Rationale getallen

Inleiding

Je leert nu:

• de rationale getallen kennen;
• nagaan dat som, verschil, product en quotiënt van twee breuken weer een breuk vormen;
• rationale getallen schrijven als decimale getallen.

Je kunt al:

• rekenen met getallen in het tientallig stelsel;
• haakjes uitwerken en ontbinden in factoren.

Verkennen

Rekenen met breuken kun je waarschijnlijk wel, of heeft de rekenmachine alle vaardigheid vernietigd?

> Bereken de som, het verschil, het product en het quotiënt van $\frac{279}{13}$ en $\frac{98}{17}$.
> Schrijf $\frac{279}{13}$ als decimaal getal.

Uitleg

Verdeel je 279 euro met 13 personen, dan deel je 279 door 13.
Dat levert de breuk $\frac{279}{13}$ op.
Je kunt nu m.b.v. een staartdeling nagaan of dit een geheel getal oplevert of niet:

279 / 13 = 20 + 1 + ...
260
  19
  13
    6

Je ziet dat de deling niet uitkomt: $\frac{279}{13}$ = 21 + $\frac{6}{13}$.
Hoewel je een plusteken niet mag weglaten schrijf je dit als 21$\frac{6}{13}$.

Sinds de invoering van het tientallig stelsel kun je de staartdeling voortzetten m.b.v. de stambreuken $\frac{1}{10}$ = 0,1; $\frac{1}{100}$ = 0,01; etc.
Je vindt dan: 21$\frac{6}{13}$ = 21,461538461538461538461538461538461538...
Er vindt (bij elke breuk) herhaling van decimalen plaats: 21$\frac{6}{13}$ = 21,461538.

Alle getallen die je als breuk kunt schrijven noem je rationale getallen ("ratio" betekent "verhouding"), ze vormen de verzameling $\mathbb{Q}$. Omdat je elk geheel getal als breuk kunt schrijven zijn de gehele getallen een deelverzameling van de rationale getallen: $\mathbb{Z}$ $\subset$ $\mathbb{Q}$.

‡

Opgaven

1. Bekijk de Uitleg. Je wilt 51 door 7 delen.
   1. Welke breuk krijg je dan? Schrijf die breuk ook met de gehelen afzonderlijk.
   2. Schrijf deze breuk als decimaal getal met behulp van een staartdeling.
   3. Is `51/7` een rationaal getal?
   4. Zijn er nog andere getallen dan rationale getallen? Geef voorbeelden en leg uit waarom ze niet rationaal zijn.


2. De exacte oplossing van de vergelijking `73x = 41` is `x = 41/73`. Deze oplossing is in concrete toepassingen niet altijd handig.
   1. Schrijf `41/73` als decimaal getal.
   2. Wat is de twintigste decimaal van `41/73`?
   3. En welk cijfer staat er op de tweehonderdste plaats achter de komma?

Theorie

Alle getallen die je als breuk kunt schrijven noem je rationale getallen ("ratio" betekent "verhouding"), ze vormen de verzameling $\mathbb{Q}$ = { $\frac{p}{q}$ | p $\in$ $\mathbb{Z}$ en q $\in$ $\mathbb{Z}$ en q ≠ 0}.
Omdat je elk geheel getal als breuk kunt schrijven zijn de gehele getallen een deelverzameling van de rationale getallen: $\mathbb{Z}$ $\subset$ $\mathbb{Q}$.

Kenmerkend voor de rationale getallen is dat de som, het verschil, het product en het quotiënt van twee rationale getallen altijd weer een rationaal getal is. (Voor de gehele getallen geldt dit niet, immers bij delen krijg je niet altijd weer een geheel getal.)

Met behulp van een staartdeling kun je van een rationaal getal een decimaal getal maken. Er zijn dan twee mogelijkheden:

• De staartdeling komt op 0 uit, dus het getal heeft een eindig aantal decimalen.
  Bijvoorbeeld: $\frac{1}{5}$ = 0,2 en $\frac{3}{8}$ = 0,375.
• De staartdeling komt nooit op 0 uit, dus het getal heeft een oneindig aantal decimalen. Er treedt dan altijd herhaling van decimalen op.
  Bijvoorbeeld: $\frac{1}{9}$ = 0,11111111... = 0,1 en $\frac{6}{13}$ = 0,461538.

Dat er (als de deling niet op 0 uitkomt) altijd herhaling optreedt bij delen door q is duidelijk als je bedenkt dat er vanaf zeker moment niet meer dan q verschillende resten kunnen zijn bij de staartdeling.

‡

Voorbeeld 1

Kenmerkend voor de rationale getallen is dat de som, het verschil, het product en het quotiënt van twee rationale getallen altijd weer een rationaal getal is.
Toon dit aan.

Antwoord

Kies twee rationale getallen $\frac{a}{b}$ en $\frac{c}{d}$ (a ≠ 0 en b ≠ 0).
Dan is:

• $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$
• $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{bc}{bd}=\frac{ad-bc}{bd}$
• $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=a\cdot \frac{1}{b}\cdot c\cdot \frac{1}{d}=ac\cdot \frac{1}{bd}=\frac{ac}{bd}$
• $\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}/\frac{bc}{bd}=ad/bc=\frac{ad}{bc}$

Je ziet dat je in alle gevallen opnieuw een rationaal getal krijgt. Immers de som, het verschil en het product van twee gehele getallen is weer een geheel getal. (Dat moet je natuurlijk wel eerst hebben bewezen...)
Merk nog op dat bij de deling ook c ≠ 0 moet zijn.

‡

Voorbeeld 2

Schrijf $\frac{2}{7}$ als decimaal getal.

Antwoord

Voer de deling 2/7 uit:

2 / 7 = 0,285742
0
2,0
1,4
0,60
0,56
0,040
0,035
0,0050
0,0049
0,00010
0,00007
0,000030
0,000028
0,0000020

Je ziet dat er herhaling optreedt, dus $\frac{2}{7}$ = 0,28574.

‡

Voorbeeld 3

Schrijf 6,51234 als breuk.

Antwoord

Stel a = 6,51234 = 6,51234123412341234...
Dan is 10a = 65,1234123412341234... en 100.000a = 651234,123412341234...

Dus is 100.000a – 10a = 651234 – 65 = 651169.
Oftewel 99990a = 651169.
En a = $\frac{651169}{99990}$.

Conclusie: 6,51234 = $\frac{651169}{99990}$.

‡

Opgaven

3. Bekijk de Theorie. Waar of niet waar?
   1. 7 $\in$ $\mathbb{Q}$
   2. 3,5 $\in$ $\mathbb{Q}$
   3. –7 $\notin$ $\mathbb{Q}$
   4. 2ⁿ $\in$ $\mathbb{Q}$ als n $\in$ $\mathbb{Z}$.


4. In Voorbeeld 1 zie je dat som, verschil, product en quotiënt van twee rationale getallen altijd rationaal is.
   1. Neem de rationale getallen `a/3` en `5/(2b)` en laat zien dat ook hun som, verschil, product en quotiënt rationaal zijn als `b != 0`.
   2. Neem de rationale getallen `3/a` en `5/(2b)` en laat zien dat ook hun som, verschil, product en quotiënt rationaal zijn als `a != 0` en `b != 0`.


5. Schrijf de volgende breuken als decimaal getal (bekijk eventueel eerst Voorbeeld 2). Doe dit handmatig, dus zonder rekenmachine.
   1. `123456/100000`
   2. `3/5`
   3. `1/11`
   4. `12/23`


6. Hoe lang kan het repeterende gedeelte in de decimale schrijfwijze van de breuk `t/n` maximaal zijn als `t = 1, 2, 3, ... , n` en als
   1. `n = 6`
   2. `n = 31`


7. In Voorbeeld 3 zie je hoe een getal met repeterende decimalen als breuk kan worden geschreven. Schrijf de volgende decimale getallen in de vorm `p/q` met `p in ZZ` en `q in ZZ`.
   1. 0,123
   2. 2,17
   3. –0,153


8. In de Theorie kom je nog een speciale notatie voor verzamelingen van getallen tegen.
   Beschrijf de onderstaande getalverzamelingen in woorden en schrijf een paar voorbeelden op van getallen die in deze verzamelingen voorkomen.
   1. `{3n + 1 | n in ZZ}`
   2. `{1/x | x in QQ text( en ) x != 0}`
   Geef de volgende verzamelingen weer in dezelfde notatie.
   3. De oneven positieve getallen.
   4. De kwadraten kleiner dan 1000.

Verwerken

9. Schrijf som, verschil, product en quotiënt van `a` en `(2b)/(3c)` als één rationaal getal als `c != 0`.
   


10. Schrijf de volgende breuken als decimaal getal. Doe dit handmatig, dus zonder rekenmachine.
    1. `3/80`
    2. `2/3`
    3. `11/43`
    4. `2/15`


11. Schrijf het getal 2,91523 in de vorm `p/q` met `p in ZZ` en `q in ZZ`.
    


12. Welke van de volgende getallen zijn rationaal?
    1. 2,16
    2. `sqrt(1,6)`
    3. `sqrt(0,16)`
    4. `sqrt(0,ul1)`

Testen

13. Schrijf som, verschil, product en quotiënt van `1/x` en `(2)/(x^2)` als één rationaal getal als `x != 0`.
    


14. Schrijf de volgende breuken als decimaal getal. Doe dit handmatig, dus zonder rekenmachine.
    1. `7/90`
    2. `2/57`


15. Schrijf het getal 3,1415 in de vorm `p/q` met `p in NN` en `q in NN`.
    


16. Welke van de volgende getallen zijn rationaal?
    1. `-2,ul312`
    2. `sqrt(1 7/9)`
    3. `sqrt(15)`
    4. `root[3](27/8)`