Reële getallen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Reële getallen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Reële getallen > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.``

Opgaven

1. In de Uitleg wordt het getal `sqrt(2)` nader bekeken.
   1. Waarom kan de waarde die je rekenmachine voor dit getal opgeeft nooit echt correct zijn?
   2. Maar waarom weet je op grond hiervan nog steeds niet zeker dat `sqrt(2)` geen rationaal getal kan zijn?
   3. En hoe zit dat met bijvoorbeeld `sqrt(3)`? En met `sqrt(4)`?
   4. Wanneer is de wortel uit een getal in ieder geval een rationaal getal?


2. Je kunt met behulp van je rekenmachine wel meer (verborgen) decimalen van wortels te zien krijgen.
   Verzin een manier om dit te doen en bepaal `sqrt(2)` in dertien decimalen nauwkeurig.
   Treedt er herhaling van de decimalen op?
   

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Reële getallen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In de Theorie wordt gesproken over een bewijs dat `sqrt(2)` geen rationaal getal is. Zoek dat bewijs op een bestudeer het.
   1. In dit bewijs staat: Dus p² moet deelbaar zijn door 2. Dit kan alleen als p deelbaar is door 2.
      Waarom is dat zo? Heb je dit al eerder bewezen?
   2. Van wat voor type bewijs is hier sprake?
   3. Formuleer een vergelijkbaar bewijs voor de irrationaliteit van `sqrt(3)`.
   4. Stel je wilt de irrationaliteit van `sqrt(4)` op dezelfde manier bewijzen. Wat gaat er dan fout?


4. Bekijk in Voorbeeld 1 hoe je allerlei uitdrukkingen kunt schrijven in de vorm `a + b sqrt(2)`.
   Dit is erg handig in situatisch waarin je met exacte waarden wilt of moet blijven werken. Het gaat ook met andere wortelvormen. Schrijf de volgende wortelvormen in de vorm `a + b sqrt(3)`.
   1. `2 sqrt(3) + sqrt(48) + 6 sqrt(27)`
   2. `(3 + sqrt3))^2`
   3. `sqrt(1/3) - sqrt(1/27)`
   4. `(6 - 2 sqrt(3))(6 + 2 sqrt(3))`
   5. `12/(6 - 2 sqrt(3))`
   6. `sqrt(243) - 2 sqrt(27) + sqrt(81)`


5. In Voorbeeld 2 zie je het bewijs dat de som van een rationaal getal en een irrationaal getal irrationaal is.
   Bewijs, of weerleg met behulp van een tegenvoobeeld:
   1. De som van twee irrationale getallen is irrationaal.
   2. Het product van een irrationaal getal en een rationaal getal ongelijk aan 0 is irrationaal.


6. Voorbeeld 3 geeft je de echte grip op wortels. Het is eigenlijk een bijzonder moment: je bent niet meer afhankelijk van een rekenmachine om wortels uit te rekenen in zoveel decimalen als je wilt.
   1. Bereken met de hand `sqrt(2)` in tien decimalen nauwkeurig.
   2. En nu weet je ook meteen `sqrt(200)` in negen decimalen nauwkeurig. Leg uit waarom.
   3. Leg uit hoe de berekening van wortels met de hand precies in zijn werk gaat. Licht toe hoe het `(a + b)^2 - a^2 = (2a + b)b` daarbij een rol speelt en hoe je aan deze uitdrukking komt.


7. Uit de Wikipedia van mei 2011:
   
   

