Bol en cilinder

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Bol en cilinder > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Bol en cilinder > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door. Bekijk de animatie, draai de figuur met de rechter muisknop.

1. Bekijk de Uitleg. Je ziet een bol `B` met middelpunt `O(0,0,0)` en straal 3.
   1. Welke van de volgende punten liggen op het boloppervlak, welke liggen er binnen en welke erbuiten?
      `A(2,2,1)`, `B(0,0,-3)`, `C(-2,1,-2)`, `D(2;2,5;-1)`, `E(sqrt(8),0,1)`, `F(-1,5;1,5;1,5)`
   2. Bepaal `a` zo, dat `G(a,a,a)` op het boloppervlak ligt.
   3. Voor welke waarden van `a` ligt `G` binnen de bol?
   4. Aan welke vergelijking moeten de punten `P(x,y,z)` voldoen als `P` op de bol ligt?
   5. Beschrijf de kromme die de doorsnede voorstelt van de bol met het vlak `z=0`. Doe hetzelfde voor `z=1`, `z=2` en `z=3`.
   6. Beschrijf ook de doorsnede van de bol met het vlak `y + z = 0`.


2. De doorsnede van de bol `B` met het `xy`-vlak is een cirkel met vergelijking `x^2 + y^2 = 9`.
   1. Teken die cirkel in een rechthoekig `Oxyz`-assenstelsel.
   2. Teken ook alle punten in het vlak `z=1` waarvoor geldt `x^2 + y^2 = 9`.
   3. Doe hetzelfde voor de vlakken `z=2`, `z=3`, `z=5` en `z=-5`.
   4. Teken de cilinder waar al deze cirkels op liggen. Aan welke vergelijking voldoet elk punt op deze cilinder?
   De cilinder die je zojuist hebt getekend heeft de `z`-as als symmetrieas en straal 3.
   5. Welke vergelijking heeft een cilinder waarvan de `x`-as de symmetrieas is en de straal 4 is?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Bol en cilinder > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven word je naar de Theorie en naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In de Theorie zie je hoe je de bol en de cilinder kunt beschrijven met behulp van een vergelijking.
   1. Bepaal nu het middelpunt en de straal van de bol met vergelijking `(x - 1)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 25`.
   2. Stel een vergelijking op van de bol met middelpunt `M(-2,1,2)` die door het punt `A(-1,-1,-3)` gaat.
   3. Stel een vergelijking op van de cilinder door `O(0,0,0)` waarvan de as evenwijdig is aan de `y`-as en door `P(1,0,3)` gaat.


4. Je kunt aan bollen en cilinders ook raaklijnen en raakvlakken maken. In Voorbeeld 1 zie je hoe je de vergelijking van een raakvlak aan een bol opstelt in een punt op de bol.
   1. Waarom wordt in het voorbeeld eerst de vergelijking van de bol zo geschreven dat je het middelpunt kunt bepalen? Doe dit zelf ook.
   2. Ga na, hoe nu de vergelijking van het raakvlak wordt opgesteld.
   Neem vervolgens het oppervlak `C` met vergelijking `x^2 + y^2 = 8x + 13`.
   3. Toon aan dat dit oppervlak een cilinder is en bereken de straal van die cilinder. Beschrijf ook de as van de cilinder.
   4. Stel de vergelijking op van het raakvlak `W` aan `C` in het punt `Q(2,5,3)`.
   5. Welke vergelijking heeft het raakvlak aan `C` dat evenwijdig is met `W`?
   6. Voor welke waarden van `a` raakt de lijn `l: (x,y,z) = (at,2+t,4-t)` de cilinder `C`?


5. In Voorbeeld 2 wordt een parametervoorstelling van een cilinder opgesteld.
   1. Laat zien, dat `x = 3 cos(u)`, `y = 3 sin(u)` en `z = v` voldoen aan de gegeven vergelijking van de cilinder.
   2. Welke kromme ontstaat er als je `v=u` neemt?
   Je kunt ook voor een bol een parametervoorstelling maken. Daarvoor kunnen als parameters de hoeken `u = /_ROQ` en `v = /_QOP` worden gebruikt. Hierin is `QR` loodrecht op de `x`-as en `PQ` loodrecht op het `xy`-vlak. De bol heeft middelpunt `O` en straal `r`.
   3. Welke waarden moeten `u` en `v` aannemen om een complete bol te beschrijven?
   4. Laat zien, dat `x = r cos(u) cos(v)`, `y = r sin(u) cos(v)` en `z = r sin(v)`.
   5. Toon aan dat de bij b gevonden uitdrukkingen voor `x`, `y` en `r` voldoen aan de bolvergelijking `x^2 + y^2 + z^2 = r^2`.


6. Stel een vergelijking en een parametervoorstelling op van het oppervlak `V` dat hieronder wordt beschreven.
   1. `V` is een cilinder met de `y`-as als as die door `P(3,4,5)` gaat.
   2. `V` is een bol met middelpunt `O` die het vlak `x + y + z = 6` raakt.
   3. `V` is een cilinder met een as door `(4,4,0)` die zowel het `xz`-vlak als het `yz`-vlak raakt.
   4. `V` is een bol door de punten `A(2,0,0)`, `B(2,2,0)`, `C(2,2,2)` en `D(0,2,2)`.


