Totaalbeeld

Samenvatten

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Totaalbeeld > Samenvatten

Je hebt nu het onderwerp Krommen en oppervlakken doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan...
Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat je er mee kunt doen. Ga ook na of je de activiteiten die staan genoemd kunt uitvoeren. Maak een eigen samenvatting!

31. cirkel, lijn — vergelijking — parametervoorstelling
32. parabool — brandpunt, richtlijn
33. hyperbool, ellips — brandpunten, richtcirkel — vergelijkigen en parametervoorstellingen van krommen
34. 3D krommen — schroeflijn
35. oppervlakken — bol, cilinder
36. kegel — kegelsnede

31. vanuit vergelijkingen van lijnen en cirkels de karakteristieken bepalen — omzetten van vergelijkingen naar parametervoorstellingen v.v.
32. werken met vergelijking en parametervoorstelling van parabool
33. werken met vergelijking en parametervoorstelling van ellips, hyperbool en andere krommen
34. werken met parametervoorstelling van een kromme in 3D
35. werken met parametervoorstelling en vergelijking van een bol en cilinder
36. werken met parametervoorstelling en vergelijking van kegel — kegelsneden herkennen

Achtergronden

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Totaalbeeld > Achtergronden

Testen

Opgaven

1. Hieronder zie een aantal vergelijkingen of parametervoorstellingen van krommen en/of oppervlakken. Bepaal telkens om welke kromme en welk oppervlak het gaat en geef de karakteristieken ervan, zoals brandpunt(en), richtlijn(-cirkel), middelpunt, straal, top, symmetrieas, e.d.
   1. `x^2 + 4y^2 = 6x - 8y`
   2. `(x,y) = (2t, 1/4t^2 + 4)`
   3. `x^2 - 6x = y^2 - z^2 + 4z - 5`
   4. `(x,y,z) = (2 + 2v, 3 + 4 cos(u), -5 + 4 sin(u))`


2. Gegeven is ten opzichte van een rechthoekig `Oxy`-assenstelsel de cirkel `c` met middelpunt `O(0,0)` en straal 5. Verder zijn gegeven de punten `A(4,0)` en `B(7,0)`.
   De kromme `k` bestaat uit alle punten met gelijke afstand tot punt `A` als tot cirkel `c`.
   1. Geef een vergelijking van `k`. Hoe heet zo'n kromme?
   2. Stel ook een parametervoorstelling voor `k` op.
   3. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van de punten op `k` waarin de raaklijn aan `k` evenwijdig is met de lijn `y = x`.
   4. Stel (in twee decimalen nauwkeurig) vergelijkingen op van de raaklijnen door punt `B` aan kromme `k`.


3. Gegeven zijn ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel `Oxy` de cirkel `c: x^2 + y^2 - 6x + 4 = 0` en de parabool `p: y^2 = -0,5x + 1,5`.
   1. Toon aan dat de top van de parabool en het middelpunt van de cirkel hetzelfde punt zijn.
   2. Bereken de coördinaten van het brandpunt en de vergelijking van de richtlijn van `p`.
   3. Bereken de hoek waaronder beide krommen elkaar snijden.
   4. Bereken de lengte van de kleinste cirkelboog die de parabool uit de cirkel wegsnijdt.



4. De conchoïde van Nicomedes

   Een voorbeeld van een conchoïde is de kromme `k` die bestaat uit alle punten `(x,y)` die voldoen aan de vergelijking `(x^2 + y^2)(x - 2)^2 = 16x^2`.
   1. Welke waarden kunnen `x` en `y` aannemen?
   2. Bereken de coördinaten van snijpunten van `k` met de assen.
   3. Bereken de coördinaten van de punten van `k` waarin de raaklijn evenwijdig is met de `y`-as.
   4. Bereken de hoek waaronder beide raaklijnen aan `k` in `O(0,0)` elkaar snijden.


5. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel `Oxyz` is de bol `B` gegeven door de parametervoorstelling

   `(x,y,z) = (4 + 5 cos(u) cos(v), 3 + 5 sin(u) cos(v), 5 sin(v))`

   waarin `0 <= u < 2pi` en `-1/2pi <= v <= 1/2pi`.
   1. Bepaal de coördinaten van het middelpunt `M` en de lengte `r` van de straal van bol `B`.
   2. Geef een vergelijking van `B`.
   3. Bereken de coördinaten van de snijpunten van bol `B` met de coördinaatassen.
   4. Het vlak `V: z = 2,5` snijdt de bol volgens een cirkel `c`. Bereken de straal van `c`.
   5. Kegel `K` heeft `M` als top en snijdt de bol volgens cirkel `c`. Stel een vergelijking en een parametervoorstelling van deze kegel op.
   6. Bereken de hoek waaronder de bol en de kegel elkaar snijden in graden nauwkeurig.
   7. Rechte lijn `l` door `P(4,6,4)` maakt een hoek van 60° met de bol en is evenwijdig met de vlak `x = y`. Stel een parametervoorstelling op van `l`.


6. Gegeven is ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel `Oxyz` een kegel met top `T` op de `z`-as en een grondcirkel die in het `Oxy`-vlak de vergelijking `x^2 + y^2 = 36` heeft. De tophoek van de kegel is 90°.
   Op de `y`-as ligt punt `P(0,12,0)` en op de `x`-as ligt het punt `A(6,0,0)`.
   Het punt `Q` ligt op `AT` zo, dat de afstand van `Q` tot `OT` gelijk is aan 3.
   1. Teken deze kegel en punt `P` is het assenstelsel.
   2. Bepaal de coördinaten van punt `Q`.
   3. Bereken de afstand van lijn `PQ` tot lijn `OP`.
   4. Lijn `PQ` snijdt de kegel behalve in punt `Q` ook in punt `R`. Teken dit punt in je figuur en bereken de coördinaten van `R`.
   5. Bereken de hoek waaronder `PQ` de kegel snijdt in graden nauwkeurig.

