PO: Obelisk

Obelisk

Een praktische opdracht voor de tweede fase havo, wiskunde B

Bronnen:	De math4all-site voor formules voor het berekenen van de oppervlakte en de inhoud van piramides. Boeken over bouwwerken van de Oude Egyptenaren
Theorie:	Meetkunde: Inhoud en oppervlakte van lichamen berekenen
Resultaat:	Leesbare uitwerking gemaakt in een tekstverwerker (titelblad downloaden)
Studielast:	8 - 10 uur

Al zo'n 2300 jaar v.Chr. richtte men in Egypte in opdracht van de farao enorme obelisken op ter verering van de zonnegod Re. Op een aantal plaatsen zijn dergelijke obelisken teruggevonden. Een klein aantal staat zelfs nu nog overeind; bijvoorbeeld staat in het tempelcomplex in Luxor nog een obelisk die is uitgehakt en opgericht in opdracht van farao Ramses II.
Een obelisk is een massieve brok graniet, zorgvuldig uitgehouwen in de vorm van een afgeknotte piramide met op zijn top een punt in de vorm van een kleinere piramide (zie afbeelding). De hier afgebeelde obelisk van farao Hatsjepoet staat in de tempel van Karnak en is in totaal 29,56 m hoog. Hij weegt zo'n 320 ton. De top was oorspronkelijk aan alle vier zijden bedekt met een laag zilverhoudend gouderts. De vier zijvlakken waren volledig versierd met hiëroglyfen.

Ga voor deze opdracht uit van een obelisk met een totale hoogte van 30 m. Het grondvlak is een vierkant van 3 m bij 3 m. De vorm van het onderste deel is een (hoge) afgeknotte regelmatige vierzijdige piramide. De 'spits' is een zuiver regelmatige vierzijdige piramide met een grondvlak van 2 m bij 2 m en een hoogte van 4 m.

Bereken het totale gewicht van deze obelisk. Zoek daartoe de soortelijke massa van graniet op.
Bereken de oppervlakte aan zilverhoudend bladgoud die nodig is voor de 'spits'.
Bereken ook de oppervlakte die versierd is met hiëroglyfen.
De Egyptenaren moesten uiteraard ook zelf eerst het gewicht van zo'n obelisk weten, met het oog op het vervoer per schip vanaf de plaats waar de obelisken werden uitgehakt. Zij gebruikten voor de afgeknotte piramide een rekenmethode die wij tegenwoordig zouden beschrijven met de formule:
inhoud = (1/3)·h·(a² + b² + ab)
waarin h de hoogte van de afgeknotte piramide is en a de zijde van het (vierkante) grondvlak en b de zijde van het vierkante bovenvlak is.
Leid zelf deze formule af!
Vertel in een inleiding ook iets over de manier waarop de Egyptenaren dergelijke obelisken bouwden en vervoerden. En geef een berekende schatting van het aantal manuren dat nodig was voor de bouw.

Uitwerking:

Berekening gewicht obelisk (12 punten)
Berekening oppervlakte bladgoud (12 punten)
Berekening oppervlakte versierd met hiëroglyfen (12 punten)
Afleiden formule voor de inhoud van een afgeknotte piramide (12 punten)
Berekening benodigde manuren. (12 punten)

Math4all