7. Het oppervlak waarvan je in Voorbeeld 3 een vergelijking ziet heet een ellipsoïde.
   1. Teken in een rechthoekig `Oxyz`-assenstelsel de drie doorsnedes van dit oppervlak met de coördinaatvlakken.
   2. Leg uit waarom het oppervlak kan worden gezien als een ellips die om de `y`-as wordt gewenteld.
   3. Bewijs de symmetrie van deze ellipsoïde t.o.v. de `y`-as.
   Ook van zo'n ellipsoïde kun je een parametervoorstelling maken.
   4. Kies twee geschikte parameters en geef een bijpassende parametervoorstelling.
   5. Stel een vergelijking op van de ellipsoïde met centrum `O` die door `A(2,0,0)`, `B(0,2,0)` en `C(0,0,6)` gaat en waarvan de `x`-as, de `y`-as en de `z`-as symmetrieassen zijn. Maak er ook een parametervoorstelling bij.

Verwerken

8. Bepaal middelpunt en straal van de bol of symmetrieas en straal van de cilinder als deze vergelijkingen of parametervoorstellingen zijn gegeven.
   1. `4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 4x + 4y - 8z + 5 = 0`
   2. `(x,y,z) = (v + 2, 2 cos(u) + 3, 2 sin(u) + 4)`
   3. `x^2 + y^2 = 12x`
   4. `(x,y,z) = (5 + 5 cos(u) sin(v), 5 + 5 sin(u) cos(v), 5 sin(v))`


9. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel `Oxyz` is de kubus `OABC.DEFG` gegeven door `A(4,0,0)`, `C(0,4,0)` en `D(0,0,4)`. Verder is bol `B_1` gegeven door de vergelijking `x^2 + y^2 + z^2 = 4`.
   1. Teken de kubus en het gedeelte van de bol `B_1` in het assenstelsel.
   2. Bol `B_2` met middelpunt `G` raakt `B_1`. Stel een vergelijking van `B_2` op.
   3. Stel een vergelijking op van bol `B_3` waarvan `AG` de middellijn is.
   Een cilinder `C` met straal 3 heeft de lijn `BF` als as.
   4. Stel een vergelijking van `C` op.
   5. Bereken de (kortste) afstand van bol `B_1` tot cilinder `C`.
   6. Er bestaan twee vlakken `V_1` en `V_2` die zowel `B_1` als `C` raken en evenwijdig zijn met de `z`-as. Met één van die twee vlakken heeft `B_1` het punt `P` gemeen en `C` de lijn `l`. Bereken de afstand van `P` tot `l`.


10. Een viervlak `O.ABC` is ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel `Oxyz` gegeven door `A(6,0,0)`, `B(0,6,0)` en `C(0,0,6)`.
    1. Stel een vergelijking op van de omgeschreven bol van dit viervlak, dus van de bol die door alle hoekpunten ervan gaat.
    2. Stel een vergelijking op van de ingeschreven bol van dit viervlak, dus van de bol die alle vlakken van dit viervlak raakt.


11. Gegeven is de bol `B` door de parametervoorstelling `(x,y,z) = (4 + 3 cos(u) cos(v), 3 + 3 sin(u) cos(v), 2 + 3 sin(v))` met `0 <= u <= 2pi` en `-0,5pi <= v <= 0,5pi`.
    1. Stel een vergelijking op van deze bol.
    2. De doorsnede van het vlak `z=4` met deze bol is een cirkel. Welke straal heeft deze cirkel? En welke waarde van `v` hoort er bij?
    3. Welke vergelijking heeft de cilinder `C` die `B` raakt volgens de cirkel waarvoor geldt `v=0`?
    4. Welke vergelijking heeft het vlak dat zowel de bol als de cilinder raakt en waarvoor geldt `u = 0,25pi`?
    5. De lijn `l` met parametervoorstelling `(x,y,z) = (2,1,3) + t(4,4,0)` snijdt de bol `B` in twee punten `P` en `Q`. Onder welke hoek snijdt `l` de bol?


12. Een cilinder wordt gesneden door twee vlakken `V` en `W` die beide loodrecht op de as `l` van de cilinder staan. De afstand tussen `V` en `W` is 2 cm. Op de snijcirkel van de cilinder en vlak `V` ligt een punt `A`. Op de snijcirkel van de cilinder en vlak `W` ligt een punt `B`. `|AB| = 4` cm en de afstand van lijn `AB` tot `l` is 1 cm.
    1. Bereken de straal van de cilinder.
    2. Bereken de hoek die beide raakvlakken in `A` en `B` aan de cilinder met elkaar maken.

Testen

13. Bepaal middelpunt en straal van de bol of symmetrieas en straal van de cilinder als deze vergelijkingen of parametervoorstellingen zijn gegeven.
    1. `x^2 + z^2 - 4x + 4z = 0`
    2. `(x,y,z) = (2 sin(v), 2 cos(u) cos(v), 2 sin(u) cos(v) + 4)`
    3. `x^2 + y^2 + z^2 = 10y - 6z - 39`
    4. `(x,y,z) = (5 + 5 cos(u), 5 + 5 sin(u), 5v)`


14. Van een regelmatige vierzijdige piramide `T.ABCD` is `A(0,0,4)`, `B(4,0,0)`, `C(0,0,-4)`, `D(-4,0,0)` en `T(0,0,8)`.
    1. Stel een vergelijking op van de bol door de hoekpunten van deze piramide.
    2. Bereken de hoeken waaronder de lijn `AT` deze bol snijdt in graden nauwkeurig.
    3. Een cilinder waarvan lijn `OT` de symmetrieas is raakt alle vier de zijden van grondvlak `ABCD` van de piramide. Stel van deze cilinder een vergelijking op.
    4. De cilinder bedoeld in c snijdt ribbe `BT` in punt `P`. Bereken `|OP|`.