Totaalbeeld

Antwoorden bij de opgaven

    1. Zie figuur.
    2. Buiten het hele diagram. De uitkomst is geen reëel getal. Met dergelijke getallen leer je later nog werken, zie "Complexe getallen".
    1. `13464 = 2^3 * 3^2 * 11 * 17` en `46035 = 3^3 * 5 * 11 * 31`.
      GGD(13464,46035) = 99 en KGV(13464,46035) = 6260760.
    1. `5/41 = 0,ul(12195)`.
    2. `538461/999999`
    1. Nee, het product van twee irrationale getallen kan rationaal zijn: `sqrt(2) * sqrt(8) = sqrt(16) = 4`.
    2. Neem aan `sqrt(6) = p/q` met `p` en `q` zo klein mogelijk. Dit geeft `(p^2)/(q^2) = 6` en dus `p^2 = 6q^2` dus moet `p^2` een zesvoud zijn. Dit kan alleen als `p` zelf dat is en dan moet `p = 6a`. En dus is dan `(6a)^2 = 6q^2` en dus `q^2 = 6a^2` zodat ook `q^2` en dus `q` een zesvoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.
    1. `7 + 2 sqrt(6)`
    2. `6 + sqrt(6)`
    3. `-2/5 + 1/10 sqrt(6)`
  6. Neem aan 5`log(7) = p/q` met `p` en `q` zo klein mogelijke gehele getallen. Dit geeft `7 = 5^(p/q)` en dus `7^q = 5^p`. Dit kan kan niet als `p` en `q` gehele getallen zijn en dat is in tegenspraak met de aanname.
  7. De stelling klopt voor `n=1`: `1 + 3 = 1/2 (3^2 - 1)`.
    Neem aan dat de stelling klopt voor `n`, dan geldt voor `n+1`: `1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^n + 3^(n+1) = 1/2 * (3^(n + 1) - 1) + 3^(n+1) = 3/2 * 3^(n+1) - 1/2 = 1/2 (3 * 3^(n+1) - 1) = 1/2 (3^(n+2) - 1)`.
    Dit betekent dat de stelling klopt voor `n+1` als hij voor `n` klopt.
    Q.e.d.
    1. `60 = 2^2 * 3 * 5` en `72 = 2^3 * 3^2`.
      Dus GGD`(60,72) = 2^2 * 3 = 12`.
    2. `72 = 1 * 60 + 12` dus GGD(72,60) = GGD(60,12).
      `60 = 5 * 12 + 0` dus GGD(60,12) = 12.
      Dus GGD`(60,72) = 12`.
    3. De veelvouden van 12.
    4. GGD`(p,q) = 1` voor elke `p` en `q` die priem zijn.
    1. 24, 36, 48, etc., maar ook `-12, -24`, etc.
    2. Omdat je de veelvouden van 12 moet weglaten en daan steeds 3 overhoudt.
    3. `4 + k * 12`
    4. `1314 -= 6`(mod.12) en `967 -= 7`(mod.12).
      Ga nu op beide manieren na, dat 1314 + 967 (mod.12) `-=` 1(mod.12).
      Ga ook op beide manieren na, dat `1314 * 967` (mod.12) `-=` 6(mod.12).
    5. `a + k * m +- b + l * m = a +- b + (k+l) * m`.
      `(a + k * m) * (b + l * m) = a * b + (al + bk + klm) * m`.
    6. `x -= 9`(mod.12)
    7. `x -= 9`(mod.12)
      Je kunt dit met je rekenmachine vinden door de tabel van `(3 + k*12)/7` te bekijken en te zoeken naar een gehele uitkomst. Die vind je bij `k = 5` en de uitkomst is daar 9.
    8. De tabel van `(3 + k*12)/2` heeft geen gehele uitkomsten, dus deze vergelijking is onoplosbaar.
    9. ASCII: 87 73 83 75 85 78 68 69 wordt 11 37 60 61 84 00 74 86
    10. Bij het terugrekenen moet je telkens 12x + 34 = code(mod.97) oplossen door naar de tabel van `(text(code) - 34 + k * 97)/12` te kijken en de eerste gehele uitkomst te zoeken.
    1. `48 = 43 + 5` en `76 = 71 + 5`
    2. Er zijn oneindig veel getallen.
    3. Bijvoorbeeld het abc-vermoeden heeft een eigen Nederlandstalige website. Op de pagina Wikipedia: Wiskundig vermoeden van de Nederlandstalige Wikipedia vind je een lijstje met een aantal vermoedens.