bolyai en Lobachevsky niet-euklidische meetkundes te ontwikkelen. Bernard Riemann borduurde voort op hun ontdekkingen en er ontstonden langzamerhand meerdere verschillende niet-euklidische meetkundes. Het grote belang daarvan werd buiten de wiskunde zichtbaar toen bleek dat deze meetkundes heel erg bruikbaar waren bij het beschrijven van de ruimte volgens de relativiteitstheorie van Einstein. In de 19e eeuw ontstond ook de topologie, de meetkunde van rekbare oppervlakken. Daarin gaat het om het bestuderen van de eigenschappen van objecten die niet veranderen door uitrekken of verbuigen. Eén van de belangrijke namen op dit terrein is Henri Poincaré (1854-1912). Op dit moment is de meetkunde weer een heel levendig onderzoeksterrein. Maar dan gaat het meer om volledig abstracte ruimtes van zoveel dimensies als je maar wilt. En de taal van deze meetkundes is in veel situaties erg handig omdat meetkundetaal altijd iets 'beeldends' heeft. Zodat je altijd het gevoel hebt (zelfs in heel abstracte situaties) over tastbare zaken te praten. Math4all
In de loop van de 16e en 17e eeuw bedacht René Descartes het coördinatenstelsel en begon de algebra ook in meetkundige vraagstukken een rol te spelen. Het gevolg was de zogenaamde analytische meetkunde waarin wordt gewerkt met vergelijkingen voor lijnen en vlakken en veel meetkundige bewijzen kunnen worden geleverd met algebraïsche methoden. In de 19e eeuw voegden J.W. Gibbs en Oliver Heaviside daar de vectormeetkunde aan toe. Daarbij werden punten in de ruimte voorzien van een plaatsvector en werden vertorvoorstellingen van lijnen en vlakken gebruikt om meetkundige problemen op te lossen.
Verder werd in de 18e en de 19e eeuw ook de differentiaalmeetkunde uitgevonden. Op dat moment werden ook methoden uit de analyse, zoals differentiëren en integreren gebruikt bij het onderzoeken van de eigenschappen van krommen en (gekromde) oppervlakken. Hierbij horen namen als Gaspard Monge (1746-1818), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en Bernard Riemann (1826-1866).
Nog steeds echter was de meetkunde het bestuderen van concrete objecten niet echt ontgroeid. Daarin zou echter in deze zelfde 19e eeuw verandering in komen.
Moderne meetkunde Carl Friedrich Gauss, Nikolai Lobachevsky (1793-1856), en Janos Bolyai (1802-1860) ontwikkelden de zogenaamde niet-euklidische meetkunde. Deze meetkunde ontstond uit het praktische feit dat de euklidische meetkunde niet van toepassing is op het aardoppervlak. In die tijd namelijk waren de verschillende naties nadrukkelijk bezig om hun grondgebied in kaart te brengen, waaraan de landmeetkunde een belangrijke bijdrage moest leveren. En dus werd de studie van de wiskunde op een gebogen oppervlak (zoals het aardoppervlak) weer interessant. En op zo'n oppervlak geldt het vijfde axioma van Euklides (Door een punt niet op lijn l gelegen gaat precies één lijn evenwijdig aan l.) beslist niet. Nu was dat axioma altijd al omstreden (diverse wiskundigen probeerden aan te tonen dat het overbodig was voor de meetkunde van Euklides), en dus begonnen onafhankelijk van Gauss, Bolyai en Lobachevsky niet-euklidische meetkundes te ontwikkelen. Bernard Riemann borduurde voort op hun ontdekkingen en er ontstonden langzamerhand meerdere verschillende niet-euklidische meetkundes. Het grote belang daarvan werd buiten de wiskunde zichtbaar toen bleek dat deze meetkundes heel erg bruikbaar waren bij het beschrijven van de ruimte volgens de relativiteitstheorie van Einstein. In de 19e eeuw ontstond ook de topologie, de meetkunde van rekbare oppervlakken. Daarin gaat het om het bestuderen van de eigenschappen van objecten die niet veranderen door uitrekken of verbuigen. Eén van de belangrijke namen op dit terrein is Henri Poincaré (1854-1912). Op dit moment is de meetkunde weer een heel levendig onderzoeksterrein. Maar dan gaat het meer om volledig abstracte ruimtes van zoveel dimensies als je maar wilt. En de taal van deze meetkundes is in veel situaties erg handig omdat meetkundetaal altijd iets 'beeldends' heeft. Zodat je altijd het gevoel hebt (zelfs in heel abstracte situaties) over tastbare zaken te praten. Math4all
In de 19e eeuw ontstond ook de topologie, de meetkunde van rekbare oppervlakken. Daarin gaat het om het bestuderen van de eigenschappen van objecten die niet veranderen door uitrekken of verbuigen. Eén van de belangrijke namen op dit terrein is Henri Poincaré (1854-1912).
Op dit moment is de meetkunde weer een heel levendig onderzoeksterrein. Maar dan gaat het meer om volledig abstracte ruimtes van zoveel dimensies als je maar wilt. En de taal van deze meetkundes is in veel situaties erg handig omdat meetkundetaal altijd iets 'beeldends' heeft. Zodat je altijd het gevoel hebt (zelfs in heel abstracte situaties) over tastbare zaken te praten.
Math4all