Bewijzen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Bewijzen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Bewijzen > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

Opgaven

1. Bekijk de stelling die in de Uitleg wordt geformuleerd. Er is ook een heel ander bewijs van deze stelling mogelijk.
   1. Ontbind `a^2 - 1` in factoren.
   2. Leg uit waarom beide factoren even getallen zijn.
   3. Leg uit waarom één van die twee factoren een viervoud is.
   4. Bewijs hiermee de stelling.



Bekijk het getal x = 1. Vat de vorige uitdrukking op als vergelijking. Trek aan beide zijden x2 af. Je krijgt: x – x2 = 1 – x2. Ontbinden: x(1 – x) = (1 + x)(1 – x). Beide zijden delen door (1 – x) geeft x = 1 + x. Omdat x = 1 wordt dit 1 = 1 + 1 = 2.

2. Je ziet hiernaast een "bewijs", namelijk het bewijs dat 1 = 2.
   Waar zit de fout in de redenering?
   


3. Als `n * m` oneven is, dan zijn zowel `n` als `m` oneven.
   Onderzoek of dit waar is en zo ja, probeer dan een bewijs te vinden.
   

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Bewijzen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

4. In Voorbeeld 1 wordt de gelijkwaardigheid bewezen van `a^2` is even en `a` is even.
   1. Over welke twee stellingen heb je het dan?
   2. Bewijs nu zelf: `a^2` is oneven `hArr` `a` is oneven.
   3. Bewijs de juistheid, of toon met een tegenvoorbeeld de onjuistheid aan van de bewering: `a^2` is drievoud `hArr` `a` is drievoud.


5. Bekijk het bewijs in Voorbeeld 2. Als een getal deelbaar is door 12, dat is het ook deelbaar door 3 en deelbaar door 4.
   1. Bewijs dat dit waar is.
   2. Formuleer het omgekeerde van deze stelling en bewijs dat die ook waar is.
   3. Formuleer deze stelling en zijn omgekeerde als één stelling.
   Als een getal deelbaar is door 12, dan is het ook deelbaar door 2 en door 6.
   4. Bewijs dat dit waar is.
   5. Formuleer het omgekeerde van deze stelling en bewijs dat die stelling niet waar is.
   6. Kun je een algemene stelling formuleren en bewijzen?


6. In Voorbeeld 3 zie je het bewijs van Euklides dat er oneindig veel priemgetallen zijn.
   1. Waarom is hier sprake van een "bewijs uit het ongerijmde"?
   2. Bewijs dat elk niet priem getal is te schrijven als het product van priemgetallen. Zie ook opgave 8 van het onderdeel "Gehele getallen".


7. De volgende bewering ligt nogal voor de hand: "Als er 10 duiven in 9 duivenhokken zitten, is er minstens één duivenhok met 2 duiven."
   1. Bewijs de bovenstaande stelling indirect.
   2. Formuleer de stelling algemener. Hij staat bekend als het duivenhokkenprincipe.
   3. Bewijs: Kies je uit de getallen 1, 2, ..., 10 er zes, dan zijn er zeker twee getallen bij die 11 als som hebben.
   4. In een zaal bevinden zich 50 mensen. Ze kennen allemaal wel één of meer van de anderen in de zaal, maar hoeveel precies is onbekend. Bewijs dat er twee mensen in de zaal zijn, die hetzelfde aantal kennissen in de zaal hebben.


8. Lees na wat wordt verstaan onder de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen in

   www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Totaalbeeld > Toepassingen

   Je kunt de GGD van twee getallen berekenen door ze in priemfactoren te ontbinden.
   1. Bereken GGD(140,504).
   2. Bereken GGD(143,2541).
   3. Hoeveel is GGD(`a,0`)?
   4. Hoeveel bedraagt de GGD van twee priemgetallen?
   Een andere manier om de GGD van twee getallen `a` en `b` te vinden is het algoritme van Euklides. Lees na wat hieronder wordt verstaan.
   5. Bewijs dat uit `a - q * b = r` volgt dat GGD(`a,b`) = GGD(`b,r`).
   6. Bereken nu op deze manier GGD(140,504).
   7. Bereken met behulp van het algoritme van Euklides GGD(143,2541).
   8. Een kangoeroe hopt over de getallenlijn. Hij start in 0 en kan naar links en naar rechts springen. Zijn sprongen hebben een lengte van 39 of 220. Toon aan dat hij het getal 1 kan bereiken en bepaal ook hoe.

Verwerken

9. Bewijs dat `(n^3 - n)^2` voor elk natuurlijk getal `n` deelbaar is door 9.
   


10. Je wilt bewijzen dat `n^5 - n` voor elk natuurlijk getal `n` deelbaar is door 30.
    1. Toon aan dat van elke drie opeenvolgende natuurlijke getallen er altijd ééntje even is en een andere een drievoud is.
    2. Bewijs nu de bewering hierboven.


11. Wat is er fout in de volgende redenering?
    
    

    Je weet dat n2 = n · n = n + n + ... + n (n keer n optellen). Als f(n) = n2, dan is f'(n) = 2n. Maar f(n) = n + n + ... + n (n keer n optellen) en heeft dus als afgeleide f'(n) = 1 + 1 + ... + 1 (n keer 1 optellen). In het eerste geval is f'(1) = 2 en in het tweede getal is f'(1) = 1.

    
    


12. Onder het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (KGV) van twee getallen `a` en `b` versta je het kleinste getal dat deelbaar is door zowel `a` als `b`. Je kun het KGV van twee getallen berekenen door ze in priemfactoren te ontbinden.
    1. Hoeveel bedraagt KGV(5,7)? En KGV(10,15)?
    2. Bereken KGV(140,504)
    3. Hoeveel bedraagt de KGV van twee priemgetallen `p` en `q`?
    4. Bewijs dat KGV(`a,b`) = `(a * b)/(text(GGD)(a,b))`.

Testen

13. Bewijs of toon de onjuistheid aan van de bewering: `a` is oneven `hArr` `a^3` is oneven.
    


14. Gegeven zijn de getallen 33 en 91.
    1. Bereken de GGD van beide getallen.
    2. Bereken de KGV van beide getallen.
    3. Een kangoeroe springt vanuit 0 over de getallenlijn met sprongen van 33 of 91 naar links of naar rechts. Bepaal hoe deze kangoeroe op 1 kan uitkomen.


15. Bewijs dat een geheel getal deelbaar is door 3 als de som van zijn cijfers deelbaar is door 3.