Het complexe vlak

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe getallen > Het complexe vlak > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe getallen > Het complexe vlak > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

  1. Bekijk de Uitleg. De afspraak `text(i)^2 = -1` maakt het mogelijk om uit negatieve getallen wortel te trekken.
    1. Bereken `sqrt(-25)`.
    2. Welke oplossingen heeft de vergelijking `x^2 = -25`?
    3. Wat zijn de oplossingen van `(x - 2)^2 = -4`?
    4. Welke oplossingen heeft `x^2 + 4x + 3 = 0`.
    5. Welke oplossingen heeft `x^2 + 4x + 30 = 0`.

  2. Een complex getal heeft de vorm `z = x + text(i)y`. Maar je kunt het ook voorstellen door een vector `(x,y)` vanuit de oorsprong van een `xy`-assenstelsel.
    1. Teken de volgende complexe getallen als vectoren: `z_1 = text(i), z_2 = 2 + 3text(i), z_3 = -3 + text(i), z_4 = -3, z_5 = 1 - 4text(i)` en `z_6 = -2text(i)`
    2. Waar zitten de gewone reële getallen in dit assenstelsel?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Complexe getallen > Het complexe vlak > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Geef in één figuur het complexe getal `z = x + text(i)y` en `text(Re)(z)` en `text(Im)(z)` en `barz` weer. Bekijk eventueel nog even enkele complexe getallen met de applet in de Theorie.

  2. In Voorbeeld 1 zie je hoe twee complexe getallen worden opgeteld. Het aftrekken van twee complexe getallen is gebaseerd op `z_1 - z_2 = z_1 + -z_2`. Hierin is `-z_2` het tegenovergestelde van `z_2`.
    1. Neem `z_1 = 1 - 2text(i)` en `z_2 = 3 + text(i)`. Maak met de applet `z_1 + z_2`. Welk complex getal is `z_1 + z_2`?
    2. Neem weer `z_1 = 1 - 2text(i)` en `z_2 = 3 + text(i)`. Maak met de applet `z_1 - z_2`. Welk complex getal is `z_1 - z_2`?
    3. Oefen het optellen en aftrekken van complexe getallen met de applet.

  3. In Voorbeeld 2 kun je zien hoe je twee complexe getallen vermenigvuldigt. Een voorstelling met vectoren is daar (nog) niet bij gemaakt.
    1. Loop zelf de berekening in het voorbeeld na.
    2. Neem `z_1 = 1 - 2text(i)` en `z_2 = 3 + i`. Bereken `z_1*z_2`.
    3. Bepaal `text(Re)(z_1*z_2)` en `text(Im)(z_1*z_2)`.

  4. In Voorbeeld 3 kun je zien hoe je twee complexe getallen deelt. Een voorstelling met vectoren is daar (nog) niet bij gemaakt.
    1. Loop zelf de berekening in het voorbeeld na.
    2. Neem `z_1 = 1 - 2text(i)` en `z_2 = 3 + text(i)`. Bereken `z_1/z_2`.
    3. Bepaal `text(Re)(z_1/z_2)` en `text(Im)(z_1/z_2)`.

  5. Bereken `(2 + 2text(i))^3`.

  6. Je grafische rekenmachine kan waarschijnlijk ook met complexe getallen rekenen. Bekijk in het Practicum hoe dat op de TI-83/84 gaat. Controleer de antwoorden van de opgaven 4 t/m 7 met de GR.

Verwerken

LET OP! Het is de bedoeling dat je de volgende opgaven handmatig doet. Gebruik de grafische rekenmachine alleen als controlemiddel!

  1. Gegeven zijn de complexe getallen `z_1 = 2 + 2text(i)` en `z_2 = 3 - 4text(i)`. Bereken:
    1. `z_1 + z_2`
    2. `3z_1`
    3. `2z_1 - z_2`
    4. `z_1*z_2`
    5. `text(i)*z_1`
    6. `z_1/z_2`

  2. Het optellen van twee complexe getallen kun je met vectoren zichtbaar maken. Gebruik de twee complexe getallen uit de voorgaande opgave.
    1. Laat zien dat de vector die hoort bij `z_1 + z_2` inderdaad de resultante van de vectoren bij `z_1` en `z_2` voorstelt.
    2. Controleer dit ook voor `z_1 - z_2`.
    3. Construeer met behulp van vectoren `2z_1 - z_2`.

  3. Als je een complex getal vermenigvuldigt met `text(i)` dan gebeurt er meetkundig iets bijzonders.
    1. Neem het complexe getal `z = 3`. Teken zowel `z` als `text(i)*z`. Welke verband is er tussen beide vectoren?
    2. Neem het complexe getal `z = 3 + text(i)`. Teken zowel `z` als `text(i)*z`. Bestaat hetzelfde verband tussen beide vectoren?
    3. Doe dit tenslotte nog eens in het algemeen. Neem `z = x + text(i)y`. Welk verband bestaat er in het algemeen tussen de vectoren die horen bij `z` en `text(i)z`?
    4. Past de regel `text(i)^2 = -1` ook in dit verband? Leg uit.

  4. Bereken `text(Re)(z)` en `text(Im)(z)` in de volgende gevallen:
    1. `z = 2 + 3text(i) - (5 + 4text(i))`
    2. `z = (2 + text(i))(3 - 2text(i))`
    3. `z = 2 + 3text(i)(2 - 5text(i))^2`
    4. `z = (3 + 4text(i))(3 - 4text(i))`
    5. `z = 6 + 4text(i) - (1 + text(i))^2 - (2 + 3text(i))text(i)`
    6. `z = (3+2text(i))/(5+3text(i))`

  5. Bepaal de oplossingen van de vergelijkingen:
    1. `(z - 2)^2 = -8`
    2. `2(z - text(i))^2 + 8 = 0`
    3. `12 + z^2 = 4`
    4. `5z + 2 = 3z + 4text(i)`
    5. `5z + 2 = 3text(i)z + 4text(i)`

  6. Bereken het reële en het imaginaire deel van `(2 - 3text(i))^5`.

  7. Ga uit van de twee complexe getallen `z_1 = a + b text(i)` en `z_2 = c + d text(i)`. Leid nu algemene rekenregels af voor de som, het verschil, het product en het quotiënt van twee complexe getallen.

Testen

  1. Gegeven de complexe getallen `z_1 = -3 + 4text(i)` en `z_2 = 4 - text(i)`.
    1. Construeer en bereken `z_1 + z_2` en `z_1 - z_2`.
    2. Construeer en bereken `z_1 + 2z_2`.
    3. Bereken `z_1*z_2`.
    4. Bereken `z_1*z_2`.

  2. Bereken `text(Re)(z)` en `text(Im)(z)` als
    1. `z = i(3 - 5text(i))`
    2. `z = 1/(3-5text(i))`
    3. `z = (4 - text(i))^2(3 + 3text(i))`
    4. `z=(1+text(i))^2/(sqrt(3)-text(i))`

  3. Los de volgende vergelijkingen op:
    1. `(z + text(i))^2 = -16`
    2. `2text(i)z - 5 = 3z + 2text(i)`