3D krommen

Antwoorden bij de opgaven

    1. Zie tabel.

      `t``0``1/4 pi``1/2 pi``3/4 pi``pi``1 1/4 pi``1 1/2 pi``1 3/4 pi``2pi`
      `x``3``1 1/2 sqrt2``0``-1 1/2 sqrt2``0``-1 1/2 sqrt2``-3``1 1/2 sqrt2``3`
      `y``0``1 1/2 sqrt2``3``0``-3``-1 1/2 sqrt2``0``-1 1/2 sqrt2``0`
      `z``0``3/8``3/4``9/8``1 1/2``15/8``9/4``21/8``3`
    2. Doen, wordt nog een heel gepruts!
    3. Een cirkel met straal `3` en middelpunt `O(0,0)`.
    4. Een sinusoïde.
    5. `x = 3 cos(t) ^^ z = 3/(2pi) t` geeft `x = 3 cos((2pi)/3 z)`.
    6. `y = 3 sin(t) ^^ z = 3/(2pi) t` geeft `y = 3 sin((2pi)/3 z)`.
    1. `3/(2pi) t = 2` geeft `t = (4pi)/3` en dus `x = -1,5` en `y = 1,5sqrt3`. Dus `(-1,5; 1,5sqrt3; 2)`.
    2. `3 cos(t) = 3 sin(t)` geeft `tan(t) = 1` dus `t = 1/4 pi + k * pi`.
      Dus snijpunten `(1 1/2 sqrt2, 1 1/2 sqrt2, 3/8 + k * 1 1/2)` en `(-1 1/2 sqrt2, -1 1/2 sqrt2, 5/8 + k * 1 1/2)`.
    1. `x = 3t`, `y = 2 + 2t` en `z = 4 + t`.
    2. Een lijn door `(0, 2, 4)` en `(3, 4, 5)`.
    3. Er zijn snijpunten met elk grensvlak van de kubus, maar die liggen vaak buiten de kubus. De enige die op de kubus liggen zijn `(0, 2, 4)` en `(6, 6, 6)`.
    4. Bij `(6, 6, 6)` hoort `t=2` en bij `(0, 2, 4)` hoort `t=0`, dus `0 <= t <= 2`.
    5. `sqrt(6^2 + 4^2 + 2^2) =sqrt56`
    6. Het punt zit `2` seconden binnen de kubus.
      Elke seconde legt het de vector `1/2 ((6),(4),(2)) = ((3),(2),(1))` af, dus de snelheid is `sqrt(3^2 + 2^2 + 1^2) = sqrt14` m/s.
    1. P.v. is `x = 7`, `y = t` en `z = 4 - t`. (Eerst de vraag bij b beantwoorden, dan gaat die bij a gemakkelijker, hoewel het ook anders kan.)
      `t=10` geeft het punt `(7, 10, -6)`.
      `t=-2` geeft het punt `(7, -2, 6)`.
    2. Zie a.
    3. `sqrt(0^2 + 1^2 + (-1)^2) = sqrt2` m/s.
    4. `vec v = ((0),(1),(-1))`. De snelheidvector heeft lengte en ook richting. De snelheid is de lengte van de snelheidsvector.
    5. Differentieer `x(t)`, `y(t)` en `z(t)`.
    6. Dat is zo als `7 = 5 + t ^^ t = 6 + 2t ^^ 4 - t = 6 + 2t`. Er is geen enkele waarde van `t` die aan alle drie deze vergelijkingen voldoet. Ze botsen dus niet.
    7. Nu moet je oplossen `7 = 5 + t ^^ s = 6 + 2t ^^ 4 - s = 6 + 2t`. De waarden `s=2` en `t=-2` voldoen aan alle drie de vergelijkingen. Dus er is een snijpunt, namelijk `(7, 2, 2)`.
    1. Een vergelijking in `x`, `y` en `z` beschrijft een plat vlak of een gebogen oppervlak in de ruimte, want zo'n vergelijking maakt het in principe mogelijk om bij elke set waarden `x` en `y` een `z`-waarde te vinden. En bij een lijn kan dat niet.
    2. Kijk je van boven op het `xy`-vlak, dan zie je `(x,y) = (3cos(t),3sin(t))` en dat is de p.v. van een cirkel. En verder ga je al draaiend in de `z`-richting langzaam en gelijkmatig omhoog.
