Modulus en argument

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe Getallen > Modulus en argument > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe Getallen > Modulus en argument > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

  1. Bekijk in de Uitleg hoe je een complex getal kunt schrijven als: `z=r*cos(phi)+text(i)*rsin(phi)`. Hierin is `phi` de hoek die de bijbehorende vector met de positieve `x`-as maakt en `r` de lengte van die vector. Neem nu `z = 2 + 2text(i)`.
    1. Bepaal `r` en `phi = text(arg)(z)`.
    2. Waarom zijn er meerdere waarden voor `phi` mogelijk?
    3. Wat is `text(Arg)(z)`?
    4. Schrijf `z = 2 + 2text(i)` in de vorm `z = r*cos(phi) + text(i)*r*sin(phi)`.

  2. Neem het complexe getal `z_1 = 1 - 2text(i)`.
    1. Bepaal `phi = text(arg)(z_1)` in radialen en in twee decimalen nauwkeurig.
    2. Schrijf het complexe getal in de vorm `z_1 = r*cos(phi) + text(i)*r*sin(phi)`.
    Neem het complexe getal `z_2 = -1 + 2text(i)`.
    1. Als je `phi = text(arg)(z_2)` bepaalt met `tan(phi) = - 2/1`, krijg je niet meteen de goede hoek. Hoe komt dat?
    2. Schrijf dit complexe getal in de vorm `z_2 = r*cos(phi) + text(i)*r*sin(phi)`.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe Getallen > Modulus en argument > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. In de applet in de Theorie, pagina 1 staat `z = 3*cos(1) + text(i)*3sin(1)` ingesteld. Je kunt `r` en `phi` veranderen. `r = |z|` is de modulus van `z` en `phi = text(arg)(z)` is het argument van `z`.
    1. Hoe ziet dit complexe getal er in de vorm `z = x + text(i)y` uit?
    2. Welke waarden voor `r` en `phi` moet je instellen om `z = 3 + 2text(i)` te krijgen? Geef met de applet benaderingen in één decimaal nauwkeurig. Bereken juiste waarden in drie decimalen nauwkeurig.
    3. Welke waarden voor `r` en `phi` moet je instellen om `z = 3 - 2text(i)` te krijgen? Geef met de applet benaderingen in één decimaal nauwkeurig. Bereken juiste waarden in drie decimalen nauwkeurig.
    4. Welke waarden voor `r` en `phi` moet je instellen om `z = -3 + 2text(i)` te krijgen? Geef met de applet benaderingen in één decimaal nauwkeurig. Bereken juiste waarden in drie decimalen nauwkeurig.
    5. Welke waarden voor `r` en `phi` moet je instellen om `z = -3 - 2text(i)` te krijgen? Geef met de applet benaderingen in één decimaal nauwkeurig. Bereken juiste waarden in drie decimalen nauwkeurig.

  2. In Voorbeeld 1 zie je hoe je modulus en argument bepaalt van `z = 3 + 4text(i)`.
    1. Maak `z` met de applet. Lees `|z|` en `text(arg)(z)` uit de applet af.
    2. Controleer dat deze waarden overeen stemmen met de berekende waarden.
    3. Schrijf `z = 3 + 4text(i)` in de poolvoorstelling.
    4. Schrijf `barz` in de poolvoorstelling.

  3. Neem nu `z = -4 + 2text(i)`.
    1. Maak `z` met de applet en lees `|z|` en `text(arg)(z)` uit de applet af.
    2. Bepaal `|z|` en `text(arg)(z)` ook door berekening.
    3. Schrijf `z` in de poolvoorstelling.
    4. Oefen het schrijven van complexe getallen in de poolvoorstelling met deze applet.

  4. Bekijk eerst in de Theorie, pagina 2 de vermenigvuldigregel voor complexe getallen. In de applet zie je een voorbeeld van het vermenigvuldigen van `z_1` en `z_2`. Beide complexe getallen zijn in de poolvoorstelling gegeven.
    1. Schrijf `z_1` en `z_2` in de poolvoorstelling op.
    2. Schrijf nu ook `z_1*z_2` in de poolvoorstelling en controleer de vermenigvuldigregel.
    3. Hoe zien beide complexe getallen er in de vorm `x + text(i)y` uit?
    4. Bereken nu `z_1*z_2` met behulp van je antwoorden bij c.
    5. Laat zien dat de antwoorden bij b. en d. met elkaar in overeenstemming zijn.
    6. Oefen dit met de applet voor meerdere complexe getallen. In Voorbeeld 2 zie je nog eens hoe dit rekentechnisch moet.