Toepassen

7. Lees over regeloppervlakken in

   www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Totaalbeeld > Toepassingen

   
   Er worden enkele voorbeelden van regeloppervlakken genoemd.
   Een oppervlak `E` heeft parametervoorstelling `(x,y,z) = (2 + 4 cos(u), 4 + 2 sin(u), v)`.
   1. Om welke type regeloppervlak gaat het hier? Beschrijf het zo nauwkeurig mogelijk.
   2. Teken de doorsneden van het oppervlak `E` met de coördinaatvlakken.
   3. Geef een vergelijking van dit oppervlak.
   Bekijk nu de vergelijking van de éénbladige hyperboloïde. Neem `a = b = c = 1`.
   4. Teken de doorsneden van dit oppervlak met de coördinaatvlakken.
   5. Verklaar de naam éénbladige hyperboloïde?
   6. Waarom zou je dit ook een omwentelingsoppervlak kunnen noemen?
   7. Laat zien dat de vergelijking is te schrijven als `(x + z)(x - z) = (1 - y)(1 + y)`.
   8. Aan de vergelijking uit g is voldaan als `x + z = 1 - y ^^ x - z = 1 + y`. Waarom beschrijft dit stelsel vergelijkingen een rechte lijn op het oppervlak?
   9. Beschrijf zo nog minstens twee lijnen op de éénbladige hyperboloïde.
   Bekijk tenslotte de helicoïde.
   10. Wat heeft deze figuur met een wenteltrap te maken?
   11. Welke rechte lijnen liggen er op?
   12. Laat zien dat er ook schroeflijnen op dit oppervlak liggen.


8. Lees over omwentelingsoppervlakken in

   www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Totaalbeeld > Toepassingen

   
   Er worden enkele voorbeelden van omwentelingsoppervlakken genoemd.
   Bekijk de vergelijkingen van de paraboloïde en de éénbladige hyperboloïde.
   1. Hoe zien de doorsneden van de paraboloïde met de vlakken `y = p` (met `p > 0`) er uit?
   2. Hoe zien de doorsneden van de paraboloïde met de vlakken `z = p` er uit?
   3. Geef een definitie van deze paraboloïde in termen van een brandpunt en een richtvlak.
   4. Wanneer is een éénbladige hyperboloïde met vergelijking `(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) - (z^2)/(c^2) = 1` een omwentelingslichaam?
   5. Bedenk zelf een mogelijke vergelijking voor een tweebladige hyperboloïde.


9. Meer bijzondere oppervlakken vind je via

   www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Totaalbeeld > Toepassingen

   
   Als eerste wordt de torus genoemd en je ziet de vergelijking van een torus.
   1. Teken de doorsneden van de torus met elk van de coördinaatvlakken.
   2. Welke waarden kan `z` aannemen? En `x` en `y`?
   3. Geef vergelijkingen van de doorsneden van de torus met de vlakken `x = 1`, `x = 2` en `x = sqrt(5)` en schets deze doorsneden.
   Een tweede oppervlak is het apezadel.
   4. Waarom heet dit oppervlak zo, denk je?
   5. Teken de doorsneden van dit oppervlak met elk van de coördinaatvlakken.
   6. Welke punt is het "zadelpunt"?
   7. Je hebt ontdekt dat er op dit oppervlak rechte lijnen voorkomen. Eén daarvan is de doorsnede van het oppervlak met het vlak `x = 0`. Welke andere twee kun je uit de symmetrie van de figuur afleiden?

Examenopgaven

10. Scheve parabool

    Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel `Oxyz` is de kromme `k` gegeven door

    `x = t^2 - t - 2` en `y = t^2 + t + 1/4`

    waarbij `t in RR`.
    1. Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van `k` en de coördinaatassen.
    2. Bereken de coördinaten van de punten van `k` waarin de raaklijn aan `k` evenwijdig is aan de `x`-as of de `y`-as.
    3. Kromme `k` snijdt de `y`-as in twee punten `A` en `B`. Bereken de hoek die de raaklijnen in deze punten aan de kromme met elkaar maken in graden nauwkeurig.
    4. Er bestaat een waarde van `p` waarvoor de lijn `x + y = p` precies één punt met de kromme `k` gemeen heeft. Bereken `p`.
    5. De kromme `k` is een parabool. Stel een vergelijking op van de symmetrieas van deze parabool.
    
    

    (bron: examen vwo wiskunde B in 1988, eerste tijdvak, opgave 3, aangepast)




11. Bol en cilinder

    De kubus `OABC.DEFG` is ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel `Oxyz` gegeven door `A(6,0,0)`, `C(0,6,0)` en `D(0,0,6)`. De bol `beta` gaat door `B` en `F` en raakt lijn `OC` in `O`.
    1. Stel een vergelijking op voor bol `beta`.
    Het midden van het lijnstuk `AB` is het middelpunt van een bol `gamma` die door `F` gaat.
    2. Bereken de lengte van het lijnstuk dat `gamma` van de lijn `EG` afsnijdt.
    Een cilinder heeft als as lijn `OA` en straal 3.
    Binnen het vierkant `ABFE` ligt het punt `R` zo, dat
    • de lijn `CR` deze cilinder raakt en bovendien
    • de lijn `CR` een hoek van 30° maakt met de lijn `BC`.
    3. Bereken de coördinaten van `R`.
    
    

    (bron: examen vwo wiskunde B in 1991, eerste tijdvak, opgave 4, aangepast)