Ellipsen, hyperbolen en andere vlakke krommen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Ellipsen, hyperbolen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden. Met het schuifbalkje kun je van een ellips overgaan op een hyperbool en omgekeerd.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Ellipsen, hyperbolen > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door. Je gaat nu zelf de goenoemde formules afleiden.

1. Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk goed hoe de ellips `e` wordt geconstrueerd door punt `Q` over de cirkel te bewegen. Uitgangspunt is dat steeds `|FP| = |PQ|`.
   1. Leg uit waarom dit betekent dat `|MP| + |PQ| = 8`.
   2. Neem nu `P(x,y)` als punt van de ellips. Welke vergelijking in `x` en `y` volgt nu uit `|MP| + |PQ| = 8`?
   3. Laat zien dat je die vergelijking kunt schrijven als `(x^2)/16 + (y^2)/7 = 1`.
   4. Hoe kan het getal 16 worden afgeleid uit de straal van de richtcirkel?
   5. Hoe kan het getal 7 worden afgeleid uit de straal van de richtcirkel en de afstand van `F` tot de oorsprong `O(0,0)`, het centrum van de ellips?
   6. De ellips heeft een horizontale as die even lang is als de straal van de richtcirkel. Hoe lang is de verticale as?


2. Bekijk de ellips uit de voorgaande opgave nog eens.
   1. Toon aan dat elk punt `A` met `x = 4 cos(t)` en `y = sqrt(7) sin(t)` (met `t` in radialen) op deze ellips ligt.
   Hiermee heb je een geschikte parametervoorstelling voor de ellips gevonden.
   2. Bereken met behulp van die parametervoorstelling de punten op de ellips waar de raaklijn horizontaal is en waar de raaklijn verticaal is.
   3. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de ellips in het punt `P` met `x`-coördinaat 2 en een positieve `y`-coördinaat.
   Het centrum van de ellips `e` is `(0,0)`. Je verschuift de ellips tot het centrum `(3,2)` is. Er ontstaat een nieuwe ellips `e_2`.
   4. Stel een parametervoorstelling op van `e_2`.
   5. Stel een vergelijking op van `e_2`.
   6. Bereken van deze nieuwe ellips de exacte snijpunten met de coördinaatassen.


3. Bekijk de Uitleg, pagina 1. Zet de straal van de richtcirkel op 4 en bekijk de constructie van de hyperbool.
   1. Leg uit waarom nu geldt `|MP| - |PQ| = 4`.
   2. Neem nu `P(x,y)` als punt van de hyperbool. Welke vergelijking in `x` en `y` volgt nu uit `|MP| - |PQ| = 4`?
   3. Laat zien dat je die vergelijking kunt schrijven als `(x^2)/4 - (y^2)/5 = 1`.
   4. Hoe kan het getal 4 worden afgeleid uit de straal van de richtcirkel?
   5. Hoe kan het getal 5 worden afgeleid uit de straal van de richtcirkel en de afstand van `F` tot de oorsprong `O(0,0)`, het centrum van de hyperbool?
   6. De hyperbool heeft een tweede tak die niet wordt getekend. Wanneer je echter in plaats van de halve lijn `MP` de lijn `MP` tekent, dan wordt ook die tweede tak gemaakt door de applet. Je kunt dat zien in de applet in de Theorie. Leg uit dat voor die tweede tak wel geldt: `|FP| = |PQ|` maar niet dat de afstand van `P` tot `F` gelijk is aan de afstand van `P` tot de cirkel.


4. Bekijk de hyperbool uit de voorgaande opgave nog eens.
   1. Toon aan dat elk punt `A` met `x = 2/(cos(t))` en `y = sqrt(5) * (sin(t))/(cos(t))` (met `t` in radialen) op deze hyperbool ligt.
   Hiermee heb je een geschikte parametervoorstelling voor de hyperbool gevonden.
   2. Bereken met behulp van die parametervoorstelling de punten op de hyperbool waar de raaklijn verticaal is.
   3. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de hyperbool in het punt `P` met `x`-coördinaat 3 en een positieve `y`-coördinaat.
   Het centrum van de hyperbool `h` is `(0,0)`. Je verschuift de ellips tot het centrum `(3,2)` is. Er ontstaat een nieuwe ellips `h_2`.
   4. Stel een vergelijking op van `h_2`.
   5. Bereken van deze nieuwe hyperbool de exacte snijpunten met de coördinaatassen.


5. Bekijk de Uitleg, pagina 2. De symmetrie van een ellips t.o.v. de `y`-as wordt bewezen.
   1. Bewijs op dezelfde manier dat deze ellips symmetrisch is t.o.v. de `x`-as.
   2. Bewijs op dezelfde manier dat deze ellips symmetrisch is t.o.v. de oorsprong `O(0,0)` van het assenstelsel.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Ellipsen, hyperbolen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie, beide pagina's. In de opgaven word je naar de Theorie en naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

6. In de Theorie, pagina 1 wordt verteld dat de vergelijking van een ellips `(x^2)/(m^2) + (y^2)/(n^2) = 1` is, als het centrum van die ellips `O(0,0)` is en zowel het middelpunt van de richtcirkel als het brandpunt op de `x`-as liggen. In de praktijk noem je ook het middelpunt van de richtcirkel een brandpunt van de ellips.
   1. Wat stelt `m` voor? Beschrijf zowel de betekenis bij de constructie als de afmeting van de ellips die erbij hoort.
   2. Wat stelt `n` voor? Beschrijf zowel de betekenis bij de constructie als de afmeting van de ellips die erbij hoort.
   3. Je kunt deze ellips ook construeren door `F` als middelpunt van de richtcirkel te nemen en `M` als brandpunt. Laat dat zien (bijvoorbeel door de constructie met GeoGebra te maken).
   4. Je verschuift het centrum `O(0,0)` van een ellips naar `C(a,b)`. Hoe ziet de vergelijking van die ellips er uit?
   5. Laat zien, dat `x = m * cos(t)` en `y = n * sin(t)` (met `t` in radialen) een geschikte parametervoorstelling is van een ellips met centrum `O(0,0)`.
   6. Welke parametervoorstelling is geschikt voor een ellips met centrum `C(a,b)`?


7. In de Theorie, pagina 1 wordt verteld dat de vergelijking van een hyperbool `(x^2)/(m^2) - (y^2)/(n^2) = 1` is, als het centrum van die hyperbool `O(0,0)` is en zowel het middelpunt van de richtcirkel als het brandpunt op de `x`-as liggen. Ga er in het vervolg van uit een hyperbool uit twee takken bestaat.
   1. Ga nog eens na dat de applet in de theoriepagina ook beide takken construeert.
   2. Licht toe dat de volgende definitie beter bij zo'n hyperbool past:
      Een hyperbool is de verzameling punten `P` waarvoor geldt dat het absolute verschil van de afstanden van `P` tot elk van de gegeven brandpunten `F_1` en `F_2` constant is.
   3. Wat stelt `m` voor? Beschrijf zowel de betekenis bij de constructie met een richtcirkel als de afmeting van de hyperbool die erbij hoort.
   4. Je verschuift het centrum `O(0,0)` van een hyperbool naar `C(a,b)`. Hoe ziet de vergelijking van die hyperbool er uit?
   5. Laat zien, dat `x = (m)/(cos(t))` en `y = (n sin(t))/(cos(t))` (met `t` in radialen) een geschikte parametervoorstelling is van een hyperbool met centrum `O(0,0)`.
   6. Welke parametervoorstelling is geschikt voor een hyperbool met centrum `C(a,b)`?


8. In de Theorie, pagina 2 zie je hoe je de symmetrie van een kromme t.o.v. een willekeurig centrum kunt aantonen.
   1. Loop het bewijs zelf na.
   2. Toon aan dat de ellips die je in het voorbeeld ziet symmetrisch is t.o.v. de lijn `y = 4`.
   3. Welke andere symmetrieas heeft de ellips? Bewijs ook die symmetrie.


9. In Voorbeeld 1 gaat het over het opstellen van de vergelijking van een ellips als de brandpunten en een punt van de ellips zijn gegeven.
   1. Laat met behulp van een tekening zien dat de richtcirkel (met middelpunt `F_1`) een straal van 6 moet hebben.
   2. Licht nu toe hoe je de vergelijking van de ellips kunt vinden.
   3. Deze manier van werken kun je alleen toepassen als beide brandpunten op een lijn evenwijdig aan de `x`-as liggen. Waarom is dat zo?
   4. Licht ook toe hoe je zelf de parametervoorstelling kunt vinden. Bekijk eventueel opgave 6 nog eens.
   5. Met behulp van de parametervoorstelling kun je de hellingwaarde van de raaklijn in een punt van de ellips bepalen. Bereken de hellingwaarde in elk van de twee punten waarvoor geldt `x = 0,5`.


10. Bekijk Voorbeeld 2.
    1. Ga na hoe je door kwadraat afsplitsen de vergelijking van de hyperbool zo kunt schrijven dat je het centrum ervan kunt aflezen.
    2. Bepaal de coördinaten van de brandpunten van deze hyperbool. Waarom is het belangrijk dat beide op een horizontale lijn liggen?
    3. De rechtertak van de hyperbool kan worden geconstrueerd met behulp van een richtcirkel. Welk middelpunt heeft deze richtcirkel? En hoe groot is de straal ervan?
    Bestudeer nog even de manier waarop een formule voor het hellingsgetal van de raaklijn in punt van de hyperbool wordt berekend. De techniek van impliciet differentiëren kun je vaak toepassen.
    4. Laat zien hoe je aan de formule voor `(text(d)y)/(text(d)x)` kunt komen.
    5. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan hyperbool `h` in het punt `(0,0)`.
    6. Onderzoek of er punten op de hyperbool zijn waarin de raaklijn een richtingscoëfficiënt van 1 heeft.


11. In Voorbeeld 3 zie je een "lemniscaat".
    1. Bewijs dat de lemniscaat symmetrisch is t.o.v. de `x`-as.
    2. Stel met behulp van impliciet differentiëren een formule op voor `(text(d)y)/(text(d)x)`.
    3. Bereken hiermee de coördinaten van de punten op de lemniscaat waarin de raaklijn evenwijdig is aan de `x`-as.
    4. Bereken de hellingsgetallen van de twee raaklijnen in `(0,0)` aan de lemniscaat. Welke hoek maken deze twee raaklijnen met elkaar?
    5. De lemniscaat snijdt van de lijn `y = px` twee lijnstukken af met een lengte van `sqrt(15)`. Bereken `p`.
    Een parametervoorstelling van de lemniscaat is `(x,y) = (2 cos(t),4 sin(2t))`.
    6. Controleer dat deze parametervoorstelling dezelfde kromme beschrijft als de gegeven vergelijking.
    7. Bereken de twee hellingsgetallen van de raaklijnen in `(0,0)` nog eens met behulp van deze parametervoorstelling.

Verwerken

12. Hieronder wordt een kromme `k` omschreven. Stel een vergelijking en een parametervoorstelling van `k` op.
    1. `k` is een ellips met brandpunten `(-3,2)` en `(5,2)` die door `(1,5)` gaat.
    2. `k` is een hyperbool met brandpunten `(-3,2)` en `(5,2)` die door `(5,8)` gaat.
    3. `k` is een ellips waarvan de richtcirkel de vergelijking `x^2 + y^2 = 9` heeft en het brandpunt `F(2,0)` is.


