Veel van onze kennis over de wiskunde in het oude Egypte is gebaseerd op de Rhind-papyrus (zie hiernaast). Deze payrus is geschreven in ongeveer 1650 v.Chr. door Ahmes. Hij beweerde daarop de wiskundige kennis van ongeveer 1850 v.Chr. vast te hebben gelegd.
De papyrus van Caïro van omstreeks 300 v.Chr. laat zien dat de Egyptenaren op dat moment ook in staat waren om problemen op te lossen die wij zouden omschrijven als het oplossen van twee kwadratische vergelijkingen met twee onbekenden.
Hun manieren van oplossen werden echter behoorlijk gehinderd door het feit dat zij nooit een handige manier vonden om met breuken te werken. Decimale getallen kenden ze al helemaal niet...
Al hun oplossingsmethoden werden beschreven in voorbeelden op kleitabletten en er werden geen toelichtingen of bewijzen bij gegeven. Ook zij kenden alleen gehele getallen en verhoudingen van gehele getallen (zeg maar breuken). Wel probeerden ze benaderingen te vinden voor wortels (als zijnde de lengte van de zijde van een vierkant met b.v. een oppervlakte van 2). Ook hielden ze zich toen al bezig met het oplossen van problemen met twee of meer onbekenden.
De wiskundige Brahmagupta gebruikte vanaf ongeveer 628 negatieve getallen als schuld. En in 1114 beweerde Bhaskara dat elk positief getal twee wortels heeft. De Hindoes ontwikkelden ook passende procedures voor het rekenen met irrationale getallen (zoals wortels).
Als gevolg hiervan boekten zij vooruitgang in de algebra en de rekenkunde. Ze ontwikkelden enkele symbolische notaties waarin zij duidelijk verder gingen dan Diophantos. Echter ook zij beschreven alleen de oplossingen van algebraïsche problemen, maar gaven geen bewijzen voor hun methoden.
De Hindoes wisten wel dat kwadratische vergelijkingen twee wortels hadden, zij gebruikten ook negatieve wortels en wortels die een irrationaal getal opleverden als acceptabele uitkomsten. Toch konden zij nietalle kwadratische vergelijkingen oplossen, want zij hadden nog geen notatie voor de wortel uit een negatief getal. Verder zetten zij ook verdere stappen op het gebied van vergelijkingen met oneindig veel oplossingen. Bijvoorbeeld Aryabatha vond rond 500 paren van gehele getallen die voldeden aan vergelijkingen van de vorm ax + by = c.
Het woord 'algebra' stamt ook uit een fonetische vertaling van de titel van een boek dat rond 830 is geschreven door de Arabische astronoom en wiskundige Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, namelijk: "Hisab al-jabr w'al muqabala". Ons woord 'algoritme' is een verbastering van de naam Al-Khowarizmi.
De Arabische algebra was weer volledig zonder symbolen voor rekenbewerkingen; alles werd in woorden beschreven. Het oplossen van kwadratische vergelijkingen was een bekend gegeven, maar vaak werden negatieve oplossingen verworpen, met name ook omdat hun algebra erg praktisch toepasbaar moest zijn. De dichter en wiskundige Omar Khayyam (1050 - 1130) zette stappen op het gebied van het oplossen van derdegraads vergelijkingen met meetkundige methoden.
En net als Diophantos en de Hindoes hielden de Arabische wiskundigen zich bezig met het vinden van passende getallencombinaties voor vergelijkingen met oneindig veel oplossingen.
De Arabische algebra (en daarmee ook de algebra van alle voorgaande beschavingen) werd snel gemeengoed. Het tientallig positiestelsel werd geaccepteerd, evenals het werken met irrationale getallen. Alleen tegenover negatieve getallen stond men nog wat huiverig en complexe getallen (zoals de wortel uit -1) waren nog onvoorstelbaar. In navolging van de Arabieren was de algebra weer volledig teruggevallen op een beschrijving van vergelijkingen en oplossingen in woorden.
Toch werd er vooruitgang geboekt bij het oplossen van derdegraads en vierdegraads vergelijkingen, waarvan de resultaten werden geboekstaaft in 1545 in de "Ars Magna" van Cardano. Nog steeds werd de algebra echter beschreven in woorden, wat verdere vooruitgang bemoeilijkte. De wiskundige Vièta (1540 - 1603) zorgde echter voor een kentering door letters in te voeren voor bekende constanten. Daardoor kon de algebra in plaats van een verzameling oplossingstrucs voor afzonderlijke vergelijkingen te blijven veel algemener worden bestudeerd. Ook hij had nog geen volledig symbolisch systeem ontwikkeld, daarvoor waren nog bijdragen van diverse andere wiskundigen nodig. Een volledig gebruik van symbolische schrijfwijzen werd pas bereikt in "La Géometrie" van Descartes. Bovendien werd daarin de algebra ook toegepast op meetkundige problemen, waardoor het belang ervan enorm toenam.
Aan het einde van de zeventiende eeuw was het gebruik van een totale symbolische taal voor de algebra gemeengoed onder wiskundigen geworden. Het enige wat nog ontbrak was een axiomatische opzet (een opzet vanuit maar een paar aangenomen grondbeginselen) zoals dat al sinds Euklides voor de meetkunde bestond.
De Britse wiskundige Peacock (1791 - 1858) was de eerste die echt aandacht schonk aan een axiomatische opzet van de algebra. Zijn Britse collega De Morgan (1806 - 1871) breidde zijn werk uit tot het bestuderen van operaties met abstracte symbolen en de Ier Hamilton (1805 - 1865) liet zien dat met complexe getallen een volledig algebraïsch systeem kon worden opgezet door ze op te vatten als paren van reële getallen.
Het optellen definieerde hij zo:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
het vermenigvuldigen zo:
(a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc).
De Amerikaan Gibbs (1839 - 1903) ontwikkelde een algebra voor vectoren in een driedimensionale ruimte.
De Brit Cayley (1821 - 1895) ontwierp een algebra voor matrices.
Nog abstracter was de studie van de systemen van operaties die konden ontstaan vanuit één (bijvoorbeeld alleen optellen) of twee bewerkingen (optellen en vermenigvuldigen) gebaseerd op een klein aantal axioma's (basisveronderstellingen).
De Fransman Galois (1811 - 1832) bedacht het begrip 'groep' als het geheel van operaties met één bewerking gebaseerd op slechts drie axioma's. Met behulp van dit begrip kon Galois bewijzen welke veeltermvergelijkingen algemeen oplosbaar zijn met algebraïsche middelen. Het begrip 'lichaam' werd door de Duitse wiskundige Dedekind in 1879 ingevoerd als het geheel van operaties met twee bewerkingen gebaseerd op een klein aantal axioma's.
De Italiaanse wiskundige Peano (1858 - 1932) ontwierp in 1889 een axiomatische opbouw van het systeem van de natuurlijke getallen. Daarna werd aangetoond dat alle andere getallen vanuit de natuurlijke getallen kunnen worden opgebouwd.
Tot in onze tijd is de abstracte algebra een onderdeel van de wiskunde waarin veel ontwikkelingen gaande zijn. Denk maar aan de zoektochten naar priemgetallen (i.v.m. coderingen van digitale informatie) en de Booleaanse algebra die zo'n grote rol speelt in de computerwereld, e.d.
Math4all