Parabolen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Parabolen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden. Denk aan het kiezen van een assenstelsel!

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Parabolen > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

1. Bekijk de Uitleg, pagina 1. De vergelijking van een parabool wordt afgeleid door een geschikt assenstelsel te kiezen.
   1. Laat zelf zien dat de vergelijking van de parabool is te schrijven als `y^2 = 4x`.
   2. Je kunt het assenstelsel ook zo kiezen, dat de richtlijn samenvalt met de `y`-as en het brandpunt `F(2,0)` is.
      Hoe ziet in dat geval de vergelijking van de parabool er uit?
   3. Maak een parametervoorstelling voor deze parabool.
   4. Laat zien dat de vergelijking van een parabool met richtlijn `x = -0,5p` en brandpunt `F(0,5p;0)` is te schrijven als `y^2 = 2px`.


2. Teken zelf een parabool (met GeoGebra?) waarvan de richtlijn de lijn `y = 0,5p` en het brandpunt `F(0;-0,5p)` is. Toon aan dat de vergelijking van deze parabool is te schrijven als `x^2 = -2py`.
   


3. Bekijk de Uitleg, pagina 2. Het gaat nu om het opstellen van de vergelijking van een raaklijn aan een parabool in een punt op de parabool.
   1. Waarom is het bepalen van de hellingwaarde van zo'n raaklijn bij een parabool moeilijker dan bij een cirkel?
   2. Ga na dat de parametervoorstelling bij deze parabool klopt.
   3. Je ziet hoe je de helling van de raaklijn kunt berekenen. Waarom geldt `Delta t rarr 0` als `Delta x rarr 0`?
   4. Bereken nu met behulp van differentiëren de richtingscoëfficiënt van de gevraagde raaklijn en stel een vergelijking van die raaklijn op.
   5. Laat zien dat `Q(8,8)` een punt van de parabool is en stel de vergelijking op van de raaklijn in dat punt aan de parabool.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Parabolen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven word je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

4. In de Theorie, pagina 1 wordt verteld dat `y^2 = 2px` de vergelijking van een parabool met richtlijn `x = -0,5p` en brandpunt `F(0,5p;0)` is.
   1. Je verschuift de top `(0,0)` van deze parabool naar `(a,0)`. Hoe ziet de vergelijking er dan uit?
   2. Je verschuift de top `(0,0)` van deze parabool naar `(0,b)`. Hoe ziet de vergelijking er dan uit?
   3. Schrijf een vergelijking op van de parabool met brandpunt `F(4,6)` en richtlijn `x = 3`.
   4. Maak bij de parabool in c ook een parametervoorstelling.


5. Stel een vergelijking en een parametervoorstelling op van de parabool `p` met richtlijn `y = 1` en brandpunt `F(2,5)`.
   Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 1.
   


6. In de Theorie, pagina 2 gaat het over het opstellen van de vergelijking van een raaklijn aan een parabool. Neem nu de parabool gegeven door `y^2 = 6x + 6`.
   1. Bereken de punten op de parabool met `x = 5`.
   2. Maak een parametervoorstelling bij deze parabool.
   3. Bereken in beide punten die je bij a hebt gevonden de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt.
   4. Stel van beide raaklijnen bedoeld in c de vergelijking op.
   In de theorie staat ook dat je de raaklijn aan een parabool op een andere manier kunt berekenen, namelijk met behulp van de discriminant van een kwadratische vergelijking.
   5. Neem het punt `P(0,5;3)` op de parabool. Stel een vergelijking op van de lijn door `P` met richtingscoëfficiënt `a`.
   6. Snijd deze lijn met de parabool en bereken vervolgens `a` zo, dat beide snijpunten samenvallen.
   7. Welke vergelijking heeft de raaklijn in `P` aan de parabool?


7. Bekijk Voorbeeld 2.
   1. Schrijf door kwadraat afsplitsen de vergelijking van de parabool zo, dat je er de top uit kunt aflezen.
   2. Bepaal de coördinaten van het brandpunt en de vergelijking van de richtlijn van deze parabool.
   3. Laat zien hoe de parametervoorstelling van deze parabool kan worden gevonden.
   4. Stel vergelijkingen op van de raaklijnen aan parabool `p` in de punten van `p` waarvoor `x = 0`.


