De formule van Euler

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe Getallen > De formule van Euler > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe Getallen > De formule van Euler > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

1. Bekijk in de Uitleg de formule van Euler: `text(e)^(text(i)phi) = cos(phi) + text(i)*sin(phi)`. Een bewijs van deze formule is door Euler gegeven, maar valt buiten het bestek van dit onderwerp.
   1. Waarom is er in de uitleg nog geen sprake van een echt bewijs van deze formule?
   2. Leg uit dat deze formule betekent dat je elk complex getal kunt schrijven als `z = r*text(e)^(text(i)phi)`
   3. Schrijf `z = 2 + 2text(i)` in de vorm `z = r*text(e)^(text(i)phi)`.


2. Neem het complexe getal `z_1 = 1 - text(i)`.
   1. Schrijf het complexe getal in de vorm `z_1 = r*text(e)^(text(i)phi)`.
   Neem het complexe getal `z_2 = -1 + text(i)`.
   2. Schrijf dit complexe getal in de vorm `z_2 = r*text(e)^(text(i)phi)`.
   3. Bereken `z_1*z_2` met behulp van de schrijfwijze uit a. en b.
   4. Bereken `z_1*z_2 = (1-text(i))(-1+text(i))`.
   5. Laat zien dat beide antwoorden uit c. en d. overeen komen.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe Getallen > De formule van Euler > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In de applet in de Theorie, pagina 1 staat `z = 3cos(1) + text(i)*3 sin(1)` ingesteld. Je kunt `r` en `phi` veranderen.
   1. Hoe ziet dit complexe getal er in de vorm `z = r*text(e)^(text(i)phi)` uit?
   2. Stel `z = 2text(e)^(3text(i))` in. Bereken (in drie decimalen nauwkeurig) hoe dit complexe getal er in de vorm `x + text(i)y` uit ziet.


4. In Voorbeeld 1 zie je hoe je `z = 3 + 4text(i)` in de vorm `r*text(e)^(text(i)phi)` zet.
   1. Maak `z` met de applet.
   2. Controleer dat de waarden voor `r` en `phi` overeen stemmen met de berekende waarden.
   3. Schrijf `barz` in de vorm `r*text(e)^(text(i)phi)`?.


5. Neem nu `z = -4 + 2text(i)`.
   1. Maak `z` met de applet en lees `|z|` en `text(arg)(z)` uit de applet af.
   2. Bepaal `|z|` en `text(arg)(z)` ook door berekening.
   3. Schrijf `z` in de vorm `r*text(e)^(text(i)phi)`.
   4. Oefen het schrijven van complexe getallen in de poolvoorstelling met deze applet.


6. Je kent de vermenigvuldigregel voor complexe getallen. In Voorbeeld 2 zie je hoe vermenigvuldigen en delen gaat als je complexe getallen in de vorm `r*e^(iphi)` schrijft.
   1. Voer de berekeningen in dit voorbeeld zelf uit.
   2. Oefen dit met de applet voor meerdere complexe getallen.
   3. Bewijs de regels voor vermenigvuldigen en delen van complexe getallen door ze in de vorm `r*text(e)^(text(i)phi)` te schrijven.


7. In Voorbeeld 3 kun je zien hoe je met behulp van de formule van Euler de macht van een complex getal met de hand berekent.
   1. Loop zelf de berekening in het voorbeeld na.
   2. Bereken `(1 + text(i))^5` op de manier van het voorbeeld.
   3. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.
   4. De stelling van De Moivre kun je gemakkelijk bewijzen vanuit de formule van Euler. Laat zien hoe.


8. In Voorbeeld 4 kun je zien hoe je met behulp van de formule van Euler wortels en negatieve machten van een complex getal met de hand berekent.
   1. Loop zelf de berekeningen in het voorbeeld na.
   2. De stelling van De Moivre is met behulp van de formule van Euler uit te breiden tot willekeurige reële waarden van `n`. Licht dit toe.

Verwerken

9. Schrijf de volgende complexe getallen in de vorm `r*text(e)^(text(i)phi)`.
   1. `2`
   2. `text(i)`
   3. `3text(i)`
   4. `1-text(i)`
   5. `-1+text(i)`
   6. `-2-2text(i)`


10. Gegeven is `z = (1 + text(i))(0,5sqrt(3) + 0,5text(i))`. Bereken `z` door gebruik te maken van de formule van Euler.
    


11. Schrijf deze complexe getallen in de vorm `z = x + text(i)y`. `z_1=2text(e)^(0,5text(i)); z_2=text(e)^text(i); z_3=2sqrt(3)text(e)^(5/6 pi text(i)); z_4=text(e)^(3pi text(i)); z_5=text(e)^(2pi text(i))`
    


12. 1. Bereken `(2 - 2text(i))^5` met behulp van de formule van Euler.
    2. Bereken `(2 - 3text(i))^5` met behulp van de formule van Euler.


13. Bereken met behulp van de formule van Euler: `z_1 = 2/(1+text(i))^4` en `z_2=root3(8-8text(i))`.
    


14. Je kent nu de formule van Euler: `text(e)^(text(i)phi) = cos(phi) + text(i)*sin(phi)`.
    1. Laat zien, dat `text(e)^(-text(i)phi) = cos(phi) - text(i)*sin(phi)`.
    2. Toon nu aan dat `cos(phi) = 0,5(text(e)^(text(i)phi) + text(e)^(-text(i)phi)).
    3. Leid een vergelijkbare formule af voor `sin(phi)`.

Testen

15. Bereken `z` met behulp van de formule van Euler.
    1. `z=text(i)(3-5text(i))`
    2. `z=1/(3-5text(i))`
    3. `z=(2-text(i))^5 (3+3text(i))^2`
    4. `z=(1+text(i))^2/(sqrt(3)-text(i))`