Reële getallen

Antwoorden bij de opgaven

    1. Ga die waarde maar eens met al zijn decimalen kwadrateren: je komt nooit precies op 2 uit (hoewel rekenmachines vaak wel net doen alsof!).
    2. Misschien gaat er toch periodieke herhaling optreden als je meer decimalen zou kunnen bepalen en dan zou `sqrt(2)` toch rationaal zijn.
    3. `sqrt(3)` geeft dezelfde problemen als `sqrt(2)`, maar `sqrt(4)` is wel een rationaal getal (zelfs een geheel getal).
    4. Als het getal waaruit je de wortel trekt het kwadraat van een rationaal getal is.
  2. Doe eerst gewoon `sqrt(2) ~~ 1,414213562` en doe vervolgens het antwoord min 1. Je krijgt dan de volgende decimaal (een 4). Doe dit antwoord keer 10 en min 4 (het voorste cijfer) en je krijgt weer een decimaal (...4 wordt ...37). Dit weer keer 10 en min het voorste cijfer, etc.
    `sqrt(2) ~~ 1,4142135623731`.
    (Overigens houdt het meestal hierna wel op...)
    Er treedt geen periodieke herhaling van de decimalen op.
    1. Dit heb je bewezen in voorbeeld 1 van het onderdeel "Bewijzen".
    2. Dit is een indirect bewijs, een bewijs uit het ongerijmde.
    3. Neem aan `sqrt(3) = p/q` met `p` en `q` zo klein mogelijk. Dit geeft `(p^2)/(q^2) = 3` en dus `p^2 = 3q^2` dus moet `p^2` een drievoud zijn. Dit kan alleen als `p` zelf dat is en dan moet `p = 3a`. En dus is dan `(3a)^2 = 3q^2` en dus `q^2 = 3a^2` zodat ook `q^2` en dus `q` een drievoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.
    4. Nu moet `p^2` een viervoud zijn en dat is niet alleen zo als `p` een viervoud is (bijvoorbeeld is `6^2 = 36` een viervoud, maar `6` niet).
    1. `24 sqrt(3)`
    2. `12 + 6 sqrt(3)`
    3. `1/4 sqrt(3)`
    4. `24`
    5. `3 + sqrt(3)`
    6. `9 + 3 sqrt(3)`
    1. Klopt niet: `sqrt(2) + -sqrt(2) = 0` en dus rationaal.
    2. Stel dat het product rationaal is. Dan ontstaat de volgende vermenigvuldiging met `x` het irrationale getal, `p/q` het rationale getal en `u/v` het rationale antwoord (met `p, q, u, v` natuurlijke getallen): `p/q * x = u/v` dus `x = (uq)/(vp)`, maar dat is weer rationaal. Dat is in strijd met het gestelde dat `x` irrationaal is. Dus het product van een rationaal en een irrationaal gatal is irrationaal.
    1. `sqrt(2) ~~ 1,4142135624`
    2. `sqrt(200) = 10 sqrt(2)`
    3. Zie voorbeeld 3. Je begint met het verdelen van het getal in eenheden, honderdtallen, tienduizendtallen, etc., voor de komma en honderdsten, tienduizendsten, etc., achter de decimale komma. Dan begin je met de voorste groep (1 of 2 cijfers) en je bepaalt het getal waarvan het kwadraat daar het dichtst onder zit. Je hebt dan het eerste cijfer van je wortel.
      Neem bijvoorbeeld `sqrt(133225) = sqrt(13|32|25)`.
      Er zijn 13 tienduizendtallen, en `3^2 = 9` is het grootste kwadraat onder de 13, dus je wortel begint met 3. (Eigenlijk 300.)
      Nu moet daar zoveel bij worden opgeteld dat je een nieuw kwadraat kunt maken onder de 1332 honderdtallen. Omdat je `4 + 32` honderdtallen over hebt, zoek je een getal `b` waarvoor `(30 + b)^2 - 30^2` kleiner of gelijk 432 blijft. En nu gebruik je dat het verschil van die twee kwadraten gelijk is aan `(2*30 + b)*b`. Dit lukt met 6: `60 + 6 = 66` en `66 * 6 = 396`.
      Je wortel begint met 36. (Eigenlijk dus 360.)
      `432 - 396 = 36` honderdtallen over is met de laatste 25 eenheden samen 3625.
      Nu doe je hetzelfde nog eens: je zoekt een getal `b` waarvoor `(360 + b)^2 - b^2 = (2*360 + b)*b` kleiner of gelijk 3625 blijft. Dit gaat precies goed met `b=5`: `725 * 5 = 3625`. De wortel komt uit: `sqrt(133225) = 365`.
    1. 423
    2. 12345
    3. 11111,111060556
  8. Neem aan `sqrt(7) = p/q` met `p` en `q` zo klein mogelijk. Dit geeft `(p^2)/(q^2) = 7` en dus `p^2 = 7q^2` dus moet `p^2` een zevenvoud zijn. Dit kan alleen als `p` zelf dat is en dan moet `p = 7a`. En dus is dan `(7a)^2 = 7q^2` en dus `q^2 = 7a^2` zodat ook `q^2` en dus `q` een zevenvoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.
    1. `42 + 6 sqrt(7)`
    2. `21 - 28 sqrt(7)`
    3. `6/7 sqrt(7)`
    4. `36`
    5. `7/3 + 1/3 sqrt(7)`
    6. `49 - 2 sqrt(7)`
  10. Neem aan `root(3)(2) = p/q` met `p` en `q` zo klein mogelijk. Dit geeft `(p^3)/(q^3) = 2` en dus `p^3 = 2q^3` dus moet `p^3` een even getal zijn. Dit kan alleen als `p` zelf dat is en dan moet `p = 2a`. En dus is dan `(2a)^3 = 2q^3` en dus `q^3 = 4a^3` zodat ook `q^3` en dus `q` een even getal is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.
    1. Bijvoorbeeld `(sqrt(2))/(sqrt(2)) = 1` en dus rationaal. De bewering klopt niet.
    2. Stel dat het quotiënt rationaal is. Dan ontstaat de volgende deling met `x` het irrationale getal, `p/q` het rationale getal en `u/v` het rationale antwoord (met `p, q, u, v` natuurlijke getallen): `p/q // x = u/v` dus `x = (vp)/(uq)`, maar dat is weer rationaal. Dit is in strijd met het gestelde dat `x` irrationaal is. Dus het quotiënt van een rationaal en een irrationaal gatal is irrationaal.
    1. `sqrt(13) ~~ 3,6055512755`
    2. `sqrt(4281346624) = 65432`
  13. Neem aan `sqrt(5) = p/q` met `p` en `q` zo klein mogelijk. Dit geeft `(p^2)/(q^2) = 5` en dus `p^2 = 5q^2` dus moet `p^2` een vijfvoud zijn. Dit kan alleen als `p` zelf dat is en dan moet `p = 5a`. En dus is dan `(5a)^2 = 5q^2` en dus `q^2 = 5a^2` zodat ook `q^2` en dus `q` een vijfvoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.
    1. `37 sqrt(5)`
    2. `105 - 40 sqrt(5)`
    3. `8 sqrt(5)`
    4. `80`
    5. `50/3 + 10/3 sqrt(5)`
    6. `250 + 10 sqrt(5)`
    1. `1 < sqrt((1^2 + 2^2)/2) < 2` en `sqrt((1^2 + 2^2)/2) = sqrt(2,5)` is irrationaal.
    2. `1,123 < sqrt((1,123^2 + 1,124^2)/2) < 1,124`.
    3. `v < sqrt((v^2 + w^2)/2) < w`.