    3. Doen.
    4. Bijvoorbeeld `(x,y,z) = (2 cos(t),2 sin(t),3/(2pi)t)`.
    5. Bijvoorbeeld `(x,y,z) = (2 cos(t),2 sin(t),6/(2pi)t)`.
    6. Bijvoorbeeld `(x,y,z) = (t,2 cos(t),2 sin(t))`.
    1. Omdat de schroeflijn om de `z`-as altijd de gedaante `(x,y,z) = (a cos(ct),a sin(ct),bt)` heeft een de snelheidsvector is dan `(x',y',z') = (-ac sin(ct),ac cos(ct),b)`. De lengte hiervan is `sqrt(a^2c^2 + b^2)` want `sin^2(ct) + cos^2(ct) = 1`.
      Voor schroeflijnen om andere assen vind je iets vergelijkbaars.
    2. Nee, die hangt af van `t`.
    3. Bijvoorbeeld door (in de p.v. van a) zowel `b` als `c` twee keer zo groot te maken. Alleen wordt dan ook de spoed groter. Je kunt ook `4a^2c^2 + 4b^2 = p^2a^2c^2 + b^2` oplossen voor `p`: `p = sqrt(4 + 3(b/ac)^2)` en dan in de p.v. `c` vervangen door `pc`.
    4. `x = 0,5pi` geeft `(x',y',z') = (-3, 0, 3/(2pi))` en dus als raaklijnvector `((-3),(0),(3/(2pi)))`.
      Het raakpunt is `(x,y,z) = (0, 3, 3/4)`, dus de raalijn is `((x),(y),(z)) = ((0),(3),(3/4)) + q * ((-3),(0),(3/(2pi)))`.
    5. De `y`-as heeft richtingsvector `((0),(1),(0))` en het inproduct van de richtingsvectoren is `0`. De hoek is daarom `90`°.
    6. `z = 0` geeft `q = -0,5pi`, dus het snijpunt is `(1,5pi; 3; 0)`. Het `xy`-vlak heeft normaalvector `((0),(0),(1))` en de hoek van deze vector met de richtingsvector van de raaklijn kun je met behulp van het inproduct van beide uitrekenen: `phi ~~ 81`°. De gevraagde hoek is daarom ongeveer `9`°.
    1. Als `t = 0`, dus in het punt `(0,2,0)`.
    2. Als `t = 81`.
    3. Je ziet dan een rechte lijn met p.v. `(x,y) = (t,t+2)` en dus vergelijkingen `y = x + 2 ^^ z = 0`.
    4. Je ziet dan de kromme `(y,z) = (t+2,sqrt(t))` en met vergelijkingen `z = (y - 2)^2 ^^ x = 0`.
    5. `vec v = ((1), (1), (1/(2sqrt(t))))`
    6. `z = 9` geeft `t = 81` en dus `vec v = ((1), (1), (1/18))` met lengte `sqrt(2 1/324)`.
    7. De richtingsvector van het vlak `z = 9` is `((0),(0),(1))` en de hoek met `vec v` vind je met behulp van het inproduct een hoek van `88`°.
    8. `vec(OP) = ((t),(t+2),(sqrt(t)))` heeft lengte `L(t) = sqrt(t^2 + (t+2)^2 + t) = sqrt(2t^2 +5t + 4)`.
      Deze lengte is minimaal als `f(t) = 2t^2 + 5t +4` minimaal is, dus als `t = -2,5` en dat kan niet. Kennelijk is op `t=0` de afstand tot `O` het kleinst. De kortste afstand is `2`.
    1. `x` neemt alle waarden in `[-8,8]` aan, `y` neemt alle waarden in `[-8,8]` aan en `z` neemt alle waarden in `[2,18]` aan.
    2. `(x(t),y(t)) = (8 sin(t),8 sin(2t))`
    3. In GeoGebra: Maak een schuifbalkje voor `t` en voer in P = (8 sin(t),8 sin(2t)). Stel `t` in zodat hij in ieder geval het interval `[0,2pi]` kan doorlopen en zet van `P` het spoor aan. En dan maar schuiven met de `t`...
    4. Doen, zie c.
    5. Bij het afleggen van die acht op het `xy`-vlak ga je vanaf `z = 10` (bij `t=0`) omhoog en omlaag tot je op `t=2pi` (voor de vierde keer) weer op `z=10` uitkomt.
    6. `(x',y',z') = (8 cos(t), 16 cos(2t), 16 cos(2t))` is de snelheidsvector met een lengte van `sqrt(64 cos^2(t) + 512 cos^2(2t))`.
      Hoogste punten `t = 1/4 pi vv t = 1 1/4 pi` met snelheid `sqrt288` lengte-eenheden per tijdseenheid.
      Laagste punten `t = 3/4 pi vv t = 1 3/4 pi` met snelheid `sqrt288` lengte-eenheden per tijdseenheid.
    7. In de hoogste en de laagste punten zijn de hoeken van de snelheidsvector met het `xy`-vlak steeds `0`°.
    8. De hoogste snelheden treden op bij de momenten dat `z = 10` wordt gepasseerd. Bijvoorbeeld op `t = 0` is de snelheid `sqrt576` lengte-eenheden per tijdseenheid.
    1. Voor `k_1` geldt `(x',y',z') = (1,2,1)`, dus een constante richtingsvector.
    2. `P` op `k_1` geeft `vec(OP) = ((t+1),(2t),(t+3))` met een lengte van `L(t) = sqrt((t+1)^2 + 4t^2 + (t+3)^2) = sqrt(6t^2 + 8t + 10)`.
      Kortste afstand als `6t^2 + 8t + 10` minimaal is, dus als `t = - 2/3`. De kortste afstand is dus `sqrt(7 1/3)`.
      Dit kun je ook oplossen door meetkundig de afstand van `O` tot lijn `k_1` uit te rekenen: loodlijn erop, etc.
    3. Bij het snijpunt hoort `t=1 ^^ s=2`, dus het is `(2,2,4)`. Het gaat nu om de hoek tussen beide richtingsvectoren `((1),(2),(1))` en `((2),(2),(4))`. Met het inproduct vind je ongeveer `41`°.
    4. `((s),(s),(2s))` // het `yz`-vlak betekent `x' = s = 0`, dus dat zou in `(0,0,0)` moeten zijn, maar dan zijn ook `y'=0` en `z'=0`. Zo'n raaklijnvector heeft geen richting. Dus er bestaat geen punt waarvoor de raaklijn evenwijdig als aan het `yz`-vlak. Hetzelfde geldt voor de evenwijdigheid aan het `xy`-vlak.
    5. Doen, doe eerst opdracht f.
    6. `(0,0,0)` en `(sqrt(6), sqrt(6), 6)`.
    7. `k_1` heeft de punten `(1,0,3)` en `(4,6,6)` met de kubus gemeen. De afstand tussen deze punten is `sqrt(54)`.
    1. `(0,0,4)`
    2. `x` neemt alle waarden uit `[0,rarr:)` aan, `y` en `z` nemen alle waarden uit `[-4,4]` aan.
    3. De projectie op het `yz`-vlak is de cirkel `(y,z) = (4 sin(t),4 cos(t))`. De kromme is een schroeflijn op een cilinder met de `x`-as als as.
    4. In `0 <= t <= 2pi` wordt een complete omwenteling afgelegd. De lengte van de kromme is `sqrt((4pi)^2 + (8pi)^2) = pi sqrt(80)`.
    5. `x = 4` betekent `t=2`. De kromme heeft daar een raaklijnvector van `((2),(4 cos(2)),(-4 sin(2)))`.
      Het vlak heeft normaalvector `((1),(0),(0))`. De hoek tussen deze normaalvector en de raaklijnvector van de kromme is ongeveer `63`°. De gevraagde hoek is `27`°.
    6. `sqrt(20)`
    1. Met het `yz`-vlak: `x = 0` dus het punt `(0,0,1)`.
      Met het `xz`-vlak: `y = 0` dus het punt `(0,0,1)` en het punt `(2,0,text(e))`.
      Met het `xy`-vlak: `z = 0` dus geen snijpunt.
    2. `(x',y',z') = (2, 2t - 1, text(e)^t)`.
      Evenwijdig met het `yz`-vlak: `x' = 0` dus geen punt waar dit zo is.
      Evenwijdig met het `xz`-vlak: `y' = 0` dus het punt `(1, - 1/4, sqrt(text(e)))`.
      Evenwijdig met het `xy`-vlak: `z' = 0` dus geen punt waar dit zo is.
    3. Het bedoelde punt is `(0,0,1)`. De richtingsvector van de `z`-as is `((0),(0),(1))` en de raaklijnvector van de kromme is in dat punt `((2),(-1),(1))`. De gevraagde hoek is ongeveer `66`°.
    1. Een p.v. van de baan van `P_1` is `(x,y,z) = (2t,4t,6)`.
      Beide punten botsen als `t^2 - 0,25 = 6`, dus als `t = 2,5` (de negatieve waarde vervalt, we beginnen op `t=0`). Het botsingspunt is dus `(5,10,6)`.
