Complexe functies

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe Getallen > Complexe functies > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe Getallen > Complexe functies > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

  1. In de Uitleg, pagina 1 wordt de complexe functie `f` met `f(z) = z + 3 + 2text(i)` bekeken.
    1. Bereken `f(-1), f(2-text(i)), f(2+3text(i))` en `f(3text(i))`. Bekijk in de applet hoe die functiewaarden ontstaan uit de gegeven z-waarden.
    2. Als `D_(f) = [0,2] xx [-1,3]` wat is dan `B_f`? Ga met de applet na, dat elk punt in het domein van `f` een functiewaarde heeft in het bereik van `f`.
    3. Als `D_(f)` bestaat uit alle waarden van `z` met `|z| <= 2`, wat is dan `B_f`?
    4. Hoe ontstaat `f(z) = z + a + b text(i)` uit `z`?

  2. In de Uitleg, pagina 2 wordt de complexe functie `g` met `g(z) = (1 + text(i))*z` bekeken.
    1. Bereken `g(-i), g(2-text(i)), g(2+3text(i))` en `g(3text(i))`. Bekijk in de applet hoe die functiewaarden ontstaan uit de gegeven z-waarden.
    2. Als `D_(g) = [0,2] xx [-1,3]` wat is dan `B_g`? (Je kunt het bereik nu niet op dezelfde wijze beschrijven als het domein, maar je kunt het wel omschrijven.) Ga met de applet na, dat elk punt in het domein van `g` een functiewaarde heeft in het bereik van `g`.
    3. Als `D_g` bestaat uit alle waarden van `z` met `|z| <= 2`, wat is dan `B_g`?
    4. Als `D_g` bestaat uit alle waarden van `z` met `|z| <= 2` en `0 =< text(arg)(z) =< 0,5pi`, wat is dan `B_g`?
    5. Hoe ontstaat `g(z) = (a + b text(i))*z` uit `z`?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe Getallen > Complexe functies > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. In Voorbeeld 1 zie je hoe bij de functie `f` met `f(z) = (1 + text(i))z + 3 + 2text(i)` en een gegeven domein het bereik wordt bepaald.
    1. Neem nu als domein `D_(f) = [0,2] xx [-1,3]`. Welke draaivermenigvuldiging en welke verschuiving moet je toepassen om het bereik te krijgen? Teken `B_f`.
    2. Bereken `f(-text(i)), f(2-text(i)), f(2+3text(i))` en `f(3text(i))`. Laat zien dat deze functiewaarden inderdaad de hoekpunten van `B_f` zijn.

  2. Gegeven is de lineaire complexe functie `g` met `g(z) = 2text(i)z + 3 - text(i)`. Neem als domein alle complexe getallen waarvoor `|z| <= 3` en `0 <= text(arg)(z) <= 0,5pi`.
    1. Bereken `g(0), g(3)` en `g(3text(i))`.
    2. Teken het bijbehorende bereik.
    3. Met welke draaivermenigvuldiging en welke verschuiving kan het bereik ontstaan uit het gegeven domein?

  3. In Voorbeeld 2 zie je hoe je bij `f(z) = z^2` bij een gegeven domein het bereik bepaalt.
    1. Welke drie complexe getallen vormen de "hoekpunten" van het gegeven domein?
    2. Laat door berekening zien dat de functiewaarden bij die drie complexe getallen de "hoekpunten" van het bereik vormen.
    3. Neem nu als domein alle complexe getallen `z = 2 + b text(i)` met `|b| <= 2`. Beschrijf het bijbehorende bereik.

  4. In Voorbeeld 3 zie je hoe je bij `f(z) = 1/z` bij een gegeven domein het bereik bepaalt. De complexe getallen `z = 0, z = 2` en `z = 2text(i)` vormen de "hoekpunten" van het gegeven domein.
    1. Bereken `f(2)` en `f(2text(i))`.
    2. Welke moeilijkheid doet zich voor bij het berekenen van `f(0)`?
    3. Beschrijf het bereik op dezelfde manier als het gegeven domein.
    4. Neem nu als domein alle complexe getallen `z = 2 + btext(i)` met `|b| <= 2`. Schets het bijbehorende bereik.

Verwerken

  1. Gegeven is de complexe functie `f` met `f(z) = 2text(i)z + 1 - text(i)`.
    1. Bereken `f(0), f(3), f(2text(i))` en `f(3 + 2text(i))`.
    2. Neem als domein `D_(f) = [0,3] xx [0,2]` en teken het bijpassende bereik.
    3. Door middel van welke afbeeldingen ontstaat dit bereik uit het gegeven domein?
    4. Toon aan dat bij elk complexe getal `z = x + text(i)y` in dit domein een functiewaarde `f(z)` hoort die in het bijpassende bereik ligt.

  2. Neem als domein alle complexe getallen `z = x + text(i)y` met `|x| <= 3` en `|y| <= 3`. Teken bij elk van de volgende complexe functies het bijpassende bereik.
    1. `f(z)=2text(i)z`
    2. `g(z)=z+1-2text(i)`
    3. `h(z)=(2+2text(i))z-1`
    4. `k(z)=z/(1+text(i))`

  3. De functie `f` met `f(z) = z^3` heeft als domein alle complexe getallen waarvoor `|z| <= 2` en `0,25pi <= text(arg)(z) <= 0,75pi`.
    1. Teken het bijbehorende bereik.
    2. Beredeneer dat alle complexe getallen die liggen op een lijn door de oorsprong `O` van het complexe vlak functiewaarden hebben die ook op een lijn door `O` liggen.
    3. Hoe zit dat met de functiewaarden van complexe getallen die op een lijn liggen die niet door `O` gaat?

  4. De functie `f` met `f(z) = sqrt(z)` heeft als domein alle complexe getallen waarvoor `|z| <= 2` en `-0,5pi <= text(arg)(z) <= 0,5pi`.
    1. Bereken `f(2text(i))` en `f(-2text(i))`.
    2. Teken het bijbehorende bereik.

  5. De functie `f` met `f(z) = (1 + text(i))z + 2text(i)` heeft als domein een vierkant met een oppervlakte van 25. Hoe groot is de oppervlakte van het bijpassende bereik?

Testen

  1. Gegeven is de complexe functie `f` met `f(z) = (1 - text(i)sqrt(3))z - text(i)`.
    1. Bereken `f(0), f(2), f(3text(i))` en `f(2 + 3text(i))`.
    2. Neem als domein `D_(f) = [-2,2] xx [-3,3]` en beschrijf het bijpassende bereik.
    3. Door middel van welke afbeeldingen ontstaat dit bereik uit het gegeven domein?
    4. Voor welke waarde van `z` geldt: `f(z) = z`?

  2. De functie `f` heeft als domein alle complexe getallen waarvoor `|z| <= 3` en `-0,25pi <= text(arg)(z) <= 0,25pi`. Teken het bijpassende bereik als
    1. `f(z)=z^2`
    2. `f(z)=(3+4text(i))z`
    3. `f(z)=0,5text(i)z+3-text(i)`