Reële getallen

Inleiding

De rationale getallen zijn gesloten voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, want de som, het verschil, het product en het quotiënt van twee rationale getallen is telkens weer een rational getal. Je zou zeggen: goed geregeld zo.
Maar ja, de stelling van Pythagoras gooide al meer dan twee eeuwen geleden roet in het eten.
De hypothenusa (schuine zijde) van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 1 heeft een lengte van c = $\sqrt{2}$ en... dat is geen rationaal getal.

Je leert nu:

het begrip reëel getal kennen;
bewijzen dat veel wortels geen rationale getallen zijn;
de beperkingen van de reële getallen kennen.

Je kunt al:

rekenen met getallen in het tientallig stelsel;
haakjes uitwerken en ontbinden in factoren;
verschillende soorten bewijzen herkennen.

Verkennen

Bekijk de figuur en de tekst van de inleiding hierboven. Je kunt het getal $\sqrt{2}$ benaderen. Je doet dit bijvoorbeeld door inklemmen: 1,5 is te groot omdat 1,5² = 2,25 en 1,4 is te klein omdat 1,4² = 1,96 en 1,45 is weer te groot omdat 1,45² = 2,1025.
Hoe vaker je dit herhaalt, hoe dichter je bij de uitkomst van $\sqrt{2}$ komt.

> Laat zien dat de hypothenusa (schuine zijde) van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 1 heeft een lengte van c = $\sqrt{2}$ .
> Benader op deze manier $\sqrt{2}$ tot op 10 decimalen nauwkeurig.
> Kom je zo ooit precies op $\sqrt{2}$ uit?

Uitleg

De hypothenusa (schuine zijde) van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 1 heeft een lengte van $\sqrt{2}$ .
Je kunt het getal $\sqrt{2}$ benaderen. Dit deden de Babyloniërs in de Oudheid op de volgende manier: Je wilt een vierkant maken met een oppervlakte 2. Begin met een rechthoek met oppervlakte 2. Met een zijde van bijvoorbeeld 1,5 moet de andere zijde van 2 / 1,5 = 1,333... zijn. Van beide getallen neem je het gemiddelde, ongeveer 1,41667. Met dit getal reken je verder. Dit gebruik je nu als lengte van de éne zijde, de andere zijde is net zoals bij de eerste poging 2 / 1,41667. Het gemiddelde van deze twee getallen is 1,41422, etc.
Op deze manier vond men de waarde van $\sqrt{2}$ in wel 10 decimalen nauwkeurig.

Maar omdat er geen herhaling van decimalen optrad ontstond het vermoeden dat $\sqrt{2}$ geen rationaal getal is, dus niet als breuk is te schrijven.
Het blijkt een getal te zijn dat wel construeerbaar is als lengte, maar niet exact meetbaar! En inderdaad werd al in de Oudheid het bewijs geleverd dat $\sqrt{2}$ inderdaad geen rationaal getal is, maar een irrationaal getal.
De rationale en de irrationale getallen vormen samen de reële getallen.
Behalve veel wortels blijkt ook π een irrationaal getal te zijn.

‡

Opgaven

In de Uitleg wordt het getal `sqrt(2)` nader bekeken.
1. Waarom kan de waarde die je rekenmachine voor dit getal opgeeft nooit echt correct zijn?
2. Maar waarom weet je op grond hiervan nog steeds niet zeker dat `sqrt(2)` geen rationaal getal kan zijn?
3. En hoe zit dat met bijvoorbeeld `sqrt(3)`? En met `sqrt(4)`?
4. Wanneer is de wortel uit een getal in ieder geval een rationaal getal?

Je kunt met behulp van je rekenmachine wel meer (verborgen) decimalen van wortels te zien krijgen.
Verzin een manier om dit te doen en bepaal `sqrt(2)` in dertien decimalen nauwkeurig.
Treedt er herhaling van de decimalen op?

Theorie

Het getal $\sqrt{2}$ is niet als breuk te schrijven en daarom geen rationaal getal, maar een irrationaal getal.
Het bewijs van deze stelling vind je via

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Reële getallen > Theorie

Ditzelfde geldt voor veel wortels: ze zijn wel construeerbaar is als lengte in een rechthoekige driehoek, maar niet exact meetbaar! Het zijn dan irrationale getallen.
Uitzonderingen zijn eigenlijk alleen de wortels uit kwadraten van gehele getallen en uit breuken waarvan teller en noemer beide een kwadraat van een geheel getal zijn. Dit zijn wel rationale getallen.
Behalve veel wortels blijkt ook π een irrationaal getal te zijn.
De rationale en de irrationale getallen vormen samen de reële getallen.
De verzameling van alle reële getallen geef je aan met $ℝ$ .