    2. De snelheid van `P_1` is `sqrt(2^2+4^2+6^2) = sqrt(56)`.
    3. De snelheid van `P_2` is `sqrt(2^2+4^2+5^2) = sqrt(45)`.
    4. Het gaat om de hoek tussen `((2),(4),(6))` en `((2),(4),(5))`. Even het inproduct...
    1. `x = 0 ^^ y = 0` geeft `t = 4pi`, dus het punt is `(0,0,8pi)`.
    2. `x = 0` geeft `t = k*pi` en dus de punten `(0,4pi,0)`, `(0,3pi,2pi)`, `(0,2pi,4pi)`, `(0,pi,6pi)` en `(0,0,8pi)`.
      De projectie wordt een sinusoïde waarvan de amplitude steeds kleiner wordt. De p.v. is `(y,z) = ((4pi - t) cos(t), 2t))` en een bijbehorende vergelijking is `y = (4pi - 0,5z) cos(0,5z)`.
    3. In GeoGebra: Maak een schuifbalkje voor `t` en voer in Q = ((4π - t) sin(t), (4π - t) cos(t)). Stel `t` in zodat hij in ieder geval het interval `[0,2pi]` kan doorlopen en zet van `Q` het spoor aan. En dan maar schuiven met de `t`... Je zou een spiraal moeten krijgen.
    4. `|vec(OR)| = sqrt((4pi - t)^2 + 4t^2) = sqrt(16pi^2 - 8pi t + 5t^2)`
    5. Een beetje algebra geeft `v = sqrt((4pi - t)^2 + t^2 + 4)`.
      Op `t=0` is `v = sqrt(16pi^2 + 4)`.
    6. `f(t) = (4pi - t)^2 + t^2 + 4 = 2t^2 - 8pi t + 16pi^2 + 4` heeft een minimum als `t = 2pi`. De minimumsnelheid is `sqrt(8pi^2 + 4)`.
    7. De raaklijnvector is `((-t sin(t) + (4pi - t)cos(t)),(-t cos(t) - (4pi -t)sin(t)),(2))`.
      In het punt op de `z`-as is `t = 4pi`. De raaklijnvector in dat punt is `((0),(-4pi),(2))`. De `z`-as heeft richtingsvector `((0),(0),(1))`. Met het inproduct vind je de gewenste hoek van ongeveer `81`°.
    1. De schroeflijn begint in `(4,2,0)` en is na één omwenteling in `(4,2,2pi)`, dus alweer buiten de kubus. Maak verder een tabel.
    2. Op de grensvlakken liggen de punten `(4,2,0)`, `(2,4,1/2 pi)`, `(0,2,pi)`, `(2 + 2 cos(4), 2 + 2 sin(4), 4)`.
    3. Rol de cilinder waar de schroeflijn uit tot een rechthoek van `4pi` bij `2pi`. De lengte van de complete schroeflijn is `pi sqrt(20)`. De lengte van het deel binnen de kubus is `4/(2pi) * pi sqrt(20) = 2 sqrt(20)`.
    4. `vec(OF) = ((4),(4),(4))` en de raaklijnvector van de schroeflijn is `((-2 sin(t)),(2 cos(t)),(1))`.
      Deze vectoren hebben dezelfde richting als `-2 sin(t) = 1 ^^ 2 cos(t) = 1`.
      Er is geen waarde van `t` die hieraan voldoet.
    1. De snelheidsvector van `P` is niet constant, namelijk `((1),(2),(0,5t))`.
      Op `t=0` is de snelheid van `P` gelijk aan `sqrt(1^2+2^2+0^2) = sqrt(5)`.
    2. De richtingsvectoren zijn daar `((1),(1),(1))` en `((1),(2),(0))`. Met behulp van het inproduct vind je ongeveer `39`°.
    3. Ja, na `6` seconden.
    4. `Q` beweegt met `sqrt(3)` eenheden per seconde en `P` beweegt met `sqrt(14)` eenheden per seconde.
    5. In het botsingspunt is `vec(OP) = ((6),(12),(9))`, dus dit punt ligt op dat moment `sqrt(261)` eenheden van `O` af.
    6. `vec(PQ) = ((0),(t-6),(0,25t^2-t-3))` en `|vec(PQ)| = sqrt((t-6)^2 + (0,25t^2-t-3)^2)`.
      Met je GR probeer je hiervan een maximum te bepalen. Of je moet houden van wat rekenwerk en gaan differentiëren. Er bestaat alleen helaas geen maximum, behalve dan hun afstand op `t=0` en die is `sqrt(45)`.