13. Gegeven zijn de ellips `e` door `x^2 + 4y^2 = 4x + 8y - 4` en de parabool `p` door `(x - 2)^2 = 4y`.
    1. Bereken van de ellips de coördinaten van de brandpunten.
    2. Bewijs de symmetrie van de ellips t.o.v. het punt `C` dat midden tussen beide brandpunten ligt.
    3. Bereken de snijpunten van beide krommen.
    4. Bereken de hoeken waaronder beide krommen elkaar snijden.


14. De hyperbool `h` is gegeven door de vergelijking `x^2 - y^2 = 1`.
    Lijn `l` gaat door `A(-1,0)` en `B(3,2)`.
    1. Bereken de snijpunten van `h` met de assen.
    2. Bereken de exacte coördinaten van de brandpunten van `h`.
    3. Stel vergelijkingen op van de raaklijnen aan de hyperbool in de punten van `h` die liggen op de lijn `x = 2`. Bereken de coördinaten van het snijpunt van beide raaklijnen.
    4. De lijn `l` snijdt `h` in twee punten `C` en `D`. Welke hoek maken de raaklijnen in `C` en `D` aan de hyperbool met elkaar?


15. De ellips `e` is gegeven door de parametervoorstelling `(x,y) = (2 + 2 cos(t), sin(t))`.
    1. Welke vergelijking heeft deze ellips?
    2. De rechte lijn `l` met vergelijking `y = x - 1` snijdt de ellips in `A` en `B`. Bereken de lengte van lijnstuk `AB`.
    3. Onder welke hoek(en) snijdt `l` de ellips?
    4. Stel de vergelijkingen op van de twee raaklijnen aan `e` die door het punt `P(0,2)` gaan.



16. Het folium van Descartes

    Het folium van Descartes is de kromme `f` die kan worden beschreven door de vergelijking `x^3 + y^3 = 6xy`.
    1. Deze kromme kan ook worden beschreven door de parametervoorstelling `x = (6t)/(1 + t^3)` en `y = (6t^2)/(1 + t^3)`. Toon dat aan.
    2. Bereken de coördinaten van alle punten op `f` waarin de raaklijn evenwijdig loopt met de `x`-as of de `y`-as.
    3. Toon aan dat `f` in de oorsprong `O` twee raaklijnen heeft die loodrecht op elkaar staan.
    4. Bewijs dat het folium van Descartes symmetrisch is t.o.v. de lijn `y = x`.
    5. Teken de kromme `f`.

Testen

17. Een ellips `e` is gegeven door de vergelijking `x^2 + 8y^2 = 16`.
    1. Bereken de coördinaten van de brandpunten van `e` en stel een vergelijking op van een mogelijke richtcirkel van `e`.
    2. Stel een parametervoorstelling op voor `e`.
    3. Bereken de hoek die de raaklijnen aan de ellips in de punten op `e` met `y=1` met elkaar maken.
    4. In welk punten van `e` heeft de raaklijn een hellingwaarde van `-2`? Bereken de exacte coördinaten van die punten.


18. Een tak van een hyperbool `h` wordt geconstrueerd met behulp van de richtcirkel `x^2 + (y-2)^2 = 4` en brandpunt `F(0,5)`.
    1. Stel een vergelijking op van deze hyperbool.
    2. Bewijs de symmetrie van deze hyperbool t.o.v. het punt dat midden tussen `F` en het middelpunt van de richtcirkel ligt.
    3. Er zijn twee lijnen met vergelijking `y = ax + 3` die de hyperbool raken. Bereken `a`.


19. Gegeven is de kromme `k` door `(x + y)^2 = 8x`.
    1. Bereken de coördinaten van de snijpunten van `k` met de beide assen.
    2. Bereken de coördinaten van de punten van `k` waarin de raaklijn evenwijdig is met één der assen.
    3. De lijn met vergelijking `x - y = p` raakt `k`. Bereken `p`.
    4. Toon aan dat elke lijn met vergelijking `x + y = q` precies één punt met `k` gemeen heeft, maar hem niet raakt.