Omdat je veel wortels alleen kunt benaderen (en benaderen niet altijd wenselijk is) is het nuttig om zo lang mogelijk met wortelvormen te blijven rekenen.

‡

Voorbeeld 1

Hier zie je hoe wortelvormen in de vorm a + b $\sqrt{2}$ kunnen worden geschreven.

3 + 5 $\sqrt{2}$ + $\sqrt{8}$ = 3 + 5 $\sqrt{2}$ + $\sqrt{4 \cdot 2}$ = 3 + 5 $\sqrt{2}$ + 2 $\sqrt{2}$ = 3 + 7 $\sqrt{2}$

(2 – $\sqrt{2}$ )² = 4 – 4 $\sqrt{2}$ + 2 = 6 – 4 $\sqrt{2}$

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ + $\sqrt{18}$ = $\sqrt{\frac{1}{4} \cdot 2}$ + $\sqrt{9 \cdot 2}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ + 3 $\sqrt{2}$ = 3,5 $\sqrt{2}$

$\frac{3}{2 + \sqrt{2}}$ = $\frac{3}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ = $\frac{6 - 3 \sqrt{2}}{4 - 2}$ = 3 – 1,5 $\sqrt{2}$

‡

Voorbeeld 2

Bewijs dat de som van een rationaal en een irrationaal getal een irrationaal getal is.

Antwoord

Laat a een rationaal en b een irrationaal getal zijn.
Neem vervolgens aan dat de stelling NIET waar is.
Dan is s = a + b dus een rationaal getal.

Bekijk nu b = s – a.
Zowel s als a is rationaal, dus ook s – a is rationaal (dat is bewezen in Voorbeeld 1 van 12: Rationale getallen). Maar daardoor ontstaat een tegenspraak, want b moet irrationaal zijn.

De aanname dat de stelling niet waar is leidt tot een tegenspraak.
De stelling is daarom waar.
Q.e.d.

‡

Voorbeeld 3

Via

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Reële getallen > Voorbeeld 3

Hier zie je een methode om de wortel uit een getal met de hand te berekenen.
De gebruikte techniek is gebaseerd op:
(a + b)² – a² = (2a + b)b
Het verdelen van het getal in groepjes van twee (vanaf de komma) is nodig omdat het kwadraat van een tiental een honderdtal, van een honderdtal een tienduizendtal is, enzovoorts.
Bedenk verder zelf maar eens hoe deze techniek precies kan worden verklaard. Probeer hem bovendien maar eens uit en ontdek hoe je zelf 'slimmer' bent dan je rekenmachine!

‡

Opgaven

In de Theorie wordt gesproken over een bewijs dat `sqrt(2)` geen rationaal getal is. Zoek dat bewijs op een bestudeer het.
1. In dit bewijs staat: Dus p² moet deelbaar zijn door 2. Dit kan alleen als p deelbaar is door 2.
  Waarom is dat zo? Heb je dit al eerder bewezen?
2. Van wat voor type bewijs is hier sprake?
3. Formuleer een vergelijkbaar bewijs voor de irrationaliteit van `sqrt(3)`.
4. Stel je wilt de irrationaliteit van `sqrt(4)` op dezelfde manier bewijzen. Wat gaat er dan fout?

Bekijk in Voorbeeld 1 hoe je allerlei uitdrukkingen kunt schrijven in de vorm `a + b sqrt(2)`.
Dit is erg handig in situatisch waarin je met exacte waarden wilt of moet blijven werken. Het gaat ook met andere wortelvormen. Schrijf de volgende wortelvormen in de vorm `a + b sqrt(3)`.
1. `2 sqrt(3) + sqrt(48) + 6 sqrt(27)`
2. `(3 + sqrt3))^2`
3. `sqrt(1/3) - sqrt(1/27)`
4. `(6 - 2 sqrt(3))(6 + 2 sqrt(3))`
5. `12/(6 - 2 sqrt(3))`
6. `sqrt(243) - 2 sqrt(27) + sqrt(81)`

In Voorbeeld 2 zie je het bewijs dat de som van een rationaal getal en een irrationaal getal irrationaal is.
Bewijs, of weerleg met behulp van een tegenvoobeeld:
1. De som van twee irrationale getallen is irrationaal.
2. Het product van een irrationaal getal en een rationaal getal ongelijk aan 0 is irrationaal.

Voorbeeld 3 geeft je de echte grip op wortels. Het is eigenlijk een bijzonder moment: je bent niet meer afhankelijk van een rekenmachine om wortels uit te rekenen in zoveel decimalen als je wilt.
1. Bereken met de hand `sqrt(2)` in tien decimalen nauwkeurig.
2. En nu weet je ook meteen `sqrt(200)` in negen decimalen nauwkeurig. Leg uit waarom.
3. Leg uit hoe de berekening van wortels met de hand precies in zijn werk gaat. Licht toe hoe het `(a + b)^2 - a^2 = (2a + b)b` daarbij een rol speelt en hoe je aan deze uitdrukking komt.