   Willem Klein (Amsterdam, 4 december 1912 - Amsterdam, 1 augustus 1986) was een rekenwonder met de artiestennaam Willy Wortel. Soms gebruikte hij ook de namen Pascal of Moos Optel. Hij kreeg verschillende vermeldingen in het Guinness Book of Records. In de periode 1952-1954 was hij wetenschappelijk rekenaar bij het Mathematisch Centrum. Vanaf 1958 was hij een paar jaar wetenschappelijk rekenaar bij het CERN. Kleins fascinatie voor getallen en rekenen begon al vroeg; op de lagere school kende hij alle vermenigvuldigingen van getallen van twee cijfers uit zijn hoofd, evenals de kwadraten van alle getallen onder de duizend. Toen hij tien jaar oud was, kon hij getallen van vier cijfers uit zijn hoofd in factoren ontleden. Nadat hij het diploma gymnasium in 1932 had gehaald, was hij het liefst meteen het artiestenvak in gegaan met zijn vaardigheden, maar zijn vader wilde dat hij een "echt" beroep koos. Hij schreef zich daarom in aan de Universiteit van Amsterdam voor de studie geneeskunde. In de Tweede Wereldoorlog moest hij onderduiken. Zijn tweelingbroer Leo werd tijdens een razzia opgepakt en kwam om. Na de oorlog maakte Klein zijn studie niet af maar ging doen wat hij altijd al had gewild: de planken op met zijn vaardigheden. Naast zijn variété acts had hij ook "reguliere" beroepen. Zo was hij enige tijd werkzaam bij het Mathematisch Centrum in Amsterdam; later werd hij wetenschappelijk rekenaar bij het CERN in Genève. In 1954 trad hij op op het World Congress of Mathematicians in Amsterdam. Kleins kunsten bestonden uit het uit zijn hoofd vermenigvuldigen en machtsverheffen van grote getallen, het ontbinden van zeer grote getallen in factoren, en vooral het worteltrekken (vandaar ook zijn artiestennaam Willy Wortel). Zo kon hij binnen 1 minuut uit zijn hoofd de wortel trekken uit een getal van 216 (tweehonderdzestien!) cijfers. Op 1 augustus 1986 werd Willem Klein dood in zijn woning in Amsterdam aangetroffen. Hij was door messteken om het leven gebracht. De moord is nooit opgelost.

   
   
   
   1. Bereken `sqrt(178929)` zonder rekenmachine.
   2. Bereken `sqrt(152399025)` zonder rekenmachine.
   3. Geef een benadering in tien decimalen van `sqrt(123456789)`.

Verwerken

8. Bewijs dat `sqrt(7)` een irrationaal getal is.
   


9. Schrijf de volgende wortelvormen in de vorm `a + b sqrt(7)`.
   1. `2 sqrt(112) - sqrt(28) + 6 sqrt(49)`
   2. `(7 - 2sqrt7))^2`
   3. `sqrt(28) - 8sqrt(1/7)`
   4. `(8 - 2 sqrt(7))(8 + 2 sqrt(7))`
   5. `14/(7 - sqrt(7))`
   6. `sqrt(252) - 2 sqrt(112) + sqrt(2401)`


10. Bewijs de irrationaliteit van `root(3)(2)`.
    


11. Bewijs of weerleg (bijvoorbeeld met een tegenvoorbeeld):
    1. Het quotiënt van twee irrationale getallen is irrationaal.
    2. Het quotiënt van een irrationaal getal en een rationaal getal is irrationaal.


12. Bereken de volgende wortels:
    1. `sqrt(13)` in tien decimalen nauwkeurig.
    2. `sqrt(4281346624)` exact en met de hand.

Testen

13. Bewijs dat `sqrt(5)` een irrationaal getal is.
    


14. Schrijf de volgende wortelvormen in de vorm `a + b sqrt(5)`.
    1. `2 sqrt(20) - sqrt(45) + 6 sqrt(180)`
    2. `(5 - 2sqrt20))^2`
    3. `sqrt(500) - 10sqrt(1/5)`
    4. `(10 + 2 sqrt(5))(10 - 2 sqrt(5))`
    5. `100/(5 - sqrt(5))`
    6. `sqrt(4500) + 5 sqrt(2500) - sqrt(2000)`


15. Tussen twee willekeurige rationale getallen liggen oneindig veel rationale getallen. Maar hoeveel irrationale getallen liggen er tussen? Geef een irrationaal getal tussen (je moet laten zien dat het getal tussen beide gegeven getallen in ligt en irrationaal is):
    1. 1 en 2.
    2. 1,123 en 1,124.
    3. Twee willekeurige rationale getallen `v` en `w`.