8. In Voorbeeld 3 worden van een parabool die is gegeven door een parametervoorstelling het brandpunt en de vergelijking van de richtlijn bepaald.
   1. Laat zien hoe je de vergelijking `(x - 4)^2 = y - 3` kunt vinden.
   2. Leg uit waarom `p = 0,5` en `b = 3`.
   3. Waarom ligt de top van deze parabool boven de richtlijn?
   4. Ga zelf na, hoe brandpunt en richtlijn nu worden gevonden.

Verwerken

9. Hieronder wordt een parabool `p` omschreven. Stel er een vergelijking en een parametervoorstelling van `p` op.
   1. `p` heeft brandpunt `(-4,0)` en richtlijn `x = 2`.
   2. `p` heeft top `(0,2)` en richtlijn `y = 0`.
   3. `p` heeft brandpunt `(0,2)` en top `(4,2)`.
   4. `p` heeft brandpunt `(3,0)`, een richtlijn evenwijdig aan de y-as en gaat door `(0,4)`.


10. De parabool `p` is gegeven door de parametervoorstelling `x = t^2 - 4` en `y = 2t + 2`.
    Lijn `l` gaat door `A(0,2)` en `B(3,0)`.
    1. Bereken van `p` de coördinaten van het brandpunt en de vergelijking van de richtlijn.
    2. Bereken de exacte coördinaten van de snijpunten van `p` en `l`.
    3. Lijn `l` snijdt `p` in twee punten. Bereken in elk van deze punten de hoek waaronder `l` parabool `p` snijdt.
    Doe de volgende opdracht alleen als je de techniek van het integreren beheerst.
    4. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de parabool en de lijn.


11. Gegeven zijn ten opzichte van een cartesisch assenstelsel de parabool `p: (y - 2)^2 = -x + 4` en de cirkel `c: (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 13`.
    1. Teken beide krommen (met GeoGebra?) in één figuur.
    2. Bereken de exacte coördinaten van de snijpunten van `p` en `c`.
    3. Bereken van beide krommen de coördinaten van de snijpunten met de assen.
    4. Bereken de hoek(en) waaronder beide krommen elkaar snijden.


12. Een lijn `l` met richtingscoëfficiënt 3 raakt de parabool `p` met vergelijking `y^2 - 8y + 6x + 10 = 0`.
    Bereken de exacte coördinaten van het raakpunt.
    


13. Een parabool hoeft geen symmetrieas te hebben die evenwijdig is aan de `x`-as of de `y`-as. De symmetrieas kan ook "scheef" zijn. Neem bijvoorbeeld een parabool `p` waarvan het brandpunt de oorsprong `O` van het assenstelsel is en de richtlijn de lijn `l: x + y = 4` is.
    1. Construeer deze parabool met behulp van GeoGebra.
    2. In de figuur hiernaast is `P` een punt van de parabool, dus `|OP| = |PQ|`.
       Leid uit `|OA| = x` en `|AP| = y` af dat `|PQ|^2 = 0,5 * (4 - x - y)^2`.
    3. Laat zien dat voor `P` geldt: `2(x^2 + y^2) = (4 - x - y)^2`.
    4. Laat zien dat bij parabool `p` de vergelijking `x^2 - 2xy + y^2 + 8x + 8y - 16 = 0` hoort.
    5. Deze vergelijking kun je schrijven als `(x - y)^2 + 8(x + y) - 16 = 0`. Neem je nu `x - y = 4t` dan kun je ook `x + y` in `t` uitdrukken. Maak zo een parametervoorstelling van `p`.
    6. Bereken nu de coördinaten van de punten op `p` waarin de raaklijn evenwijdig loopt aan de `x`-as of de `y`-as.

Testen

14. Een parabool `p` is gegeven door `x = 4 - 0,1t^2` en `y = t - 3`.
    1. Bereken het brandpunt en de richtlijn van `p`.
    2. Bereken de hoek die de raaklijnen aan de parabool in de punten op `p` met `x = -6` met elkaar maken.
    3. In welk punt van `p` heeft de raaklijn een hellingwaarde van `-2`? Bereken de exacte coördinaten van dat punt.


15. De cirkel `c: (x - 12)^2 + (y - 2)^2 = 65` en de parabool `p: y^2 - 4y = 8x - 28` hebben vier snijpunten.
    1. Bereken de coördinaten van die snijpunten.
    2. Bereken de grootte van één van de hoeken die de cirkel en de parabool met elkaar maken.