Uit de Wikipedia van mei 2011:

Willem Klein (Amsterdam, 4 december 1912 - Amsterdam, 1 augustus 1986) was een rekenwonder met de artiestennaam Willy Wortel. Soms gebruikte hij ook de namen Pascal of Moos Optel. Hij kreeg verschillende vermeldingen in het Guinness Book of Records.
In de periode 1952-1954 was hij wetenschappelijk rekenaar bij het Mathematisch Centrum. Vanaf 1958 was hij een paar jaar wetenschappelijk rekenaar bij het CERN. Kleins fascinatie voor getallen en rekenen begon al vroeg; op de lagere school kende hij alle vermenigvuldigingen van getallen van twee cijfers uit zijn hoofd, evenals de kwadraten van alle getallen onder de duizend. Toen hij tien jaar oud was, kon hij getallen van vier cijfers uit zijn hoofd in factoren ontleden.
Nadat hij het diploma gymnasium in 1932 had gehaald, was hij het liefst meteen het artiestenvak in gegaan met zijn vaardigheden, maar zijn vader wilde dat hij een "echt" beroep koos. Hij schreef zich daarom in aan de Universiteit van Amsterdam voor de studie geneeskunde. In de Tweede Wereldoorlog moest hij onderduiken. Zijn tweelingbroer Leo werd tijdens een razzia opgepakt en kwam om. Na de oorlog maakte Klein zijn studie niet af maar ging doen wat hij altijd al had gewild: de planken op met zijn vaardigheden.
Naast zijn variété acts had hij ook "reguliere" beroepen. Zo was hij enige tijd werkzaam bij het Mathematisch Centrum in Amsterdam; later werd hij wetenschappelijk rekenaar bij het CERN in Genève. In 1954 trad hij op op het World Congress of Mathematicians in Amsterdam.
Kleins kunsten bestonden uit het uit zijn hoofd vermenigvuldigen en machtsverheffen van grote getallen, het ontbinden van zeer grote getallen in factoren, en vooral het worteltrekken (vandaar ook zijn artiestennaam Willy Wortel). Zo kon hij binnen 1 minuut uit zijn hoofd de wortel trekken uit een getal van 216 (tweehonderdzestien!) cijfers.
Op 1 augustus 1986 werd Willem Klein dood in zijn woning in Amsterdam aangetroffen. Hij was door messteken om het leven gebracht. De moord is nooit opgelost.

Bereken `sqrt(178929)` zonder rekenmachine.
Bereken `sqrt(152399025)` zonder rekenmachine.
Geef een benadering in tien decimalen van `sqrt(123456789)`.

Verwerken

Bewijs dat `sqrt(7)` een irrationaal getal is.

Schrijf de volgende wortelvormen in de vorm `a + b sqrt(7)`.
1. `2 sqrt(112) - sqrt(28) + 6 sqrt(49)`
2. `(7 - 2sqrt7))^2`
3. `sqrt(28) - 8sqrt(1/7)`
4. `(8 - 2 sqrt(7))(8 + 2 sqrt(7))`
5. `14/(7 - sqrt(7))`
6. `sqrt(252) - 2 sqrt(112) + sqrt(2401)`

Bewijs de irrationaliteit van `root(3)(2)`.

Bewijs of weerleg (bijvoorbeeld met een tegenvoorbeeld):
1. Het quotiënt van twee irrationale getallen is irrationaal.
2. Het quotiënt van een irrationaal getal en een rationaal getal is irrationaal.

Bereken de volgende wortels:
1. `sqrt(13)` in tien decimalen nauwkeurig.
2. `sqrt(4281346624)` exact en met de hand.

Testen

Bewijs dat `sqrt(5)` een irrationaal getal is.

Schrijf de volgende wortelvormen in de vorm `a + b sqrt(5)`.
1. `2 sqrt(20) - sqrt(45) + 6 sqrt(180)`
2. `(5 - 2sqrt20))^2`
3. `sqrt(500) - 10sqrt(1/5)`
4. `(10 + 2 sqrt(5))(10 - 2 sqrt(5))`
5. `100/(5 - sqrt(5))`
6. `sqrt(4500) + 5 sqrt(2500) - sqrt(2000)`

Tussen twee willekeurige rationale getallen liggen oneindig veel rationale getallen. Maar hoeveel irrationale getallen liggen er tussen? Geef een irrationaal getal tussen (je moet laten zien dat het getal tussen beide gegeven getallen in ligt en irrationaal is):
1. 1 en 2.
2. 1,123 en 1,124.
3. Twee willekeurige rationale getallen `v` en `w`.