Gehele getallen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Gehele getallen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Gehele getallen > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.``

Opgaven

1. Bekijk de Uitleg. Een even getal `g` kun je altijd schrijven in de vorm `g = 2n`, met `n = 0, 1, 2, 3, ...`
   1. Waarom is dat zo?
   2. Hoe kun je een drievoud schrijven?
   3. Hoe schrijf je een zesvoud? Laat zien, dat elk zesvoud ook een even getal is.
   4. Hoe kun je een oneven getal altijd schrijven?


2. De meest bijzondere gehele getallen zijn de priemgetallen. Priemgetallen zijn gehele getallen groter dan 1 die alleen door 1 en door zichzelf zijn te delen (zonder dat er een rest overblijft).
   1. Schrijf de eerste vijftien priemgetallen op.
   2. Hoe kun je nagaan of een getal een priemgetal is?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Getaltheorie > Soorten getallen > Gehele getallen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. Bekijk de Theorie. Waar of niet waar?
   1. 7 $\in$ $\mathbb{Z}$
   2. 3,5 $\in$ $\mathbb{Z}$
   3. –7 $\notin$ $\mathbb{N}$
   4. 2n $\in$ $\mathbb{N}$ als n = 0, 1, 2, 3, ...


4. In Voorbeeld 1 zie je dat de som en het verschil van twee oneven getallen altijd even zijn, maar het product ervan altijd oneven.
   1. Hoe zit dat met twee even getallen? Toon je bewering op dezelfde wijze aan als in dit voorbeeld.
   2. Is de som van twee drievouden altijd weer een drievoud? En het verschil? En het product? En het quotiënt? Toon je beweringen aan.


5. In Voorbeeld 2 wordt aangetoond dat het kwadraat van een even getal altijd even en van een oneven getal altijd oneven is.
   1. Is de derdemacht van een even getal altijd even? Laat zien waarom.
   2. Is de derdemacht van een oneven getal altijd oneven? Laat zien waarom.
   3. Toon aan dat voor elk even getal g en elke a > 0 geldt dat a^g een kwadraat is.


6. Je bekijkt nu twee opeenvolgende natuurlijke getallen n en n – 1.
   1. Toon aan dat hun product een even getal is.
   2. Toon aan dat het verschil van hun kwadraten een oneven getal is.


7. In Voorbeeld 3 kom je de Pythagoreïsche tripels tegen. Misschien ken je ze wel.
   1. Loop zelf de berekening in het voorbeeld na.
   2. Kies `m = 17` en `n = 12`. Welk Pythagoreïsch tripel levert dat op? Controleer nog even of het echt goed gaat.
   3. Welke getallen moet je voor `m` en `n` kiezen om het tripel 3, 4, 5 te krijgen?
   4. Welke getallen moet je voor `m` en `n` kiezen om het tripel 5, 12, 13 te krijgen?
   5. Welke getallen moet je voor `m` en `n` kiezen om het tripel 56, 90, 106 te krijgen?


8. In de Theorie kom je de priemgetalstelling tegen.
   1. Laat zien dat `2010 = 2 * 3 * 5 * 67`.
   2. Schrijf 2009 als het product van priemgetallen.
   3. Schrijf 15360 als een product van priemgetallen.
   4. Kun je deze stelling aantonen?

Verwerken

9. Bekijk de vijfvouden: `g = 5n`.
   1. Toon aan dat de som van twee vijfvouden weer een vijfvoud is.
   2. Toon aan dat het product van twee vijfvouden weer een vijfvoud is.
   3. Toon aan dat het kwadraat van twee vijfvouden weer een vijfvoud is.
   4. Toon aan dat het quotiënt van twee vijfvouden geen vijfvoud hoeft te zijn.


10. Toon aan dat voor elk even getal `g` geldt dat `g^4 + g^3 + 2g^2` deelbaar is door 16.
    


11. Een perfect getal is een getal waarvan de delers (ongelijk het getal zelf) samen opgeteld gelijk zijn aan het getal zelf.
    1. Laat zien dat 6 een perfect getal is.
    2. Laat zien dat 28 een perfect getal is.
    3. Probeer de volgende perfecte getallen te vinden en toon steeds aan dat ze ook echt prefect zijn.


12. Als je een getal schrijft als een product van priemgetallen, dan heet dit wel het ontbinden van een getal in priemfactoren. Je deelt het getal eerst zo vaak mogelijk door het kleinste priemgetal, dan zo vaak mogelijk door het op één na kleinste priemgetal, etc.
    1. Ontbind 2520 in priemfactoren.
    2. Ontbind 2984800 in priemfactoren.
    3. Welke gemeenschappelijke delers hebben deze twee getallen?
    4. Hoeveel bedraagt de GGD (grootste gemeenschappelijke deler)?

Testen

13. Bekijk de zesvouden: `g = 6 * n`.
    1. Toon aan dat de som van twee zesvouden een even getal is.
    2. Toon aan dat de som van twee zesvouden een zesvoud is.
    3. Toon aan dat het product van twee zesvouden een negenvoud is.
    4. Toon aan dat het quotiënt van twee zesvouden geen zesvoud hoeft te zijn.


14. Laat zien dat voor elk geheel getal `n` geldt dat `n^3 - n` deelbaar is door 3.
    


15. Welke gemeenschappelijke delers hebben 11025 en 19305?