Kansverdelingen met de TI-83

 Met de TI-83 kun je in verschillende standaardsituaties kansen berekenen. In dit practicum komen de binomiale kansverdeling en de normale kansverdeling aan bod. Je moet voor dat je met dit practicum kunt werken bekend zijn met de basistechnieken van de TI-83 en het werken met functies op de TI-83. Doe eventueel eerst de bijbehorende practica.
Loop eerst het practicum: 'Simulaties en telsystemen met de TI-83' door.

Inhoud

De binomiale kansverdeling

Stel je voor dat je 100 keer hetzelfde kansexperiment uitvoert waarbij de kans op succes 0,23 en dus de kans op mislukking 1 – 0,23 = 0,77 is. De toevalsvariabele X stelt het aantal keren succes bij die 100 trekkingen voor. X heeft dan een binomiale kansverdeling met:

hierin is: wat er op je TI-83 uitziet als 100 nCr k.

De kans op X = 20 is dan gewoon in je rekenvenster te bepalen door te tikken:

Het antwoord zie je in het TI-venster hiernaast.

Dit kan echter gemakkelijker. De TI-83 kent namelijk de functie 'binompdf' (binomial probability distribution function) waarmee kansen zoals die hierboven rechtstreeks zijn te berekenen:

Je vindt dezelfde kans als hierboven.
De complete kansverdeling is nu eenvoudig te maken door de binomiale kans met een variabele X in het Y= scherm als functie in te voeren en dan een tabel met stapgrootte 1 bij die functie te maken. In de twee figuren hieronder zie je hoe dat er uit ziet:

De hierboven gevonden waarde voor x = 10 vind je in de tabel terug.

Als een variabele X binomiaal is verdeeld met n = 100 en p = 0,23 dan kun je de volgende binomiale kansen berekenen met de TI-83:

Grenswaarden bij binomiale toetsing

 Vooral bij het toetsen van hypothesen wil je grenswaarden opzoeken bij binomiale kansverdelingen. Het gaat dan om problemen als:

Bepaal de waarde van g waarvoor: P(X < g | n = 100 en p = 0,23) < 0,10.

Je moet daarvoor zelf een cumulatieve kansverdeling maken voor de binomiale toevalsvariabele X met n = 100 en p = 0,23. Dat doe je door deze kansverdeling in te voeren als functie in het Y= scherm en dan de tabel van die functie (stapgrootte 1) in beeld te brengen. In de twee figuren hieronder zie je hoe dat er uit ziet. De gezochte grenswaarde is kennelijk g = 13.

Kanshistogrammen, verwachting en standaarddeviatie

 Bij een binomiale kansverdeling kun je een kanshistogram maken. Je laat dan de grafische rekenmachine een lijst met kansen maken. Stel bijvoorbeeld dat je een kanshistogram wilt maken bij een binomiale verdeling met n = 100 en p = 0,23. Dat kun je zo doen: Oefen jezelf door zo een paar kanshistogrammen bij de binomiale verdeling te maken. Cumulatieve kanshistogrammen lukken ook.

Centrum en spreiding van een kanshistogram

Als je een kansverdeling als lijst in de TI-83 hebt ingevoerd (zie de voorgaande tekst), dan kun je eenvoudig een maat voor het centrum van de verdeling en een maat voor de spreiding van de verdeling vinden. Om deze centrum- en spreidingsmaten in één keer in beeld te krijgen, ga je zo te werk: Doe dit met de binomiale kansverdeling uit de voorgaande tekst. In het plaatje zie je het eindresultaat. De verwachting is dus 23 en de standaarddeviatie in ongeveer 4,21.

De normale kansverdeling

 Als een toevalsvariabele X normaal is verdeeld met een gemiddelde van μX = 100 en een standaardafwijking van σX = 6, dan kun je de volgende kansen berekenen met de TI83: Loop al deze berekeningen zelf na!

Bij een normale kansverdeling kun je op de TI-83 de te berekenen kansen als oppervlakte onder de normaalkromme in beeld brengen. Daartoe gebruik je het menu DISTR.

Stel je voor dat je de volgende kans wilt berekenen en in beeld brengen als oppervlakte onder de normale verdeling:

P(95 < X < 102 | μX = 100 en σX = 6) ≈ 0,4282...

Je voorziet eerst je grafiekenscherm van de goede instellingen, bijvoorbeeld X laat je tussen 80 en 120 lopen en Y (dat zijn de waarden bij de normaalkromme) tussen –0,1 en 0,2. Zorg dat er geen functies meer zijn ingevoerd, anders krijg je daarvan misschien ook nog de grafieken in beeld. Vervolgens toets je:

De figuur hiernaast komt dan in beeld.

Met [2nd] [PRGM] 1: ClrDraw [ENTER] gaat een figuur weer weg.

Grenswaarden bij normale kansverdelingen

Terugrekenen vanuit gegeven kansen bij de normale verdeling kan ook gemakkelijk met de TI-83. Je wilt dan bij een normaal verdeelde variabele X bij een gegeven kans de bijbehorende grenswaarde g voor X terugzoeken: Loop ook deze berekeningen zorgvuldig na!

Gemiddelde of standaarddeviatie bij normale kansverdeling berekenen

Als je met kansen te maken hebt bij een normale verdeling, dan werk je altijd met normalcdf.
Je kunt in het Y= scherm de cumulatieve normale verdeling normalcdf invoeren. En dat is handig bij het bepalen van kansen en vooral bij het terugrekenen vanuit een gegeven kans.

Stel je voor dat je de volgende kans wilt berekenen:

P(X < 102 | μX = 100 en σX = 6) ≈ 0,2023...

Je voorziet eerst je grafiekenscherm van de goede instellingen, bijvoorbeeld laat je X lopen tussen 80 en 120 en laat je Y (dat zijn de kansen bij de cumulatieve normaalkromme) tussen –0,1 en 1. Zorg dat er geen functies zijn ingevoerd, anders krijg je daarvan misschien ook nog de grafieken in beeld. Vervolgens toets je:

De figuur hiernaast komt dan in beeld.
Toets je nu [TRACE] dan kun je met de cursor over de grafiek lopen en kansen bepalen. Dat is echter nogal grof. Via het Calc-menu en Value kun je echter de gevraagde kans bepalen: 0,6305...

Op deze manier kun je gemakkelijk terugrekenen vanuit een gegeven kans.
Stel je voor dat je g wilt berekenen als:

P(X < g | μX = 100 en σX = 6) ≈ 0,6

Je voert dan voor Y1 de cumulatieve normaalkromme in (net als hiervoor) en voor Y2 de gegeven kans 0,6. Met behulp van intersect vind je dat g = 101,52...

Verder kun je de standaardafwijking bepalen als bijvoorbeeld:

P(X <102 | μX = 100 en σX = ??) ≈ 0,6

Je gaat dan zo te werk:

Tenslotte kun je het gemiddelde bepalen als bijvoorbeeld:

P(X <102 | μX = ?? en σX = 6) ≈ 0,6

Je gaat dan zo te werk: