Gehele getallen

Inleiding

In de Oudheid was een getal een hoeveelheid, samengesteld uit eenheden. Deze definitie is terug te vinden in "De Elementen", het beroemde wiskundeboek van Euclides (ca. 300 v.Chr.). Zelfs 1 werd toen niet als getal gezien en 0 was nog helemaal niet in beeld. Het getal 0 ontstond pas toen het tientallig stelsel als positiestelsel zijn intrede deed in de Oud-Indische cultuur. De eerste cijfers ontstonden er in die tijd, evenals het eerste idee van negatieve getallen.
De getallen 0, 1, 2, 3, 4, ... worden tegenwoordig de natuurlijke getallen genoemd. Voeg je daar de negatieve getallen aan toe dan spreek je van de gehele getallen. Veel getallentheorie gaat alleen over natuurlijke getallen.

Je leert nu:

• de natuurlijke en de gehele getallen onderscheiden;
• werken met even en oneven getallen en priemgetallen;
• een paar eigenschappen van deze getallen.

Je kunt al:

• rekenen met getallen in het tientallig stelsel.

Verkennen

Het gaat in dit onderwerp over soorten getallen.
Beperk je eens even tot de natuurlijke getallen: 0, 1, 2, 3, 4, ...
Probeer eens uit te zoeken wat er wordt verstaan onder de volgende soorten getallen en schrijf de eerste tien getallen van die soort op.

• even getallen
• oneven getallen
• vijfvouden
• priemgetallen
• perfecte getallen
• bevriende getallen
• gebrekkige getallen en overvloedige getallen
• pythagoreïsche drietallen

Uitleg

Natuurlijk is het idee van getallen ontstaan uit het tellen, dus uit aantallen.
Daarom waren de eerste getallen 2, 3, 4, 5, ..., 10, 20, ..., 100, 200, 300, ... en vaak niet veel groter ook nog. Bij duizenden hield het wel op. Er waren in de Oudheid allerlei schrijfwijzen in omloop, waarbij vaak voor tientallen weer andere symbolen werden gebruikt dan voor eenheden. Een handig stelsel zoals het huidige tientallig stelsel lijkt te zijn ontstaan in het oude China en is via Indië en Arabië omstreeks 1200 na Chr. naar West-Europa gekomen. Het is een positiestelsel dat bestaat uit tien cijfers, namelijk 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9, waarmee alle getallen kunnen worden gevormd. De 0 is nu broodnodig om een "lege" positie aan te geven: 1024 is 1 duizental, 0 honderdtallen, 2 tientallen en 4 eenheden.

Al in de Oudheid werden soorten getallen ontdekt: de even getallen (die in twee gelijke delen kunnen worden verdeeld) en de oneven getallen (waarbij dat niet kan), de priemgetallen (die alleen door 1 en zichzelf deelbaar zijn), etc.
Vooral die priemgetallen zijn zeer fascinerend gebleken: ze zijn moeilijk te vinden hoewel er oneindig veel van zijn. En ze hebben tegenwoordig een hele belangrijke positie die heeft te maken met de beveiliging van gegevensoverdracht via internet...

De eigenschappen van allerlei soorten getallen zijn al eeuwenlang onderwerp van wiskundig onderzoek. Het vinden van bewijzen voor die eigenschappen is daarbij de grote uitdaging...``

‡

1. Bekijk de Uitleg. Een even getal `g` kun je altijd schrijven in de vorm `g = 2n`, met `n = 0, 1, 2, 3, ...`
   1. Waarom is dat zo?
   2. Hoe kun je een drievoud schrijven?
   3. Hoe schrijf je een zesvoud? Laat zien, dat elk zesvoud ook een even getal is.
   4. Hoe kun je een oneven getal altijd schrijven?


2. De meest bijzondere gehele getallen zijn de priemgetallen. Priemgetallen zijn gehele getallen groter dan 1 die alleen door 1 en door zichzelf zijn te delen (zonder dat er een rest overblijft).
   1. Schrijf de eerste vijftien priemgetallen op.
   2. Hoe kun je nagaan of een getal een priemgetal is?

Theorie

De verzameling van alle natuurlijke getallen noem je $\mathbb{N}$. Je kunt schrijven:
$\mathbb{N}$ = {0,1,2,3,4,5,6,...}

Voeg je aan de natuurlijke getallen hun tegengestelden –1, –2, etc., toe dan krijg je de verzameling van de gehele getallen $\mathbb{Z}$. Nu geldt:
$\mathbb{Z}$ = {...,–3,–2,–1,0,1,2,3,...}

Dat –4 een geheel getal is noteer je zo: –4 $\in$ $\mathbb{Z}$.
Dat –4 geen natuurlijk getal is schrijf je zo op: –4 $\notin$ $\mathbb{Z}$.

De som van twee gehele getallen is weer een geheel getal. Hetzelfde geldt voor het verschil en het product van twee gehele getallen. Maar als je gehele getallen gaat delen komt daar vaak geen geheel getal uit. Deelbaarheid van getallen is daarom een een belangrijk onderwerp geworden vanuit de Oudheid. Een geheel getal is deelbaar door een ander geheel getal als de deling weer een geheel getal oplevert. Dit leidde tot het onderscheiden van verschillende soorten gehele getallen. De belangrijkste zijn:

• de even getallen: getallen van de vorm 2n met n $\in$ $\mathbb{Z}$ die deelbaar zijn door 2;
• de oneven getallen: getallen van de vorm 2n + 1 met n $\in$ $\mathbb{Z}$ die niet deelbaar zijn door 2;
• de priemgetallen die alleen deelbaar zijn door 1 en door zichzelf en groter zijn dan 1. Elk positief geheel getal is te schrijven als het product van priemgetallen (priemgetalstelling).

‡

Voorbeeld 1

Laat zien dat de som en het verschil van twee oneven getallen altijd even zijn, maar dat het product van twee oneven getallen altijd oneven is.

Antwoord

Neem twee oneven getallen a = 2n + 1 en b = 2m + 1.

Optellen:
a + b = 2n + 1 + 2m + 1 = 2n + 2m + 2 = 2(n + m + 1)
Dus a + b is altijd deelbaar door 2 en daarom even.

Aftrekken:
a – b = 2n + 1 – (2m + 1) = 2n – 2m = 2(n – m)
Dus a – b is altijd deelbaar door 2 en daarom even.

Vermenigvuldigen:
a · b = (2n + 1) · (2m + 1) = 4mn + 2n + 2m + 1 = 2(2mn + n + m) + 1
Dus a · b is altijd oneven.

‡

Voorbeeld 2

Laat zien dat het kwadraat van een even getal altijd even en dat het kwadraat van een oneven getal altijd oneven is.

Antwoord

Even getal: a = 2n.
Kwadrateren: a² = (2n)² = 4n² = 2(2n²).
Dus is het kwadraat van een even getal inderdaad deelbaar door 2.

Oneven getal: b = 2n + 1.
Kwadrateren: b² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) + 1.
Dus is het kwadraat van een oneven getal inderdaad oneven.

‡

Voorbeeld 3

Een Pythagoreïsch tripel is een drietal getallen a, b, c dat voldoet aan a² + b² = c².
Bekende voorbeelden zijn de tripels 3, 4, 5 en 5, 12, 13.
Ze zijn te vinden door twee gehele getallen m en n te kiezen (m > n) en dan m² + n², m² – n² en 2mn uit te rekenen.
Laat zien dat je zo inderdaad een Pythagoreïsch drietal krijgt.

Antwoord

De grootste van de drie uit te rekenen uitdrukkingen is m² + n².
Je moet daarom aantonen dat (m² – n²)² + (2mn)² = (m² + n²)².

Links van het is-gelijk-teken:
(m² – n²)² + (2mn)² = m⁴ + n⁴ – 2m²n² + 4m²n² = m⁴ + n⁴ + 2m²n²
en rechts van het is-gelijk-teken
(m² + n²)² = m⁴ + n⁴ + 2m²n²

Beide uitdrukkingen zijn identiek.
Dus krijg je zo inderdaad een drietal getallen dat aan de stelling van Pythagoras voldoet.
Krijg je zo ook echt ALLE Pythagoreïsche tripels? (Denk eens aan de veelvouden van een Pythagoreïsch tripel.)

‡

Opgaven

3. Bekijk de Theorie. Waar of niet waar?
   1. 7 $\in$ $\mathbb{Z}$
   2. 3,5 $\in$ $\mathbb{Z}$
   3. –7 $\notin$ $\mathbb{N}$
   4. 2n $\in$ $\mathbb{N}$ als n = 0, 1, 2, 3, ...


4. In Voorbeeld 1 zie je dat de som en het verschil van twee oneven getallen altijd even zijn, maar het product ervan altijd oneven.
   1. Hoe zit dat met twee even getallen? Toon je bewering op dezelfde wijze aan als in dit voorbeeld.
   2. Is de som van twee drievouden altijd weer een drievoud? En het verschil? En het product? En het quotiënt? Toon je beweringen aan.


5. In Voorbeeld 2 wordt aangetoond dat het kwadraat van een even getal altijd even en van een oneven getal altijd oneven is.
   1. Is de derdemacht van een even getal altijd even? Laat zien waarom.
   2. Is de derdemacht van een oneven getal altijd oneven? Laat zien waarom.
   3. Toon aan dat voor elk even getal g en elke a > 0 geldt dat a^g een kwadraat is.


6. Je bekijkt nu twee opeenvolgende natuurlijke getallen n en n – 1.
   1. Toon aan dat hun product een even getal is.
   2. Toon aan dat het verschil van hun kwadraten een oneven getal is.


7. In Voorbeeld 3 kom je de Pythagoreïsche tripels tegen. Misschien ken je ze wel.
   1. Loop zelf de berekening in het voorbeeld na.
   2. Kies `m = 17` en `n = 12`. Welk Pythagoreïsch tripel levert dat op? Controleer nog even of het echt goed gaat.
   3. Welke getallen moet je voor `m` en `n` kiezen om het tripel 3, 4, 5 te krijgen?
   4. Welke getallen moet je voor `m` en `n` kiezen om het tripel 5, 12, 13 te krijgen?
   5. Welke getallen moet je voor `m` en `n` kiezen om het tripel 56, 90, 106 te krijgen?


8. In de Theorie kom je de priemgetalstelling tegen.
   1. Laat zien dat `2010 = 2 * 3 * 5 * 67`.
   2. Schrijf 2009 als het product van priemgetallen.
   3. Schrijf 15360 als een product van priemgetallen.
   4. Kun je deze stelling aantonen?

Verwerken

9. Bekijk de vijfvouden: `g = 5n`.
   1. Toon aan dat de som van twee vijfvouden weer een vijfvoud is.
   2. Toon aan dat het product van twee vijfvouden weer een vijfvoud is.
   3. Toon aan dat het kwadraat van twee vijfvouden weer een vijfvoud is.
   4. Toon aan dat het quotiënt van twee vijfvouden geen vijfvoud hoeft te zijn.


10. Toon aan dat voor elk even getal `g` geldt dat `g^4 + g^3 + 2g^2` deelbaar is door 16.
    


11. Een perfect getal is een getal waarvan de delers (ongelijk het getal zelf) samen opgeteld gelijk zijn aan het getal zelf.
    1. Laat zien dat 6 een perfect getal is.
    2. Laat zien dat 28 een perfect getal is.
    3. Probeer de volgende perfecte getallen te vinden en toon steeds aan dat ze ook echt prefect zijn.


12. Als je een getal schrijft als een product van priemgetallen, dan heet dit wel het ontbinden van een getal in priemfactoren. Je deelt het getal eerst zo vaak mogelijk door het kleinste priemgetal, dan zo vaak mogelijk door het op één na kleinste priemgetal, etc.
    1. Ontbind 2520 in priemfactoren.
    2. Ontbind 2984800 in priemfactoren.
    3. Welke gemeenschappelijke delers hebben deze twee getallen?
    4. Hoeveel bedraagt de GGD (grootste gemeenschappelijke deler)?

Testen

13. Bekijk de zesvouden: `g = 6 * n`.
    1. Toon aan dat de som van twee zesvouden een even getal is.
    2. Toon aan dat de som van twee zesvouden een zesvoud is.
    3. Toon aan dat het product van twee zesvouden een negenvoud is.
    4. Toon aan dat het quotiënt van twee zesvouden geen zesvoud hoeft te zijn.


14. Laat zien dat voor elk geheel getal `n` geldt dat `n^3 - n` deelbaar is door 3.
    


15. Welke gemeenschappelijke delers hebben 11025 en 19305?