Gehele getallen

Antwoorden bij de opgaven

    1. Omdat `2n` altijd deelbaar is door 2, want `(2n)/2 = n` en `n = 0, 1, 2, 3, ...`.
    2. Elk drievoud is `g = 3n` met `n in NN`.
    3. Elk zesvoud is `g = 6n = 2 * 3n` met `n = 0, 1, 2, 3, ...`. En dus is een zesvoud ook een tweevoud, een even getal.
    4. Elk oneven getal is `g = 2n + 1` met `n = 0, 1, 2, 3, ...`.
    1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, ...
    2. Gewoon proberen of je het getal kunt delen door een kleiner positief geheel getal groter dan 1.
    1. waar
    2. niet waar
    3. waar
    4. waar
    1. Noem de twee even getallen `2n` en `2m`. Dat is `2n + 2m = 2(n + m)`, dus een even getal. Verder is `2n - 2m = 2(n - m)` een even getal en `2n * 2m = 2 * (2mn)` is ook een even getal.
    2. Noem de twee drievouden `3n` en `3m`.
      De som van beide is `3n + 3m = 3 * (n + m)` dus een drievoud.
      Het verschil van beide is `3n - 3m = 3 * (n - m)` dus een drievoud.
      Het product van beide is `3n * 3m = 3 * (3mn)` dus een drievoud.
      Het quotiënt van beide is `(3n)/(3m) = m/n` dus niet altijd een drievoud.
    1. `(2n)^3 = 2 * 4n^3` dus een even getal.
    2. `(2n + 1)^3 = 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1 = 2 * (4n^3 + 6n^2 + 3n) + 1` en dus altijd een oneven getal.
    3. `g = 2n`, dus `a^g = a^(2n) = (a^n)^2` en dat is een kwadraat.
    1. Van twee opvolgende getallen is er altijd één een even getal, dus ofwel `n = 2p`, ofwel `n - 1 = 2q`.
      En daarom is `n * (n - 1) = 2 * p * (n - 1)` en dus even, of `n * (n - 1) = n * 2 * q = 2 * nq` en dus even.
    2. `n^2 - (n - 1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1` en dat is altijd een oneven getal.
    1. Doen, goede oefening in haakjes uitwerken!
    2. 145, 408, 433. Contrôle: `145^2 + 408^2 = 433^2`.
    3. `n = 1` en `m = 2`.
    4. `n = 2` en `m = 3`.
    5. `n = 5` en `m = 9`
    1. 2010 eerst delen door 2, dan door 3, vervolgens door 5 en er blijft 67 over, een priemgetal.
    2. `2009 = 7^2 * 41`
    3. `15360 = 2^10 * 3 * 5`
    4. Kun je een willekeurig natuurlijk getal `n` niet delen door een kleiner natuurlijk getal groter dan 1, dat is `n` een priemgetal. Kun je het wel delen, bijvoorbeeld door `p`, dan is `n = p * q`. Voor die getallen `p` en `q` geldt afzonderlijk het voorgaande weer. En dus kun je doorgaan tot `n` alleen bestaat uit een vermenigvuldiging van priemgetallen.
    1. Neem de vijfvouden `5n` en `5m`. Dan is `5n + 5m = 5 * (n + m)` een vijfvoud.
    2. Neem de vijfvouden `5n` en `5m`. Dan is `5n * 5m = 5 * 5nm` een vijfvoud.
    3. Neem het vijfvoud `5n`. Dan is `(5n)^2 = 5 * 5n^2` een vijfvoud.
    4. Neem de vijfvouden `5n` en `5m`. Dan is `(5n)/(5m) = n/m` niet altijd een vijfvoud.
  10. Neem `g = 2n`, dan is `g^4 + g^3 + 2g^2 = 16n^4 + 8n^3 + 8n^2`.
    Nu is `16n^4` een 16-voud.
    En `8n^3 + 8n^2 = 8n^2(n+1)` waarin ofwel `n` ofwel `n+1` even is. Daarom is ook `8n^3 + 8n^2` deelbaar door 16.
    En dus is `g^4 + g^3 + 2g^2 = 16n^4 + 8n^3 + 8n^2` deelbaar door 16.
    1. De delers van 6 zijn: 1, 2 en 3 (en 6 zelf, maar die telt niet). En `1 + 2 + 3 = 6`.
    2. De delers van 28 zijn: 1, 2, 4, 7 en 14 (en 28 zelf, maar die telt niet). En `1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28`.
    3. Opzoeken op de Math4all-site bij 5000 jaar wiskunde en 100 Vensters > 24 - Perfect getal.
    1. `2520 = 2^3 * 3^2 * 5 * 7`
    2. `2984800 = 2^5 * 5^2 * 7 * 13 * 41`
    3. 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140 en 280.
    4. De grootste gemeenschappelijke deler van beide getallen is `2^3 * 5 * 7 = 280`.
    1. Neem de zesvouden `6n` en `6m`. Dan is `6n + 6m = 2 * (3n + 3m)` een even getal.
    2. Neem de zesvouden `6n` en `6m`. Dan is `6n + 6m = 5 * (n + m)` een zesvoud.
    3. Neem de zesvouden `6n` en `6m`. Dan is `6n * 6m = 36nm = 9 * 4nm` een negenvoud.
    4. Neem de zesvouden `6n` en `6m`. Dan is `(6n)/(6m) = n/m` niet altijd een zesvoud, zelfs niet altijd een geheel getal.
  14. `n^3 - n = n(n - 1)(n + 1)` en `n-1`, `n` en `n+1` zijn opeenvolgende gehele getallen, dus één van hen is een drievoud.
  15. `11025 = 3^2 * 5^2 * 7^2` en `19305 = 3^3 * 5 * 11 * 13`.
    Hun delers zijn daarom 1, 3, 5, 9, 15 en 45.