Integralen met de TI-83/84

Inhoud

• Integralen benaderen
• Ondersom en bovensom

Neem de functie f(x) = x² en stel je voor dat je de integraal van deze functie over het interval [0,1] wilt weten, dus je wilt berekenen: ∫ 0 1 x 2 dx

Je kunt dan zo te werk gaan:

• Kies bij het CALC-menu 7: Sf(x)dx en [ENTER].
• Je krijgt dan de grafiek te zien en een vraag naar de linkergrens (Lower Limit ?) van het gebied onder de grafiek waarvan je de integraal wilt bepalen. Loop met je cursor naar het gewenste punt, of toets de gewenste x-waarde. Toets vervolgens [ENTER].
• Vervolgens wordt de rechtergrens (Upper Limit ?) gevraagd. Voer de gewenste waarde in en [ENTER].

Met ClrDraw in het DRAW-menu haal je de inkleuring weer weg.

Benader zelf de integraal hierboven. Je vindt als alles goed gaat ongeveer 0,3333... (Wat je natuurlijk net zo eenvoudig door primitiveren had kunnen vinden.)
Oefen jezelf met lastiger functies, met name ook met functies die je moeilijk of niet kunt primitiveren. Bekijk ook nog eens het verschil tussen de oppervlakte tussen de grafiek en de x-as op een bepaald interval en de bijbehorende integraal.

Een andere manier om deze integraal te berekenen is via het MATH-menu:

• Kies [MATH] en dan 9: fnInt( en [ENTER]
• Voer nu achter fnInt( in: [X,T,θ,n] [ ^ ] 2 [ , ] [X,T,θ,n] , 0 , 1 [ ) ] en [ENTER]

De integraal van de grafiek van f(x) = x² op het interval [0,1] kun je benaderen door dit interval in n gelijke deelintervallen te verdelen. Omdat deze functie op dit interval overal stijgend is, is de ondersom gelijk aan

S n ¯ = ∑ k=0 n−1 1 n ⋅ ( k n ) 2

en de bovensom is:

S n ¯ = ∑ k=1 n 1 n ⋅ ( k n ) 2

Het gaat hierbij dus om sommen van de rij t_k met directe formule:

t_k =  1 n ⋅ ( k n ) 2

Voor n worden steeds verschillende getallen gekozen, afhankelijk van het aantal deelintervallen waarin je [0,1] verdeelt. Rijen met directe formules kunnen op meerdere manieren worden ingevoerd. (Zie het practicum 'Rijen met de TI83/84'.)

Voor de ondersom en de bovensom met n = 25 kun je als volgt te werk gaan:

Beschouw de rij als een gewone functie met als domein alleen de getallen 0, 1, 2, 3, 4, ..., 25 en voer het functievoorschrift in: Y1=(1/25)*(X/25)^2
• Stel de TABLE-routine zo in, dat TblStart=0 en DTbl=1 (gebruik TBLSET)
• Bij TABLE, dus [2nd] [GRAPH] vind je nu de termen van de rij
• Bij GRAPH vind je de grafiek van deze rij, helaas als doorgetrokken grafiek

• sum door te toetsen [2nd][STAT] en te keizen MATH 5: sum( [ENTER]
• seq door te toetsen [2nd][STAT] en te kiezen OPS 5: seq( [ENTER]
• de komma als een afzonderlijke toets [ , ]

Je kunt ook in het functievoorschrift voor Y1 de letter N invoeren en vervolgens deze N zelf waarden geven via bijvoorbeeld 25 [STO>] N. Voordeel daarvan is, dat je niet voor elke waarde van N het functievoorschrift hoeft aan te passen.

Denk er om dat deze werkwijze alleen opgaat bij functies die op het hele integratieinterval stijgend zijn of op het hele integratieinterval dalend zijn! Is dit niet het geval dan kun je niet met rijen werken. Oefen het benaderen van integralen met onder- en bovensommen.