  5. In de Theorie, pagina 2 vind je ook de stelling van De Moivre. Hij volgt uit de vermenigvuldigregel voor complexe getallen. Neem `z = 1,5 + 2text(i)`.
    1. Bereken `z^2`.
    2. Schrijf nu zowel `z` als `z^2` in de poolvoorstelling. Controleer dat `|z^2| = |z|^2` en `text(arg)(z^2) = 2*text(arg)(z)`.
    3. Leg nu uit waarom de stelling van De Moivre voor `n = 2` uit de vermenigvuldigregel voor complexe getallen volgt.
    4. Doe het voorgaande ook met `z^3` en leg uit waarom de stelling van De Moivre voor `n = 3` uit de vermenigvuldigregel voor complexe getallen volgt.
    5. Waarom geldt `text(arg)(z^n) = n*text(arg)(z) + k*2pi`?
    6. Waarom volgt hieruit de stelling van De Moivre voor gehele waarden van `n`?

  6. In Voorbeeld 3 kun je zien hoe je met behulp van de stelling van De Moivre de macht van een complex getal met de hand berekent.
    1. Loop zelf de berekening in het voorbeeld na.
    2. Bereken `(1 + text(i))^5` op de manier van het voorbeeld.
    3. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.

Verwerken

LET OP! Het is de bedoeling dat je de volgende opgaven handmatig doet. Gebruik de grafische rekenmachine alleen als controlemiddel!

  1. Bepaal modulus, argument en de hoofdwaarde van het argument van de volgende complexe getallen. Schrijf ze vervolgens in de poolvoorstelling.
    1. `1`
    2. `2`
    3. `1+text(i)`
    4. `text(i)`
    5. `-3text(i)`
    6. `-1+text(i)`
    7. `1-text(i)`
    8. `1/2 + 1/2 text(i)sqrt(3)`

  2. Gegeven is `z = (1 + text(i))(0,5sqrt(3)+0,5text(i))`. Bereken exact: `text(Re)(z), text(Im)(z), |z|, text(arg)(z)` en `text(Arg)(z)`.

  3. Toon aan, dat `text(Re)(z) <= |z|` voor elk complex getal `z`.

  4. Gegeven `z_1 = -2 + 1,5text(i)` en `z_2 = 4 - 3text(i)`. Laat zien dat voor deze twee complexe getallen de vermenigvuldigregel geldt.

    1. Bereken `(2 - 2text(i))^5` met behulp van de stelling van De Moivre.
    2. Bereken `(2 - 3text(i))^5` met behulp van de stelling van De Moivre.
    3. Wat is het nadeel van het gebruik van deze stelling?

  6. De geconjugeerde van z
    Onder het toegevoegde complexe getal van een complex getal `z = x + text(i)y` versta je het complexe getal `barz = x - text(i)y`. Je noemt `barz` ook wel de geconjugeerde van `z`.
    1. Toon aan, dat `zbarz=|z|^2`
    2. Bewijs: `bar(z_1+z_2)=bar(z_1)+bar(z_2)`
    3. Bewijs: `bar(z_1*z_2)=bar(z_1)*bar(z_2)`
    4. Bewijs dat `z = barz` alleen geldig is als `z` reëel is, maar dan ook altijd waar is.

  7. De driehoeksongelijkheid
    Je weet vast wel, dat in een driehoek elke zijde korter is dan de som van de lengtes van de twee andere zijden. In de vlakke meetkunde heet dit de driehoeksongelijkheid. Toon behulp van deze ongelijkheid aan, dat: `|z_1 +- z_2|<=|z_1| + |z_2|`.

  8. Punten in het complexe vlak
    Je kunt een complex getal ook voorstellen als een punt in het complexe vlak. Teken daarin alle complexe getallen z waarvoor geldt:
    1. `|z| = 5`
    2. `|z - 2| = 2`
    3. `|z - text(i)| = 2`
    4. `|z - text(i)| = |z + 1|`

  9. Bewijs van de vermenigvuldigregel voor complexe getallen
    Bewijs de vermenigvuldigregel voor complexe getallen door gebruik te maken van poolvoorstellingen van beide complexe getallen en formules voor `sin(phi_1 + phi_2)` en `cos(phi_1 + phi_2)` toe te passen.

  10. Dat complexe getallen kunnen worden gedeeld heb je al gezien. Net als bij vermenigvuldiging kun je eenvoudige regels afleiden voor het gedrag van modulus en argument daarbij: `|z_1/z_2|=|z_1|/|z_2|` en `text(arg)(z_1/z_2)=text(arg)(z_1)-text(arg)(z_2)`
    1. Neem `z_1=1+text(i)sqrt(3)` en `z_2=1-text(i)` en bereken `z_1/z_2`. Laat in een tekening zien dat de beide regels opgaan.
    2. Bewijs de regel voor het delen van complexe getallen.

Testen

  1. Bereken modulus en argument van
    1. `z = text(i)(3 - 5text(i))`
    2. `z = 1/(3-5text(i))`
    3. `z = (2 - text(i))^5(3 + 3text(i))^2`
    4. `z = (1+text(i))^2/(sqrt(3)-text(i))`

  2. Vat een complex getal op als een punt in een xy-vlak. Teken de complexe getallen die voldoen aan:
    1. `|z + text(i)| = 3`
    2. `|z + barz| < 2`