Vergelijkingen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe Getallen > Vergelijkingen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe Getallen > Vergelijkingen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. In Voorbeeld 1 zie je hoe je de vergelijking `z^3 = -1` wordt opgelost door gebruik te maken van `z = r*text(e)^(text(i)phi)`.
    1. Los op dezelfde manier op `z^3 = 1`.
    2. Los op dezelfde manier op `z^4 = -1`.

  2. In Voorbeeld 2 zie je hoe je kwadratische vergelijkingen oplost met de `abc`-formule. Je maakt dan ook gebruik van `text(i)^2 = -1`.
    1. Leg uit waarom `sqrt(-16)=4text(i)`.
    2. Laat zien hoe je de twee oplossingen vindt.
    3. Los nu zelf op: `z^2 + 5z + 10 =0`.

  3. In Voorbeeld 3 kun je zien hoe je de vergelijking `(z + 1 – text(i))^6 = –text(i)` oplost.
    1. Voer zelf die oplossing uit.
    2. Bepaal nu de zes complexe oplossingen van deze vergelijking.
    3. Controleer je antwoorden door invullen in de gegeven vergelijking.

  4. Bij het oplossen van vergelijkingen waarin complexe getallen voorkomen gebruik je vaak al bekende oplossingstechnieken.
    1. Los op: `2z + 5text(i) = 3text(i)z - 4`.
    2. Los op: `(z+1)/(z-text(i))=2`.
    3. Los op: `3/z = 2text(i)`.

Verwerken

  1. Los de volgende vergelijkingen exact op in `CC`.
    1. `z^3=text(i)`
    2. `z^4=-16`
    3. `z^2=-text(i)`
    4. `z^3=-27text(i)`
    5. `z^4=-8+8text(i)sqrt(3)`
    6. `text(i)z^2=0,5`

  2. Los de volgende vergelijkingen op in `CC`. Geef waar nodig benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
    1. `(z - text(i))^4 = 1`
    2. `3z^2 + z + 3 = 0`
    3. `z^2 = 8 + 6text(i)`
    4. `(z + 1 - 2text(i))^3 = -2sqrt(3)+2text(i)`
    5. `2z^2 + 4text(i)z=1`
    6. `z^8 + 15z^4 - 16 = 0`

  3. Los de volgende vergelijkingen exact op in `CC`.
    1. `3z + 2text(i) = 4text(i)z`
    2. `(z - 1)^2 = 2text(i)`
    3. `z^6 = -27`
    4. `(z + 4text(i))(z - 4text(i)) = 16`

  4. Los op `z^2=text(i)^text(i)`.

  5. De formule van Cardano

    Vergelijkingen van de vorm `x^3 + px = q` kun je oplossen met de formule van Cardano. Bekijk deze formule en de afleiding ervan via

    www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe Getallen > Totaalbeeld > Achtergronden

    1. Schrijf zelf deze afleiding volledig uit.
    2. Bepaal hiermee een reële oplossing van de vergelijking `x^3 + 6x = 20`.
    3. Hoe kun je nu de twee complexe oplossingen vinden? Bepaal ze.
    4. Bereken nu alle oplossingen van `x^3 + 5x^2 + 5x + 4 = 0`.
    5. Los op in `CC`: `3x^3 + 11x^2 + 32x - 12 = 0`.

Testen

  1. Los de volgende vergelijkingen op in `CC`. (Benaderingen in twee decimalen.)
    1. `(z - text(i))^3 = text(i)`
    2. `z^2 = 1/(3 - 4text(i))`
    3. `z^6 = 64text(i)`
    4. `text(i)z + 2 = 5 - 2/z`