Dominoprincipe

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Dominoprincipe > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Dominoprincipe > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.``

Opgaven

1. In de Uitleg wordt het dominoprincipe gebruikt om een stelling over natuurlijke getallen te bewijzen.
   1. Wat wordt in dit verband bedoeld met het dominoprincipe?
   2. In welke situaties kun je dit dominoprincipe in een bewijs gebruiken?
   3. Laat zien, dat 1 + 2 + 3 + ... + n + n + 1 = $\frac{1}{2}$(n + 1)(n + 2)
      volgt uit 1 + 2 + 3 + ... + n = $\frac{1}{2}$n(n + 1).
   4. Ga na, dat uit de bewezen formule volgt `1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 5050`.


2. Je kunt de stelling `1 + 2 + 3 + ... + n - 1 + n = 1/2 n (n + 1)` ook wel anders bewijzen.
   Zet `1 + 2 + 3 + ... + n - 1 + n` en `n + n - 1 + ... + 3 + 2 + 1` maar eens onder elkaar en tel ze op.
   Hoe gaat het bewijs dan verder?
   

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Dominoprincipe > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. Uit "Merkwaardige en interessante raadsels en puzzels" van David Wells:
   
   

   Ene Ibn Kallikan (omstreeks 1256) heeft het verhaal van Sissa ben Dahir opgetekend. Voor de uitvinding van het schaakspel vroeg Sissa aan de Indiase koning Shirham de hoeveelheid graan die verzameld zou worden als men op het eerste veld van het schaakbord één graankorrel zou leggen, op het tweede het dubbele aantal, op het derde weer het dubbele tot en met het 64e veld. De koning zei:"'En is dat alles wat je hebben wilt, Sissa, jij dwaas? Je krijgt het meteen mee!". Maar Sissa zei: "Vergis u niet, dit zijn in totaal 18.446.744.073.709.551.615 graankorrels. Genoeg om heel India met een laag graan van 1 voet dikte te bedekken!"

   
   
   1. Hoeveel graankorrels liggen er op de eerste vier vakjes van het schaakbord samen? Laat zien dat `1 + 2 + 4 + 8 = 2^4 - 1`.
   2. Laat zien dat voor het aantal graankorrels op de eerste vijf vakjes samen geldt: `1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 2^5 - 1`.
   3. Het aantal graankorrels op de eerst vijf vakjes kun je ook afleiden door bij het totaal van de graankorrels op de eerste vier vakjes nog `2^4` op te tellen. Laat zien dat `2^4 - 1 + 2^4 = 2^5 - 1`.
   In Voorbeeld 1 wordt met behulp van volledige inductie bewezen dat `1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1`.
   4. Voer zelf dit bewijs uit.
   5. Voor welke waarde van `n` gaat deze stelling over het verhaal van Sissa? Klopt het aantal graankorrels dat hij noemde?


4. Je ziet hier een drietal beweringen:
   • `1 + 1/2 = 2 - 1/2`
   • `1 + 1/2 + 1/4 = 2 - 1/4`
   • `1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 2 - 1/8`
   Je kunt er regelmaat in ontdekken.
   1. Ga na dat de beweringen hierboven correct zijn.
   2. Hoe zou de volgende bewering in deze serie luiden?
   3. Formuleer een algemene regel en bewijs die regel met behulp van volledige inductie.


5. In Voorbeeld 2 wordt het principe van volledige inductie toegepast op een meetkundig probleem.
   1. Laat met behulp van één of meer tekeningen zien dat de stelling geldt voor `n = 2`.
   2. Laat met behulp van één of meer tekeningen zien dat de stelling geldt voor `n = 3`.
   3. Waarom is het nodig dat er geen drie lijnen door één punt gaan?
   4. Voeg aan je figuur (of figuren) een vierde lijn toe. Hoeveel vlakdelen komen er dan bij?
   5. Waarom komen er bij de `(n+1)`de lijn `n+1` vlakdelen bij?
   6. Loop nu zelf het bewijs van de stelling na.


6. Teken je op een cirkel `n` punten op gelijke afstanden van elkaar, dan zijn dat hoekpunten van een regelmatige `n`-hoek. Het gaat om het aantal lichaamsdiagonalen van zo'n regelmatige `n`-hoek.
   1. Neem `n = 3`. Hoeveel diagonalen zijn er?
   2. Neem `n = 4`. Hoeveel diagonalen zijn er nu?
   3. Neem `n = 5`. Hoeveel diagonalen zijn er in dit geval?
   4. Laat zien dat het aantal diagonalen bij `n = 6` gelijk is aan `1/2 * 6 * 5 - 6`.
   5. Bewijs met behulp van de dominopricipe dat het aantal diagonalen bij `n` gelijk is aan `1/2 * n * (n - 1) - n`.

Verwerken

7. Je ziet hier een drietal beweringen:
   • `1 - 1/2 = 1/2`
   • `(1 - 1/2)(1 - 1/3) = 1/3`
   • `(1 - 1/2)(1 - 1/3)(1 - 1/4) = 1/4`
   Je kunt er regelmaat in ontdekken.
   1. Ga na dat de beweringen hierboven correct zijn.
   2. Hoe zou de volgende bewering in deze serie luiden?
   3. Formuleer een algemene regel en bewijs die regel met behulp van volledige inductie.


8. Bewijs met volledige inductie dat `1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2 = 1/6 n(n + 1)(2n + 1)`.
   


9. Bewijs met behulp van volledige inductie dat `n^2 + n` een even getal is voor alle `n in NN`.
   


10. Uit de Griekse Oudheid stamt de stelling:
    
    

    Als je een lijnstuk van lengte 1 gegeven hebt, kun je met een passer en een liniaal een lijnstuk met een lengte `sqrt(n)` met `n` een natuurlijk getal construeren.

    
    
    1. Laat zien dat dit waar is voor `n = 2`. (Denk er om dat je alleen liniaal en passer gebruikt, geen gradenboog!)
    2. Laat zien, dat uit het lijnstuk met lengte 1 en dat met lengte `sqrt(2)` een lijnstuk met lengte `sqrt(3)` is te construeren.
    3. Bewijs nu de stelling.

Testen

11. Bewijs met volledige inductie dat `1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ... + n^3 = 1/4 n^2(n + 1)^2`.
    


12. Bewijs met behulp van het dominoprincipe dat de som van de hoeken van een `n`-hoek met hoeken kleiner dan 180° gelijk is aan `(n - 2) * 180`. Waarom is het nodig dat alle hoeken kleiner dan 180° zijn?